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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.
gedehnt, die unterliegenden zusammengedrückt. Für die Ausdehnung und Zusammen-Fig.
14.
Tab.
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drückung müssen hier dieselben Gesetze, wie jene §. 283 auseinandergesetzten statt
finden; es werden hier, wie es dort der Fall war, die auf gleiche Art wie Fig. 12
bestimmten Geraden F D und E U die Längenänderungen (Ausdehnungen und Zusam-
mendrückungen) der auf einander liegenden Bänder begränzen und ihre Grösse be-
stimmen.

Vergleichen wir den obern Theil A O P G dieses Balkens mit dem Falle in Fig. 12,
so finden sich dieselben Umstände; es wird also die Summe der Spannungsmo-
mente von A O P G, wenn wir A O = h, O P = C B = L und die Breite des Bal-
kens = B setzen, durch den ähnlichen Ausdruck, wie §. 283 nämlich durch m B . h2 .. (I)
vorgestellt, wo m der entsprechende Cohaesionskoeffizient ist. Betrachten wir nun den
untern Theil O C B P, so widersteht der Körper durch seine abstossende Kraft (Repul-
sionskraft) offenbar nach ähnlichen Gesetzen, wie der obere durch die Cohaesionskraft,
und es wird daher auf gleiche Art nach §. 283, wenn O C = h' und der Repulsions-
koeffizient = m' gesetzt wird, m' . B . h'2 ... (II) das Widerstandsmoment bezeichnen.

Mit diesen beiden Momenten widersteht der Balken dem Buge oder der Einwirkung
des am Ende befestigten Gewichtes, das gesammte Widerstandsmoment des Balkens wird
daher die Summe beider oder m . B . h2 + m' . B . h'2 seyn. Diesem wirkt das Moment der Bela-
stung Q . L entgegen, und es ist im Stande des Gleichgewichtes Q . L = m . B . h2 + m' . B . h'2.

Der Balken, sich selbst überlassen, kann aber nur in einer solchen Lage verharren,
wo die Cohaesionskräfte über O P mit den Repulsionskräften unter O P im Gleichge-
wichte sind, oder wo die Cohaesionsmomente den Repulsionsmomenten gleich sind.
Diese Bedingniss gibt m . B . h2 = m' . B . h'2. Wir können daher obige Gleichung auch
Q . L = 2 m . B . h2 schreiben, in welcher jedoch die Grösse h zu bestimmen kommt.

Das Tragungsvermögen Q eines Parallelopipeds hängt daher von den gegebenen Di-
mensionen B, H, L desselben, vorzüglich aber von der Ausdehnbarkeit und Zusammen-
drückbarkeit der Materientheilchen ab, und wir sehen in dieser Hinsicht, dass ein Kör-
per um so mehr zu tragen vermag, je kleiner der Bruch [Formel 1] ist, oder je grösser bei einer
gegebenen Cohaesionskraft seine Repulsionskraft wird.

Für kleine Belastungen gibt die Erfahrung, dass Cohaesionskraft und Repulsions-
kraft gleich gross, und dem Gewichte proportional, oder dass m = m' ist; dann ist
auch h = h' und derjenige Cohaesionsfaden, der weder ausgedehnt noch zusammenge-
drückt wird, liegt genau in der Mitte der Höhe H, und wir erhalten Q . L = 2 m . B . [Formel 2] .

Bei grössern Belastungen wird aber die Repulsionskraft bedeutend vermehrt, also m'
grösser als m; weil aber in jedem Falle m . h2 = m' . h'2 ist, so muss nun auch h grösser als
h' und h grösser als [Formel 3] seyn; daher wird der Balken wieder fähig, bei gleicher Zunahme
der Spannung verhältnissmässig grössere Gewichte aufzunehmen.

