Allgemeine Lehrsätze
in Beziehung
auf die
im verkehrten Verhältnisse des Quadrats
der Entfernung wirkenden
Anziehungs- und Abstossungs-Kräfte
von
Carl Friedrich Gauss
Leipzig,
in der Weidmannschen Buchhandlung.
1840.
1.
Die Natur bietet uns mancherlei Erscheinungen dar, welche
wir durch die Annahme von Kräften erklären, die von den
kleinsten Theilen der Substanzen auf einander ausgeübt werden,
und den Quadraten der gegenseitigen Entfernungen umgekehrt
proportional sind.
Vor allen gehört hieher die allgemeine Gravitation. Ver-
möge derselben übt jedes ponderable Molecül μ auf ein ande-
res μ' eine bewegende Kraft aus, welche, wenn man die Ent-
fernung = r setzt, durch ausgedrückt wird, und eine An-
näherung in der Richtung der verbindenden geraden Linie her-
vorzubringen strebt.
Wenn man zur Erklärung der magnetischen Erscheinungen
zwei magnetische Flüssigkeiten annimmt, wovon die eine als
positive Gröſse, die andere als negative betrachtet wird, so
üben zwei derartige Elemente μ, μ' gleichfalls eine bewegende
Kraft auf einander aus, welche durch gemessen wird, und
in der verbindenden geraden Linie wirkt, aber als Abstoſsung,
wenn μ, μ' gleichartig, als Anziehung, wenn sie ungleichar-
tig sind.
Ganz ähnliches gilt von der gegenseitigen Wirkung der
Theile der elektrischen Flüssigkeiten auf einander.
Das linearische Element ds eines galvanischen Stroms übt
auf ein Element des magnetischen Fluidums μ (wenn wir letz-
1
teres zulassen) ebenfalls eine bewegende Kraft aus, die dem
Quadrate der Entfernung r umgekehrt proportional ist: aber
hier tritt zugleich der ganz abweichende Umstand ein, daſs die
Richtung der Kraft nicht in der verbindenden geraden Linie,
sondern senkrecht gegen die durch μ und die Richtung von ds
gelegte Ebene ist, und daſs auſserdem die Stärke der Kraft
nicht von der Entfernung allein, sondern zugleich von dem
Winkel abhängt, welchen r mit der Richtung von ds macht.
Nennt man diesen Winkel θ, so ist das Maaſs der
bewegenden Kraft, welche ds auf μ ausübt, und eben so groſs
ist die von μ auf das Stromelement ds oder dessen pondera-
beln Träger ausgeübte Kraft, deren Richtung der erstern ent-
gegengesetzt parallel ist.
Wenn man mit Ampère annimmt, daſs zwei Elemente von
galvanischen Strömen ds, ds' in der sie verbindenden geraden
Linie anziehend oder abstoſsend auf einander wirken, so nö-
thigen uns die Erscheinungen, diese Kraft gleichfalls dem Qua-
drate der Entfernung umgekehrt proportional zu setzen, zu-
gleich aber erfordern jene eine etwas verwickeltere Abhängig-
keit von der Richtung der Stromelemente.
Wir werden uns in dieser Abhandlung auf die drei ersten
Fälle oder auf solche Kräfte einschränken, die sich in der Rich-
tung der geraden Linie zwischen dem Elemente, welches wirkt,
und demjenigen, auf welches gewirkt wird, äuſsern, und
schlechthin dem Quadrate der Entfernung umgekehrt propor-
tional sind, obwohl mehrere Lehrsätze mit geringer Verände-
rung auch bei den andern Fällen ihre Anwendung finden, de-
ren ausführliche Entwickelung einer andern Abhandlung vor-
behalten bleiben muſs.
2.
