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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Multiplikation der Strecken. § 40
[Formel 1] ,
was zu erweisen war. Will man dann den Satz für absolute Flä-
chenräume aussprechen, so hat man nur die Fälle zu unterschei-
den, wo der Punkt e von jenen beiden Seiten des Parallelogramms
aus betrachtet nach derselben, und wo nach verschiedenen Seiten
hin liegt, woraus sich dann leicht der Satz in der oben gegebenen
verbesserten Form ergiebt.

§ 40. Ich will die Anwendungen auf die Geometric nun mit
der Lösung der obigen Aufgabe (§ 38) für den dort nicht mit auf-
genommenen Fall schliessen, nämlich ein Spatheck in ein ihm
gleiches zu verwandeln, dessen Seiten mit denen des gegebenen
parallel sind, aber dessen eine Seite zugleich ihrer Länge nach
gegeben ist. Ich wähle den Weg, wie ihn unsere Analyse darbie-
tet. Es sei a. b das gegebene Spathek, a1 die mit a parallele Seite
des gesuchten und b1 die gesuchte mit b parallele Seite desselben,
für welche die Gleichung
[Formel 2] bestehen soll, oder da a1 . b1 = --b1 . a1 ist,
[Formel 3] Da man dem Faktor a das Stück b1, dem Faktor b1 das Stück a
hinzufügen kann, weil diese Stücke mit dem jedesmaligen andern
Faktor gleichartig sind, also ihre Hinzufügung das Produkt nicht
ändert, so hat man
[Formel 4] ,
oder
[Formel 5] d. h. (a+b1) und (a1+b) müssen parallel sein. Hierin nun
liegt die folgende Konstruktion und deren Beweis; nämlich wenn
a=[ab], b=[ag] ist (vergl. Fig. 11, c), und a1 = [ad], wo
a, b, d in Einer geraden Linie liegen, so mache man de gleich
lang und parallel mit ag, also [ae] gleich (a1 + b), ziehe von b
die Parallele mit ag, welche die ae in z schneide, so ist [bz] die
gesuchte Strecke b1 *).

*) Es versteht sich von selbst, dass man diese Aufgabe auch lösen kann
durch zweimalige Anwendung der in § 38 gegebenen Auflösung, indem man eine
nicht parallele Grundseite zu Hülfe nimmt.

Aeussere Multiplikation der Strecken. § 40
[Formel 1] ,
was zu erweisen war. Will man dann den Satz für absolute Flä-
chenräume aussprechen, so hat man nur die Fälle zu unterschei-
den, wo der Punkt ε von jenen beiden Seiten des Parallelogramms
aus betrachtet nach derselben, und wo nach verschiedenen Seiten
hin liegt, woraus sich dann leicht der Satz in der oben gegebenen
verbesserten Form ergiebt.

§ 40. Ich will die Anwendungen auf die Geometric nun mit
der Lösung der obigen Aufgabe (§ 38) für den dort nicht mit auf-
genommenen Fall schliessen, nämlich ein Spatheck in ein ihm
gleiches zu verwandeln, dessen Seiten mit denen des gegebenen
parallel sind, aber dessen eine Seite zugleich ihrer Länge nach
gegeben ist. Ich wähle den Weg, wie ihn unsere Analyse darbie-
tet. Es sei a. b das gegebene Spathek, a1 die mit a parallele Seite
des gesuchten und b1 die gesuchte mit b parallele Seite desselben,
für welche die Gleichung
[Formel 2] bestehen soll, oder da a1 . b1 = —b1 . a1 ist,
[Formel 3] Da man dem Faktor a das Stück b1, dem Faktor b1 das Stück a
hinzufügen kann, weil diese Stücke mit dem jedesmaligen andern
Faktor gleichartig sind, also ihre Hinzufügung das Produkt nicht
ändert, so hat man
[Formel 4] ,
oder
[Formel 5] d. h. (a+b1) und (a1+b) müssen parallel sein. Hierin nun
liegt die folgende Konstruktion und deren Beweis; nämlich wenn
a=[αβ], b=[αγ] ist (vergl. Fig. 11, c), und a1 = [αδ], wo
α, β, δ in Einer geraden Linie liegen, so mache man δε gleich
lang und parallel mit αγ, also [αε] gleich (a1 + b), ziehe von β
die Parallele mit αγ, welche die αε in ζ schneide, so ist [βζ] die
gesuchte Strecke b1 *).

*) Es versteht sich von selbst, dass man diese Aufgabe auch lösen kann
durch zweimalige Anwendung der in § 38 gegebenen Auflösung, indem man eine
nicht parallele Grundseite zu Hülfe nimmt.
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[66/0102] Aeussere Multiplikation der Strecken. § 40 [FORMEL], was zu erweisen war. Will man dann den Satz für absolute Flä- chenräume aussprechen, so hat man nur die Fälle zu unterschei- den, wo der Punkt ε von jenen beiden Seiten des Parallelogramms aus betrachtet nach derselben, und wo nach verschiedenen Seiten hin liegt, woraus sich dann leicht der Satz in der oben gegebenen verbesserten Form ergiebt. § 40. Ich will die Anwendungen auf die Geometric nun mit der Lösung der obigen Aufgabe (§ 38) für den dort nicht mit auf- genommenen Fall schliessen, nämlich ein Spatheck in ein ihm gleiches zu verwandeln, dessen Seiten mit denen des gegebenen parallel sind, aber dessen eine Seite zugleich ihrer Länge nach gegeben ist. Ich wähle den Weg, wie ihn unsere Analyse darbie- tet. Es sei a. b das gegebene Spathek, a1 die mit a parallele Seite des gesuchten und b1 die gesuchte mit b parallele Seite desselben, für welche die Gleichung [FORMEL] bestehen soll, oder da a1 . b1 = —b1 . a1 ist, [FORMEL] Da man dem Faktor a das Stück b1, dem Faktor b1 das Stück a hinzufügen kann, weil diese Stücke mit dem jedesmaligen andern Faktor gleichartig sind, also ihre Hinzufügung das Produkt nicht ändert, so hat man [FORMEL], oder [FORMEL] d. h. (a+b1) und (a1+b) müssen parallel sein. Hierin nun liegt die folgende Konstruktion und deren Beweis; nämlich wenn a=[αβ], b=[αγ] ist (vergl. Fig. 11, c), und a1 = [αδ], wo α, β, δ in Einer geraden Linie liegen, so mache man δε gleich lang und parallel mit αγ, also [αε] gleich (a1 + b), ziehe von β die Parallele mit αγ, welche die αε in ζ schneide, so ist [βζ] die gesuchte Strecke b1 *). *) Es versteht sich von selbst, dass man diese Aufgabe auch lösen kann durch zweimalige Anwendung der in § 38 gegebenen Auflösung, indem man eine nicht parallele Grundseite zu Hülfe nimmt.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 66. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/102>, abgerufen am 27.04.2024.