Da die Balken, welche bei dem Maschinen- und Bauwesen verwendet werden, sich
nicht viel biegen dürfen, so bleiben wir bei der Gleichung Q . L = 2 m . B . [Formel 4] stehen;

Relative Festigkeit der Körper.
gedehnt, die unterliegenden zusammengedrückt. Für die Ausdehnung und Zusammen-Fig.
14.
Tab.
14.
drückung müssen hier dieselben Gesetze, wie jene §. 283 auseinandergesetzten statt
finden; es werden hier, wie es dort der Fall war, die auf gleiche Art wie Fig. 12
bestimmten Geraden F D und E U die Längenänderungen (Ausdehnungen und Zusam-
mendrückungen) der auf einander liegenden Bänder begränzen und ihre Grösse be-
stimmen.

Vergleichen wir den obern Theil A O P G dieses Balkens mit dem Falle in Fig. 12,
so finden sich dieselben Umstände; es wird also die Summe der Spannungsmo-
mente von A O P G, wenn wir A O = h, O P = C B = L und die Breite des Bal-
kens = B setzen, durch den ähnlichen Ausdruck, wie §. 283 nämlich durch μ B . h2 .. (I)
vorgestellt, wo μ der entsprechende Cohaesionskoeffizient ist. Betrachten wir nun den
untern Theil O C B P, so widersteht der Körper durch seine abstossende Kraft (Repul-
sionskraft) offenbar nach ähnlichen Gesetzen, wie der obere durch die Cohaesionskraft,
und es wird daher auf gleiche Art nach §. 283, wenn O C = h' und der Repulsions-
koeffizient = μ' gesetzt wird, μ' . B . h'2 … (II) das Widerstandsmoment bezeichnen.

Mit diesen beiden Momenten widersteht der Balken dem Buge oder der Einwirkung
des am Ende befestigten Gewichtes, das gesammte Widerstandsmoment des Balkens wird
daher die Summe beider oder μ . B . h2 + μ' . B . h'2 seyn. Diesem wirkt das Moment der Bela-
stung Q . L entgegen, und es ist im Stande des Gleichgewichtes Q . L = μ . B . h2 + μ' . B . h'2.

Der Balken, sich selbst überlassen, kann aber nur in einer solchen Lage verharren,
wo die Cohaesionskräfte über O P mit den Repulsionskräften unter O P im Gleichge-
wichte sind, oder wo die Cohaesionsmomente den Repulsionsmomenten gleich sind.
Diese Bedingniss gibt μ . B . h2 = μ' . B . h'2. Wir können daher obige Gleichung auch
Q . L = 2 μ . B . h2 schreiben, in welcher jedoch die Grösse h zu bestimmen kommt.

Das Tragungsvermögen Q eines Parallelopipeds hängt daher von den gegebenen Di-
mensionen B, H, L desselben, vorzüglich aber von der Ausdehnbarkeit und Zusammen-
drückbarkeit der Materientheilchen ab, und wir sehen in dieser Hinsicht, dass ein Kör-
per um so mehr zu tragen vermag, je kleiner der Bruch [Formel 1] ist, oder je grösser bei einer
gegebenen Cohaesionskraft seine Repulsionskraft wird.

Für kleine Belastungen gibt die Erfahrung, dass Cohaesionskraft und Repulsions-
kraft gleich gross, und dem Gewichte proportional, oder dass μ = μ' ist; dann ist
auch h = h' und derjenige Cohaesionsfaden, der weder ausgedehnt noch zusammenge-
drückt wird, liegt genau in der Mitte der Höhe H, und wir erhalten Q . L = 2 μ . B . [Formel 2] .

Bei grössern Belastungen wird aber die Repulsionskraft bedeutend vermehrt, also μ'
grösser als μ; weil aber in jedem Falle μ . h2 = μ' . h'2 ist, so muss nun auch h grösser als
h' und h grösser als [Formel 3] seyn; daher wird der Balken wieder fähig, bei gleicher Zunahme
der Spannung verhältnissmässig grössere Gewichte aufzunehmen.