Wir bezeichnen mit a, b, c die rechtwinkligen Coordina-
ten eines materiellen Punktes, von welchem aus eine absto-
ſsende oder anziehende Kraft wirkt; die beschleunigende Kraft
selbst in einem unbestimmten Punkte O, dessen Coordinaten
x, y, z sind, mit
wo also μ für den ersten Fall des vorhergehenden Artikels
die im erstern Punkte befindliche ponderable Materie, im zwei-
ten und dritten das Quantum magnetischen oder elektrischen
Fluiduns ausdrückt. Wird diese Kraft parallel mit den drei
Coordinatenaxen zerlegt, so entstehen daraus die Componenten
wo ε = + 1 oder = — 1 sein soll, jenachdem die Kraft an-
ziehend oder abstoſsend wirkt, was sich nach der Beschaffen-
heit des Wirkenden und des die Wirkung Empfangenden von
selbst entscheidet. Diese Componenten stellen sich dar als die
partiellen Differentialquotienten
Wirken also auf denselben Punkt O mehrere Agentien μ0, μ',
μ'' u. s. f. aus den Entfernungen r0, r', r'' u. s. f., und setzt man
so werden die Componenten der ganzen in O wirkenden Kraft
durch
dargestellt.
Wenn die Agentien nicht aus discreten Punkten wirken,
sondern eine Linie, eine Fläche oder einen körperlichen Raum
stetig erfüllen, so tritt an die Stelle der Summation Σ eine
einfache, doppelte oder dreifache Integration. Der letzte Fall
ist an sich allein der Fall der Natur: allein da man oft dafür,
unter gewissen Einschränkungen, fingirte in Punkte concen-
trirte, oder auf Linien oder Flächen stetig vertheilte Agentien
substituiren kann, so werden wir jene Fälle mit in unsre Un-
tersuchung ziehen, wobei es unanstöſsig sein wird, von Mas-
sen, die auf eine Fläche oder Linie vertheilt, oder in einen
Punkt concentrirt sind, zu reden, insofern der Ausdruck
Masse hier nichts weiter bedeutet, als dasjenige, wovon An-
ziehungs- oder Abstoſsungs-Kräfte ausgehend gedacht werden.
1*
3.
Indem wir also, für jeden Punkt im Raume, mit x, y, z
dessen rechtwinklige Coordinaten, und mit V das Aggregat al-
ler wirkenden Massentheilchen, jedes mit seiner Entfernung
von jenem Punkte dividirt, bezeichnen, wobei nach den jedes-
maligen Bedingungen der Untersuchung negative Massentheil-
chen entweder ausgeschlossen oder als zulässig betrachtet wer-
den mögen, wird V eine Function von x, y, z, und die Er-
forschung der Eigenthümlichkeiten dieser Function der Schlüs-
sel zur Theorie der Anziehungs- oder Abstoſsungskräfte selbst
sein. Zur bequemern Handhabung der dazu dienenden Unter-
suchungen werden wir uns erlauben, dieses V mit einer be-
sondern Benennung zu belegen, und diese Gröſse das Potential
der Massen, worauf sie sich bezieht, nennen. Für unsre ge-
genwärtige Untersuchung reicht diese beschränktere Begriffsbe-
stimmung hin: im weitern Sinn könnte man sowohl für Be-
trachtung anderer Anziehungsgesetze, als im umgekehrten Ver-
hältniſs des Quadrates der Entfernung, als auch für den vier-
ten im Art. 1 erwähnten Fall, unter Potential die Function
von x, y, z verstehen, deren partielle Differentialquotienten
die Componenten der erzeugten Kraft vorstellen.
Bezeichnen wir die ganze in dem Punkte x, y, z Statt
findende Kraft mit p, und die Winkel, welche ihre Richtung
mit den drei Coordinatenaxen macht, mit α, ϐ, γ, so sind die
drei Componenten
und
4.
Ist ds das Element einer beliebigen geraden oder krum-
men Linie, so sind die Cosinus der Winkel, wel-
che jenes Element mit den Coordinatenaxen macht; bezeichnet
also θ den Winkel zwischen der Richtung des Elements und
der Richtung, welche die resultirende Kraft daselbst hat, so ist
Die auf die Richtung von ds projicirte Kraft wird folglich
.
