Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.der Ordnung g vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f. Setzt man also (I) Der Differentialquotient
[Formel 5]
hat in der Fläche selbst zwei der Ordnung γ vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f. Setzt man also (I) Der Differentialquotient
[Formel 5]
hat in der Fläche selbst zwei <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0053" n="48"/> der Ordnung <hi rendition="#i">γ</hi> vernachlässigt, <hi rendition="#i">P</hi><hi rendition="#sup">0</hi> + <hi rendition="#i">P' + P''</hi> + u. s. f.<lb/> = <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sup">0</hi> + <hi rendition="#i">A' + A''</hi> + u. s. f. und also (da eine Function von<lb/><hi rendition="#i">u, λ</hi> nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann,<lb/> deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge<lb/> leisten) <hi rendition="#i">P</hi><hi rendition="#sup">0</hi> = <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">P' = A', P'' = A''</hi> u. s. f. Eben so wird,<lb/> Gröſsen der Ordnung <hi rendition="#i">γ</hi> vernachlässigt, <hi rendition="#i">P</hi><hi rendition="#sup">0</hi> = <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">P' = B',<lb/> P'' = B''</hi> u. s. f.</p><lb/> <p>Setzt man also (I)<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> u. s. f.<lb/> wo offenbar auch <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">a', a'', a'''</hi> u. s. f., imgleichen <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">b', b'',<lb/> b'''</hi> u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei-<lb/> sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei-<lb/> chungen, indem man dabei Gröſsen von der Ordnung <hi rendition="#i">γγ</hi> vernach-<lb/> lässigt, so wird, nachdem mit <hi rendition="#i">γ</hi> dividirt ist, bis auf Fehler von<lb/> der Ordnung <hi rendition="#i">γ</hi> genau<lb/><formula/> Es ist also bis auf Fehler der Ordnung <hi rendition="#i">γ</hi> genau,<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> und folglich, bis auf Fehler der Ordnung <hi rendition="#i">γ γ</hi> genau, (II)<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi></p> <p>Der Differentialquotient <formula/> hat in der Fläche selbst zwei<lb/> verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d <hi rendition="#i">r</hi> oder auf<lb/> die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äuſsern<lb/> Seite geltenden um 4 <hi rendition="#i">π m</hi> cos <hi rendition="#i">θ,</hi> wenn <hi rendition="#i">m</hi> die Dichtigkeit an der<lb/> Durchschnittsstelle und <hi rendition="#i">θ</hi> den Winkel zwischen <hi rendition="#i">r</hi> und der<lb/> Normale bezeichnet (Art. 13, wo <hi rendition="#i">t, A, k</hi><hi rendition="#sup">0</hi> dasselbe bedeuten<lb/> was hier <hi rendition="#i">r, θ, m</hi> sind). Man findet diese beiden Werthe,<lb/> wenn man die beiden im innern und äuſsern Raume geltenden<lb/> Ausdrücke für <hi rendition="#i">V</hi> nach <hi rendition="#i">r</hi> differentiirt, und dann <hi rendition="#i">r = R</hi> (1 + <hi rendition="#i">γ z</hi>)<lb/> setzt. Es ist also der erste =<lb/></p> </div> </body> </text> </TEI> [48/0053]
der Ordnung γ vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f.
= A0 + A' + A'' + u. s. f. und also (da eine Function von
u, λ nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann,
deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge
leisten) P0 = A0, P' = A', P'' = A'' u. s. f. Eben so wird,
Gröſsen der Ordnung γ vernachlässigt, P0 = B0, P' = B',
P'' = B'' u. s. f.
Setzt man also (I)
[FORMEL] u. s. f.
wo offenbar auch a0, a', a'', a''' u. s. f., imgleichen b0, b', b'',
b''' u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei-
sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei-
chungen, indem man dabei Gröſsen von der Ordnung γγ vernach-
lässigt, so wird, nachdem mit γ dividirt ist, bis auf Fehler von
der Ordnung γ genau
[FORMEL] Es ist also bis auf Fehler der Ordnung γ genau,
[FORMEL] und folglich, bis auf Fehler der Ordnung γ γ genau, (II)
[FORMEL]
Der Differentialquotient [FORMEL] hat in der Fläche selbst zwei
verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d r oder auf
die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äuſsern
Seite geltenden um 4 π m cos θ, wenn m die Dichtigkeit an der
Durchschnittsstelle und θ den Winkel zwischen r und der
Normale bezeichnet (Art. 13, wo t, A, k0 dasselbe bedeuten
was hier r, θ, m sind). Man findet diese beiden Werthe,
wenn man die beiden im innern und äuſsern Raume geltenden
Ausdrücke für V nach r differentiirt, und dann r = R (1 + γ z)
setzt. Es ist also der erste =
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Zitationshilfe: | Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 48. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/53>, abgerufen am 29.07.2024. |