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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 41 Geometr. Aufgabe. -- Das statische Moment.

§ 41. In der Statik und Mechanik wird der Begriff des äusse-
ren Produktes repräsentirt durch den Begriff des Momentes. In
der That, können wir das Moment einer Kraft in Bezug auf einen
Punkt definiren als äusseres Produkt, dessen erster Faktor die
Strecke ist, welche von jenem Punkte (dem Beziehungspunkte)
nach einem Punkte der geraden Linie, in welcher die Kraft wirkt,
gezogen ist, und dessen zweiter Faktor die Strecke ist, welche die
Kraft darstellt. Ist also r der Beziehungspunkt, a der Angriffs-
punkt, d. h. der Punkt, welcher von der Kraft getrieben wird, p
die Strecke, welche die Kraft darstellt, so ist das Moment
[Formel 1] wobei nach den Gesetzen der äusseren Multiplikation einleuchtet,
dass es für das Resultat gleichgültig ist, welchen Punkt in der
Wirkungslinie der Kraft man statt a einführen mag; denn es sei b
ein anderer Punkt dieser Linie, also [ab] gleichartig mit p, so
hat man
[Formel 2] ,
weil das Stück [ab], als dem zweiten Faktor gleichartig, nach
§ 35 weggelassen werden darf. Und eben so ist unter dem Mo-
mente einer Kraft, in Bezug auf eine Axe rs das äussere Produkt
aus 3 Faktoren verstanden, dessen erster Faktor die als Strecke
genommene Axe, dessen zweiter Faktor die Strecke von irgend
einem Punkt der Axe nach irgend einem Punkt in der Wirkungs-
linie der Kraft und dessen dritter Faktor die Kraft ist, also
[Formel 3] ,
oder auch es ist das Produkt der als Strecke genommenen Axe in
das auf irgend einen Punkt der Axe bezügliche Moment der Kraft,
wobei wieder, aus denselben Gründen wie vorher, gleichgültig ist,
welche Punkte man in jenen Linien auswählt. Es erscheint also
das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt als Flächenraum
eines Spathecks, in Bezug auf eine Axe als Körperraum eines
Spathes, und dabei haben überall zwei Kräfte, welche als Strecken
gleich sind, nur dann gleiche Momente, wenn sie auch in dersel-
ben geraden Linie wirken. Ferner verstehen wir unter dem Ge-
sammtmoment mehrerer Kräfte, welche in derselben Ebene liegen,
in Bezug auf einen Punkt der Ebene die Summe aller auf je-
nen Punkt bezüglichen Momente derselben, und ebenso unter

5 *
§ 41 Geometr. Aufgabe. — Das statische Moment.

§ 41. In der Statik und Mechanik wird der Begriff des äusse-
ren Produktes repräsentirt durch den Begriff des Momentes. In
der That, können wir das Moment einer Kraft in Bezug auf einen
Punkt definiren als äusseres Produkt, dessen erster Faktor die
Strecke ist, welche von jenem Punkte (dem Beziehungspunkte)
nach einem Punkte der geraden Linie, in welcher die Kraft wirkt,
gezogen ist, und dessen zweiter Faktor die Strecke ist, welche die
Kraft darstellt. Ist also ρ der Beziehungspunkt, α der Angriffs-
punkt, d. h. der Punkt, welcher von der Kraft getrieben wird, p
die Strecke, welche die Kraft darstellt, so ist das Moment
[Formel 1] wobei nach den Gesetzen der äusseren Multiplikation einleuchtet,
dass es für das Resultat gleichgültig ist, welchen Punkt in der
Wirkungslinie der Kraft man statt α einführen mag; denn es sei β
ein anderer Punkt dieser Linie, also [αβ] gleichartig mit p, so
hat man
[Formel 2] ,
weil das Stück [αβ], als dem zweiten Faktor gleichartig, nach
§ 35 weggelassen werden darf. Und eben so ist unter dem Mo-
mente einer Kraft, in Bezug auf eine Axe ρσ das äussere Produkt
aus 3 Faktoren verstanden, dessen erster Faktor die als Strecke
genommene Axe, dessen zweiter Faktor die Strecke von irgend
einem Punkt der Axe nach irgend einem Punkt in der Wirkungs-
linie der Kraft und dessen dritter Faktor die Kraft ist, also
[Formel 3] ,
oder auch es ist das Produkt der als Strecke genommenen Axe in
das auf irgend einen Punkt der Axe bezügliche Moment der Kraft,
wobei wieder, aus denselben Gründen wie vorher, gleichgültig ist,
welche Punkte man in jenen Linien auswählt. Es erscheint also
das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt als Flächenraum
eines Spathecks, in Bezug auf eine Axe als Körperraum eines
Spathes, und dabei haben überall zwei Kräfte, welche als Strecken
gleich sind, nur dann gleiche Momente, wenn sie auch in dersel-
ben geraden Linie wirken. Ferner verstehen wir unter dem Ge-
sammtmoment mehrerer Kräfte, welche in derselben Ebene liegen,
in Bezug auf einen Punkt der Ebene die Summe aller auf je-
nen Punkt bezüglichen Momente derselben, und ebenso unter

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[67/0103] § 41 Geometr. Aufgabe. — Das statische Moment. § 41. In der Statik und Mechanik wird der Begriff des äusse- ren Produktes repräsentirt durch den Begriff des Momentes. In der That, können wir das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt definiren als äusseres Produkt, dessen erster Faktor die Strecke ist, welche von jenem Punkte (dem Beziehungspunkte) nach einem Punkte der geraden Linie, in welcher die Kraft wirkt, gezogen ist, und dessen zweiter Faktor die Strecke ist, welche die Kraft darstellt. Ist also ρ der Beziehungspunkt, α der Angriffs- punkt, d. h. der Punkt, welcher von der Kraft getrieben wird, p die Strecke, welche die Kraft darstellt, so ist das Moment [FORMEL] wobei nach den Gesetzen der äusseren Multiplikation einleuchtet, dass es für das Resultat gleichgültig ist, welchen Punkt in der Wirkungslinie der Kraft man statt α einführen mag; denn es sei β ein anderer Punkt dieser Linie, also [αβ] gleichartig mit p, so hat man [FORMEL], weil das Stück [αβ], als dem zweiten Faktor gleichartig, nach § 35 weggelassen werden darf. Und eben so ist unter dem Mo- mente einer Kraft, in Bezug auf eine Axe ρσ das äussere Produkt aus 3 Faktoren verstanden, dessen erster Faktor die als Strecke genommene Axe, dessen zweiter Faktor die Strecke von irgend einem Punkt der Axe nach irgend einem Punkt in der Wirkungs- linie der Kraft und dessen dritter Faktor die Kraft ist, also [FORMEL], oder auch es ist das Produkt der als Strecke genommenen Axe in das auf irgend einen Punkt der Axe bezügliche Moment der Kraft, wobei wieder, aus denselben Gründen wie vorher, gleichgültig ist, welche Punkte man in jenen Linien auswählt. Es erscheint also das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt als Flächenraum eines Spathecks, in Bezug auf eine Axe als Körperraum eines Spathes, und dabei haben überall zwei Kräfte, welche als Strecken gleich sind, nur dann gleiche Momente, wenn sie auch in dersel- ben geraden Linie wirken. Ferner verstehen wir unter dem Ge- sammtmoment mehrerer Kräfte, welche in derselben Ebene liegen, in Bezug auf einen Punkt der Ebene die Summe aller auf je- nen Punkt bezüglichen Momente derselben, und ebenso unter 5 *

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 67. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/103>, abgerufen am 28.04.2024.