Legen wir durch alle Punkte, in welchen das Potential V
einen constanten Werth hat, eine Fläche, so wird solche all-
gemein zu reden die Theile des Raums wo V kleiner ist, von
denen scheiden, wo V gröſser ist als jener Werth. Liegt die
Linie s in dieser Fläche, oder tangirt sie wenigstens dieselbe
mit dem Element ds, so ist . Falls also nicht an die-
sem Platze die Bestandtheile der ganzen Kraft einander destrui-
ren, oder p = o wird, in welchem Falle von einer Richtung
der Kraft nicht mehr die Rede sein kann, muſs nothwendig
cos θ = o sein, woraus wir schlieſsen, daſs die Richtung der resul-
tirenden Kraft in jedem Punkte einer solchen Fläche gegen
diese selbst normal ist, und zwar nach derjenigen Seite des
Raumes zu, wo die gröſsern Werthe von V angrenzen, wenn
ε = + 1 ist; nach der entgegengesetzten, wenn ε = — 1 ist.
Wir nennen eine solche Fläche eine Gleichgewichtsfläche. Da
durch jeden Punkt eine solche Fläche gelegt werden kann,
so wird die Linie s, falls sie nicht ganz in Einer Gleichge-
wichtsfläche liegt, in jedem ihrer Punkte eine andere treffen.
Durchschneidet s alle Gleichgewichtsflächen unter rechten Win-
keln, so stellt eine Tangente an jener Linie überall die Rich-
tung der Kraft, und ihre Stärke dar.
Das Integral ∫ p cos θ . ds, durch ein beliebiges Stück der
Linie s ausgedehnt, wird offenbar = ε (V' — V0), wenn V0, V'
die Werthe des Potentials für den Anfangs- und Endpunkt
bedeuten. Ist also s eine geschlossene Linie, so wird jenes In-
tegral, durch die ganze Linie erstreckt, = o werden.
5.
Es ist von selbst klar, daſs das Potential in jedem Punkte
des Raumes, der auſserhalb aller anziehenden oder abstoſsenden
Theilchen liegt, einen assignabeln Werth erhalten muſs; das-
selbe gilt aber auch von dessen Differentialquotienten, sowohl
erster als höherer Ordnung, da diese in jener Voraussetzung
gleichfalls die Form von Summen assignabler Theile oder von
Integralen solcher Differentiale annehmen, in denen die Coef-
ficienten durchaus assignable Werthe haben. So wird
Die bekannte Gleichung
gilt also für alle Punkte des Raumes, die auſserhalb der wir-
kenden Massen liegen.
6.
Unter den verschiedenen Fällen, wo der Werth des Po-
tentials V oder seiner Differentialquotienten für einen nicht
auſserhalb der wirkenden Massen liegenden Punkt in Frage
kommt, wollen wir zuerst den Fall der Natur betrachten, wo
die Massen einen bestimmten körperlichen Raum mit gleichför-
miger oder ungleichförmiger, aber überall endlicher Dichtig-
keit ausfüllen.
Es sei t der ganze Raum, welcher Masse enthält; dt ein
unendlich kleines Element desselben, welchem die Coordinaten
a, b, c und das Massenelement kdt entsprechen; ferner sei V
das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z,
also die Entfernung von jenem Element
Es wird folglich
durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In-
tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra-
tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich
befindet, obgleich dann für die unendlich nahe bei O lie-
genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an-
statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man
a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ
setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d λ . d r, mithin
V = ∫∫∫ kr sin u . d u . d λ . d r
wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem
an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis
λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs.
Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth
erhalten.
Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier
setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-
naten in
übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be-
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele-
mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus
ähnlichen Gründen darf man auch
setzen, und diese Gröſsen erhalten daher, eben so wie V, in-
nerhalb t bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe.
Dasselbe wird auch noch auf der Grenze von t gelten.
7.