Da die Balken, welche bei dem Maschinen- und Bauwesen verwendet werden, sich
nicht viel biegen dürfen, so bleiben wir bei der Gleichung Q . L = 2 μ . B . [Formel 4] stehen;

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[295/0325] Relative Festigkeit der Körper. gedehnt, die unterliegenden zusammengedrückt. Für die Ausdehnung und Zusammen- drückung müssen hier dieselben Gesetze, wie jene §. 283 auseinandergesetzten statt finden; es werden hier, wie es dort der Fall war, die auf gleiche Art wie Fig. 12 bestimmten Geraden F D und E U die Längenänderungen (Ausdehnungen und Zusam- mendrückungen) der auf einander liegenden Bänder begränzen und ihre Grösse be- stimmen. Fig. 14. Tab. 14. Vergleichen wir den obern Theil A O P G dieses Balkens mit dem Falle in Fig. 12, so finden sich dieselben Umstände; es wird also die Summe der Spannungsmo- mente von A O P G, wenn wir A O = h, O P = C B = L und die Breite des Bal- kens = B setzen, durch den ähnlichen Ausdruck, wie §. 283 nämlich durch μ B . h2 .. (I) vorgestellt, wo μ der entsprechende Cohaesionskoeffizient ist. Betrachten wir nun den untern Theil O C B P, so widersteht der Körper durch seine abstossende Kraft (Repul- sionskraft) offenbar nach ähnlichen Gesetzen, wie der obere durch die Cohaesionskraft, und es wird daher auf gleiche Art nach §. 283, wenn O C = h' und der Repulsions- koeffizient = μ' gesetzt wird, μ' . B . h'2 … (II) das Widerstandsmoment bezeichnen. Mit diesen beiden Momenten widersteht der Balken dem Buge oder der Einwirkung des am Ende befestigten Gewichtes, das gesammte Widerstandsmoment des Balkens wird daher die Summe beider oder μ . B . h2 + μ' . B . h'2 seyn. Diesem wirkt das Moment der Bela- stung Q . L entgegen, und es ist im Stande des Gleichgewichtes Q . L = μ . B . h2 + μ' . B . h'2. Der Balken, sich selbst überlassen, kann aber nur in einer solchen Lage verharren, wo die Cohaesionskräfte über O P mit den Repulsionskräften unter O P im Gleichge- wichte sind, oder wo die Cohaesionsmomente den Repulsionsmomenten gleich sind. Diese Bedingniss gibt μ . B . h2 = μ' . B . h'2. Wir können daher obige Gleichung auch Q . L = 2 μ . B . h2 schreiben, in welcher jedoch die Grösse h zu bestimmen kommt. Das Tragungsvermögen Q eines Parallelopipeds hängt daher von den gegebenen Di- mensionen B, H, L desselben, vorzüglich aber von der Ausdehnbarkeit und Zusammen- drückbarkeit der Materientheilchen ab, und wir sehen in dieser Hinsicht, dass ein Kör- per um so mehr zu tragen vermag, je kleiner der Bruch [FORMEL] ist, oder je grösser bei einer gegebenen Cohaesionskraft seine Repulsionskraft wird. Für kleine Belastungen gibt die Erfahrung, dass Cohaesionskraft und Repulsions- kraft gleich gross, und dem Gewichte proportional, oder dass μ = μ' ist; dann ist auch h = h' und derjenige Cohaesionsfaden, der weder ausgedehnt noch zusammenge- drückt wird, liegt genau in der Mitte der Höhe H, und wir erhalten Q . L = 2 μ . B . [FORMEL]. Bei grössern Belastungen wird aber die Repulsionskraft bedeutend vermehrt, also μ' grösser als μ; weil aber in jedem Falle μ . h2 = μ' . h'2 ist, so muss nun auch h grösser als h' und h grösser als [FORMEL] seyn; daher wird der Balken wieder fähig, bei gleicher Zunahme der Spannung verhältnissmässig grössere Gewichte aufzunehmen. Da die Balken, welche bei dem Maschinen- und Bauwesen verwendet werden, sich nicht viel biegen dürfen, so bleiben wir bei der Gleichung Q . L = 2 μ . B . [FORMEL] stehen;

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 295. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/325>, abgerufen am 28.11.2024.