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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 48
ihn die Grundbeziehung der Addition zur Multiplikation gilt. Na-
türlich muss dann für dieselbe die Geltung der Additionsgesetze
nachgewiesen werden, ehe jene Verknüpfung als Addition fixirt
werden kann. Somit ist klar, dass, wenn es überhaupt eine Ad-
dition ungleichartiger Ausdehnungsgrössen höherer Stufen giebt, das
Gesetz bestehen muss
[Formel 1] ,
wo b und c Strecken vorstellen. Nennen wir schon vorläufig diese
Verknüpfung eine Addition, um einen bequemeren Wortausdruck
zu haben, so würden wir die Definition aufstellen können:

Zwei äussere Produkte n-ter Stufe, welche einen gemein-
schaftlichen Faktor (n--1) ter Stufe haben, addirt man, in-
dem man die ungleichen Faktoren addirt, und dieser Summe
den gemeinschaftlichen Faktor auf dieselbe Weise hinzufügt,
wie er den Stücken hinzugefügt war.

§. 48. Dieser formellen Definition müssen wir zuerst dadurch
eine anschaulichere Bedeutung geben, dass wir untersuchen, wie
weit sie reicht, d. h. welche Ausdehnungsgrössen man nach ihr
addiren kann. Es leuchtet sogleich ein, dass zwei Ausdehnungs-
grössen n-ter Stufe nur dann nach dem aufgestellten Begriffe
summirbar sind, wenn sie demselben Systeme (n+1) ter Stufe an-
gehören; wir werden aber zeigen, dass sie alsdann auch immer
summirbar sind, indem je zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe
An und Bn, welche demselben Systeme (n+1)ter Stufe angehören,
sich stets auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n--1) ter Stufe
bringen lassen. Sind zuerst An und Bn gleichartig, so leuchtet es
unmittelbar ein, indem wenn (n--1) einfache Faktoren von An kon-
stant bleiben, der n-te aber sich beliebig durch Fortschreitung
oder Rückschreitung verändert, auch das Produkt jeden beliebigen
mit An gleichartigen Werth, also auch den Werth Bn annehmen
kann. Hierin liegt zugleich, dass man jede Ausdehnung n-ter
Stufe auf (n--1) beliebige Faktoren, welche demselben System
n-ter Stufe angehören und von einander unabhängig sind, bringen
kann. Sind An und Bn ungleichartig, so sei
[Formel 2] ,
wo a1 .... an Strecken vorstellen, welche von einander unabhängig
sind. Dann muss Bn nothwendig wenigstens Einen Faktor enthal-

Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 48
ihn die Grundbeziehung der Addition zur Multiplikation gilt. Na-
türlich muss dann für dieselbe die Geltung der Additionsgesetze
nachgewiesen werden, ehe jene Verknüpfung als Addition fixirt
werden kann. Somit ist klar, dass, wenn es überhaupt eine Ad-
dition ungleichartiger Ausdehnungsgrössen höherer Stufen giebt, das
Gesetz bestehen muss
[Formel 1] ,
wo b und c Strecken vorstellen. Nennen wir schon vorläufig diese
Verknüpfung eine Addition, um einen bequemeren Wortausdruck
zu haben, so würden wir die Definition aufstellen können:

Zwei äussere Produkte n-ter Stufe, welche einen gemein-
schaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe haben, addirt man, in-
dem man die ungleichen Faktoren addirt, und dieser Summe
den gemeinschaftlichen Faktor auf dieselbe Weise hinzufügt,
wie er den Stücken hinzugefügt war.

§. 48. Dieser formellen Definition müssen wir zuerst dadurch
eine anschaulichere Bedeutung geben, dass wir untersuchen, wie
weit sie reicht, d. h. welche Ausdehnungsgrössen man nach ihr
addiren kann. Es leuchtet sogleich ein, dass zwei Ausdehnungs-
grössen n-ter Stufe nur dann nach dem aufgestellten Begriffe
summirbar sind, wenn sie demselben Systeme (n+1) ter Stufe an-
gehören; wir werden aber zeigen, dass sie alsdann auch immer
summirbar sind, indem je zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe
An und Bn, welche demselben Systeme (n+1)ter Stufe angehören,
sich stets auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe
bringen lassen. Sind zuerst An und Bn gleichartig, so leuchtet es
unmittelbar ein, indem wenn (n—1) einfache Faktoren von An kon-
stant bleiben, der n-te aber sich beliebig durch Fortschreitung
oder Rückschreitung verändert, auch das Produkt jeden beliebigen
mit An gleichartigen Werth, also auch den Werth Bn annehmen
kann. Hierin liegt zugleich, dass man jede Ausdehnung n-ter
Stufe auf (n—1) beliebige Faktoren, welche demselben System
n-ter Stufe angehören und von einander unabhängig sind, bringen
kann. Sind An und Bn ungleichartig, so sei
[Formel 2] ,
wo a1 .... an Strecken vorstellen, welche von einander unabhängig
sind. Dann muss Bn nothwendig wenigstens Einen Faktor enthal-

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[74/0110] Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 48 ihn die Grundbeziehung der Addition zur Multiplikation gilt. Na- türlich muss dann für dieselbe die Geltung der Additionsgesetze nachgewiesen werden, ehe jene Verknüpfung als Addition fixirt werden kann. Somit ist klar, dass, wenn es überhaupt eine Ad- dition ungleichartiger Ausdehnungsgrössen höherer Stufen giebt, das Gesetz bestehen muss [FORMEL], wo b und c Strecken vorstellen. Nennen wir schon vorläufig diese Verknüpfung eine Addition, um einen bequemeren Wortausdruck zu haben, so würden wir die Definition aufstellen können: Zwei äussere Produkte n-ter Stufe, welche einen gemein- schaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe haben, addirt man, in- dem man die ungleichen Faktoren addirt, und dieser Summe den gemeinschaftlichen Faktor auf dieselbe Weise hinzufügt, wie er den Stücken hinzugefügt war. §. 48. Dieser formellen Definition müssen wir zuerst dadurch eine anschaulichere Bedeutung geben, dass wir untersuchen, wie weit sie reicht, d. h. welche Ausdehnungsgrössen man nach ihr addiren kann. Es leuchtet sogleich ein, dass zwei Ausdehnungs- grössen n-ter Stufe nur dann nach dem aufgestellten Begriffe summirbar sind, wenn sie demselben Systeme (n+1) ter Stufe an- gehören; wir werden aber zeigen, dass sie alsdann auch immer summirbar sind, indem je zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe An und Bn, welche demselben Systeme (n+1)ter Stufe angehören, sich stets auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe bringen lassen. Sind zuerst An und Bn gleichartig, so leuchtet es unmittelbar ein, indem wenn (n—1) einfache Faktoren von An kon- stant bleiben, der n-te aber sich beliebig durch Fortschreitung oder Rückschreitung verändert, auch das Produkt jeden beliebigen mit An gleichartigen Werth, also auch den Werth Bn annehmen kann. Hierin liegt zugleich, dass man jede Ausdehnung n-ter Stufe auf (n—1) beliebige Faktoren, welche demselben System n-ter Stufe angehören und von einander unabhängig sind, bringen kann. Sind An und Bn ungleichartig, so sei [FORMEL], wo a1 .... an Strecken vorstellen, welche von einander unabhängig sind. Dann muss Bn nothwendig wenigstens Einen Faktor enthal-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 74. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/110>, abgerufen am 27.04.2024.