Was nun aber die Differentialquotienten höherer Ordnun-
gen betrifft, so muſs für Punkte innerhalb t ein anderes Ver-
fahren eintreten, da es z. B. nicht verstattet ist, in
umzuformen, indem dieser Ausdruck genau betrachtet nur ein
Zeichen ohne bestimmte klare Bedeutung sein würde. Denn
in der That, da sich innerhalb jedes auch noch so kleinen
Theils von t, welcher den Punkt einschlieſst, Theile nachwei-
sen lassen, über welche ausgedehnt dieses Integral jeden vor-
gegebenen Werth, er sei positiv oder negativ, überschreitet, so
fehlt hier die wesentliche Bedingung, unter welcher allein dem
ganzen Integrale eine klare Bedeutung beigelegt werden kann,
nemlich die Anwendbarkeit der Exhaustionsmethode.
8.
Ehe wir diese Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor-
nehmen, wird es zur Fixirung der Vorstellungen nützlich sein,
einen sehr einfachen speciellen Fall zu betrachten.
Es sei t eine Kugel, deren Halbmesser = R ist, und de-
ren Mittelpunkt mit dem Anfangspunkte der Coordinaten zu-
sammenfällt: die Dichtigkeit der die Kugel erfüllenden Masse sei
constant = k, und den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte
bezeichnen wir mit . Bekanntlich hat das
Potential zwei verschiedene Ausdrücke, je nachdem O innerhalb
der Kugel, oder auſserhalb liegt. Im erstern Fall ist nemlich
im zweiten hingegen
Auf der Oberfläche der Kugel geben beide Ausdrücke einerlei
Werth 4/3πkRR, und das Potential ändert sich daher im gan-
zen Raume nach der Stetigkeit.
Für die Differentialquotienten erhalten wir, im innern Raume
im äussern Raume hingegen
Auch hier geben auf der Oberfläche die letztern Formeln
dieselben Werthe wie die erstern, daher auch X, Y, Z im gan-
zen Raume nach der Stetigkeit sich ändern.
Anders verhält es sich aber mit den Differentialquotienten
dieser Grössen. Im innern Raume haben wir
im äuſsern Raume hingegen
Auf der Oberfläche fallen diese Werthe nicht mit jenen
zusammen, sondern sind beziehungsweise
gröſser. Es ändern sich daher jene Differentialquotienten, nach
der Stetigkeit zwar im ganzen innern und im ganzen äuſsern
Raume, aber sprungsweise beim Übergange aus dem einen in
den andern, und in der Scheidungsfläche selbst muſs man ihnen
doppelte Werthe beilegen, je nachdem dx, dy, dz als positiv
oder als negativ betrachtet werden.
Ähnliches findet bei den sechs übrigen Differentialquotienten
Statt, die im Innern der Kugel sämmtlich = 0 werden, und
beim Durchgange durch die Kugelfläche sprungsweise die Än-
derungen
u. s. f. erleiden.
Das Aggregat
wird im Innern der Kugel = — 4πk, im äuſsern Raume
= 0. Auf der Oberfläche selbst verliert es aber seine einfache
Bedeutung: präcis zu reden, kann man nur sagen, daſs es ein
Aggregat von drei Theilen ist, deren jeder zwei verschiedene
Werthe hat, und so giebt es eigentlich acht Combinationen,
unter denen eine mit dem auf der innern Seite, eine andere
mit dem auf der äuſsern Seite geltenden Werthe übereinstimmt,
während die sechs übrigen ohne alle Bedeutung bleiben. Der
Analyse, durch welche einige Geometer auf der Oberfläche der
Kugel den Werth — 2πk, oder den Mittelwerth zwischen den
innen und auſsen geltenden, herausgebracht haben, kann ich,
insofern der Begriff von Differentialquotienten in seiner mathe-
matischen Reinheit aufgefaſst wird, eine Zulässigkeit nicht ein-
räumen.
9.
Das im vorhergehenden Beispiel gefundene Resultat ist nur
ein einzelner Fall des allgemeinen Theorems, nach welchem,
wenn der Punkt O sich im Innern der wirkenden Masse be-
findet, der Werth von äqual wird dem
Producte aus — 4π in die in O Statt findende Dichtigkeit.
Die befriedigendste Art, diesen wichtigen Lehrsatz zu begrün-
den, scheint folgende zu sein.
