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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 49
Geltung nachgewiesen werden muss, ist, dass
[Formel 1] sei, auch dann, wenn A, B, C Ausdehnungen n-ter Stufe in dem-
selben Systeme (n + 1) ter Stufe sind, und die Addition den vor-
her bezeichneten Begriff haben soll. Wir haben zu dem Ende die
Frage zu beantworten, was drei solche Ausdehnungen gemein-
schaftlich haben werden. Nun ist schon im vorigen § gezeigt, dass
je zwei derselben eine Ausdehnung (n--1) ter Stufe gemeinschaft-
lich haben müssen; so z. B. hat B sowohl mit A als mit C eine
solche gemeinschaftlich; und da diese beiden Ausdehnungen (n--1)-
ter Stufe, nämlich, welche B mit A, und welche es mit C gemein-
schaftlich hat, demselben Systeme B *), also demselben Systeme
n-ter Stufe angehören, so haben sie nach demselben Satze des
vorigen § eine Ausdehnung (n--2) ter Stufe gemeinschaftlich, und
diese ist somit allen 3 Grössen A, B, C gemeinschaftlich. Es sei
D dieser gemeinschaftliche Faktor (n--2) ter Stufe, so werden
sich jene drei Grössen, da überdies je zwei eine Ausdehnung
(n--1) ter Stufe gemeinschaftlich haben, auf die Formen bringen
lassen
[Formel 2] Nämlich je zwei derselben werden ausser D noch einen gemein-
schaftlichen Faktor erster Stufe haben, dessen Grösse aber will-
kührlich ist. Dieser sei zwischen A und B c, zwischen B und
C sei er a, und zwar sei die Grösse von a so bestimmt, dass
B = D. a. c sei; der gemeinschaftliche Faktor, auf welchen A und
C gebracht werden können, sei ausser D der Faktor b, oder ein
mit b gleichartiger b1 und zwar seien b und b1 so gewählt, dass
[Formel 3] sei. Nachdem nun A, B, C auf diese Form gebracht sind, zeigt
sich, dass sich (A+B)+C durch die folgenden Umgestaltungen in
A+(B+C) verwandeln lässt. Erstens
[Formel 4] Wir haben nun die durch die Klammer angedeutete Summation zu
vollziehen. Nun lässt sich der Ausdruck D.b.c + D.a.c zurück-

*) Wir benennen das System eben so wie die Ausdehnung, welche einen
Theil von ihm bildet, weil keine Zweideutigkeit möglich ist.

Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 49
Geltung nachgewiesen werden muss, ist, dass
[Formel 1] sei, auch dann, wenn A, B, C Ausdehnungen n-ter Stufe in dem-
selben Systeme (n + 1) ter Stufe sind, und die Addition den vor-
her bezeichneten Begriff haben soll. Wir haben zu dem Ende die
Frage zu beantworten, was drei solche Ausdehnungen gemein-
schaftlich haben werden. Nun ist schon im vorigen § gezeigt, dass
je zwei derselben eine Ausdehnung (n—1) ter Stufe gemeinschaft-
lich haben müssen; so z. B. hat B sowohl mit A als mit C eine
solche gemeinschaftlich; und da diese beiden Ausdehnungen (n—1)-
ter Stufe, nämlich, welche B mit A, und welche es mit C gemein-
schaftlich hat, demselben Systeme B *), also demselben Systeme
n-ter Stufe angehören, so haben sie nach demselben Satze des
vorigen § eine Ausdehnung (n—2) ter Stufe gemeinschaftlich, und
diese ist somit allen 3 Grössen A, B, C gemeinschaftlich. Es sei
D dieser gemeinschaftliche Faktor (n—2) ter Stufe, so werden
sich jene drei Grössen, da überdies je zwei eine Ausdehnung
(n—1) ter Stufe gemeinschaftlich haben, auf die Formen bringen
lassen
[Formel 2] Nämlich je zwei derselben werden ausser D noch einen gemein-
schaftlichen Faktor erster Stufe haben, dessen Grösse aber will-
kührlich ist. Dieser sei zwischen A und B c, zwischen B und
C sei er a, und zwar sei die Grösse von a so bestimmt, dass
B = D. a. c sei; der gemeinschaftliche Faktor, auf welchen A und
C gebracht werden können, sei ausser D der Faktor b, oder ein
mit b gleichartiger b1 und zwar seien b und b1 so gewählt, dass
[Formel 3] sei. Nachdem nun A, B, C auf diese Form gebracht sind, zeigt
sich, dass sich (A+B)+C durch die folgenden Umgestaltungen in
A+(B+C) verwandeln lässt. Erstens
[Formel 4] Wir haben nun die durch die Klammer angedeutete Summation zu
vollziehen. Nun lässt sich der Ausdruck D.b.c + D.a.c zurück-

*) Wir benennen das System eben so wie die Ausdehnung, welche einen
Theil von ihm bildet, weil keine Zweideutigkeit möglich ist.
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[76/0112] Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 49 Geltung nachgewiesen werden muss, ist, dass [FORMEL] sei, auch dann, wenn A, B, C Ausdehnungen n-ter Stufe in dem- selben Systeme (n + 1) ter Stufe sind, und die Addition den vor- her bezeichneten Begriff haben soll. Wir haben zu dem Ende die Frage zu beantworten, was drei solche Ausdehnungen gemein- schaftlich haben werden. Nun ist schon im vorigen § gezeigt, dass je zwei derselben eine Ausdehnung (n—1) ter Stufe gemeinschaft- lich haben müssen; so z. B. hat B sowohl mit A als mit C eine solche gemeinschaftlich; und da diese beiden Ausdehnungen (n—1)- ter Stufe, nämlich, welche B mit A, und welche es mit C gemein- schaftlich hat, demselben Systeme B *), also demselben Systeme n-ter Stufe angehören, so haben sie nach demselben Satze des vorigen § eine Ausdehnung (n—2) ter Stufe gemeinschaftlich, und diese ist somit allen 3 Grössen A, B, C gemeinschaftlich. Es sei D dieser gemeinschaftliche Faktor (n—2) ter Stufe, so werden sich jene drei Grössen, da überdies je zwei eine Ausdehnung (n—1) ter Stufe gemeinschaftlich haben, auf die Formen bringen lassen [FORMEL] Nämlich je zwei derselben werden ausser D noch einen gemein- schaftlichen Faktor erster Stufe haben, dessen Grösse aber will- kührlich ist. Dieser sei zwischen A und B c, zwischen B und C sei er a, und zwar sei die Grösse von a so bestimmt, dass B = D. a. c sei; der gemeinschaftliche Faktor, auf welchen A und C gebracht werden können, sei ausser D der Faktor b, oder ein mit b gleichartiger b1 und zwar seien b und b1 so gewählt, dass [FORMEL] sei. Nachdem nun A, B, C auf diese Form gebracht sind, zeigt sich, dass sich (A+B)+C durch die folgenden Umgestaltungen in A+(B+C) verwandeln lässt. Erstens [FORMEL] Wir haben nun die durch die Klammer angedeutete Summation zu vollziehen. Nun lässt sich der Ausdruck D.b.c + D.a.c zurück- *) Wir benennen das System eben so wie die Ausdehnung, welche einen Theil von ihm bildet, weil keine Zweideutigkeit möglich ist.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 76. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/112>, abgerufen am 28.04.2024.