Wir nehmen an, daſs die Dichtigkeit k sich innerhalb t
nirgends sprungsweise ändere, oder daſs sie eine mit f (a, b, c)
zu bezeichnende Function von a, b, c sei, deren Werth sich
innerhalb t überall nach der Stetigkeit ändert, auſserhalb t hin-
gegen = 0 wird.
Es sei t' der Raum, in welchen t übergeht, wenn die erste
Coordinate jedes Punktes der Grenzfläche um die Grösse e ver-
mindert, oder was dasselbe ist, wenn die Grenzfläche parallel
mit der ersten Coordinatenaxe um e rückwärts bewegt wird;
es bestehe t aus den Räumen t0 und θ, t' aus t0 und θ',
so daſs t0 der ganze Raum ist, welcher t und t' gemeinschaft-
lich bleibt. Wir betrachten die drei Integrale
(1)
(2)
(3)
wo das Integral (1) über den ganzen Raum t ausgedehnt der
Werth von oder X in dem Punkte O sein wird. Das In-
tegral (2) gleichfalls über ganz t ausgedehnt wird der Werth
von in demjenigen Punkte sein, dessen Coordinaten x + e, y, z
sind, welchen Werth wir mit X + ξ bezeichnen wollen. Of-
fenbar ist mit diesem Integrale ganz identisch das Integral (3)
über den ganzen Raum t' ausgedehnt. Ist also
das Integral (1), ausgedehnt über t0 l
-
über θ λ
das Integral (3) ausgedehnt über t0 l'
-
über θ' λ'
so wird X = l + λ, X + ξ = l' + λ'.
Setzen wir f (a + e, b, c) — f (a, b, c) = Δk, so ist das In-
tegral
(4)
über t0 ausgedehnt, .
Die bisherigen Resultate gelten allgemein für jede Lage
von O: bei der weitern Entwicklung soll der Fall, wo O in
der Oberfläche selbst liegt, ausgeschlossen sein, oder angenom-
men werden, daſs O in meſsbarer Entfernung von der Ober-
fläche, innerhalb oder auſserhalb t liege.
Lassen wir nun e unendlich klein werden, so sind die
Räume θ, θ' zwei unendlich schmale an der Oberfläche von t
anliegende Raumschichten; zerlegen wir diese Oberfläche in
Elemente ds, und bezeichnen mit α den Winkel, welchen eine
in ds nach auſsen errichtete Normale mit der ersten Coordina-
tenaxe macht, so wird α offenbar spitz sein überall, wo die
Oberfläche von t an θ grenzt, stumpf hingegen da, wo sie an
θ' grenzt. Die Elemente von θ werden also ausgedrückt wer-
den durch e cos α ds, die Elemente von θ' hingegen durch
— e cos α ds, woraus man leicht schlieſst, daſs übergeht
in das Integral
oder was dasselbe ist, in dieses
durch die ganze Oberfläche ausgedehnt, wo unter k die an dem
Elemente ds Statt findende Dichtigkeit zu verstehen ist.
Unter Voraussetzung eines unendlich kleinen Werthes von
e wird ferner übergehen in den Werth des partiellen Dif-
ferentialquotienten oder , und der Werth des In-
tegrals (4) oder in das Integral
durch den ganzen Raum t ausgedehnt.
Endlich ist, für ein unendlich kleines
oder , nichts anderes, als der Werth des partiellen Differen-
tialquotienten oder . Wir haben folglich das einfache
Resultat
wo die erste Integration über den ganzen Raum t, die zweite
über die ganze Oberfläche desselben auszudehnen ist.
Dieses Resultat ist gültig, wie nahe auch O der Oberfläche
auf der innern oder äuſsern Seite liegen mag, nur nicht in der
Oberfläche selbst, wo vielmehr zwei verschiedene Werthe
haben wird. Das erste Integral ändert sich zwar beim Durch-
gange durch die Oberfläche nach der Stetigkeit, hingegen än-
dert sich nach einem weiter unten zu
beweisenden Theorem beim Übergange von einem innern der
Oberfläche unendlich nahen Punkte nach einem äuſsern um
die endliche Grösse 4πk cos α, wo k und α sich auf die Durch-
gangsstelle beziehen, und eben so groſs wird der Unterschied
der beiden daselbst Statt findenden Werthe von sein.
10.
Auf ähnliche Weise wird, wenn ϐ und γ in Beziehung
auf die zweite und dritte Coordinatenaxe dieselbe Bedeutung
haben, wie α in Beziehung auf die erste, und für die Lage
von O dieselbe Beschränkung gilt, wie vorhin,
Erwägen wir nun, daſs
nichts anderes ist, als der Werth des Differentialquotienten
, insofern in dieser Differentiation nur die Länge von r als
veränderlich, die Richtung aber als constant betrachtet wird;
ferner, daſs
wird, wenn ψ den Winkel bezeichnet, welchen die nach au-
ſsen gerichtete Normale in ds mit der verlängerten geraden Li-
nie r macht, so erhellet, daſs, wenn das Integral
über den ganzen Raum t erstreckt mit M, das Integral
durch die ganze Oberfläche von t ausgedehnt mit N bezeich-
net wird,
sein wird.
Um die erstere Integration auszuführen, beschreiben wir
um den Mittelpunkt O mit dem Halbmesser 1 eine Kugelfläche,
und zerlegen dieselbe in Elemente dσ. Die von O durch alle
Punkte der Peripherie von dσ geführten und unbestimmt ver-
längerten geraden Linien bilden eine Kegelfläche (im weitern
Sinne des Worts), wodurch aus dem ganzen t ein Raum (nach
Umständen aus mehrern getrennten Stücken bestehend) ausge-
schieden wird, und wovon r r d σ . dr ein unbestimmtes Element
ist. Derjenige Theil von M, welcher sich auf diesen Raum
bezieht, wird folglich durch . dr ausgedrückt werden,
wenn diese Integration durch alle in t fallenden Theile einer
durch O und einen Punkt von dσ gehenden soweit als nöthig
verlängerte gerade Linie r erstreckt wird. Nehmen wir nun
an, diese gerade Linie schneide die Oberfläche von t der Reihe
nach in O', O'', O''', OIV u. s. f.; bezeichnen mit r', r'', r''', rIV
u. s. f. die Werthe von r in diesen Punkten; mit ds', ds'', ds''',
dsIV u. s. f. die entsprechenden durch den Elementarkegel aus
der Oberfläche von t ausgeschiedenen Elemente; mit k', k'', k''',
kIV u. s. f. die Werthe von k, und mit ψ', ψ'', ψ''', ψIV u. s. f.
die Werthe von ψ an diesen Elementen: so übersieht man
leicht, daſs
I. für den Fall, wo O innerhalb t liegt, die Anzahl jener
Punkte ungerade, und die Integration von r = 0
bis r = r', dann von r = r'' bis r = r''' u. s. f. auszuführen
sein wird, woraus also, wenn die Dichtigkeit in O mit k0 be-
zeichnet wird, hervorgeht
Da die Winkel ψ', ψ'', ψ''', ψIV u. s. f. offenbar abwech-
selnd spitz und stumpf sind, so wird
u. s. f. und folglich
indem die Summation auf alle ds ausgedehnt wird, welche dem
Element dσ entsprechen. Durch Integration über sämmtliche
dσ erhält man also
wo das Integral über die ganze Oberfläche erstreckt werden
muſs, oder M = 4πk0 + N. Es wird folglich
.
II. Für den Fall, wo O auſserhalb t liegt, hat man nur
diejenigen dσ in Betracht zu ziehen, für welche die durch O
und einen Punkt von dσ gelegte gerade Linie den Raum t wirk-
lich trifft; die Anzahl der Punkte O', O'', O''' u. s. f. wird hier
immer gerade sein, und die Winkel ψ', ψ'', ψ''' u. s. f. abwech-
selnd stumpf und spitz, also ds' . cos ψ' = — r'r'dσ, ds'' . cos ψ''
= + r''r'' dσ, ds''' cos ψ''' = — r'''r'''dσ u. s. f. Da nun hier
die Integration , dann von
r = r''' bis r = rIV u. s. f. ausgeführt werden muſs, so ergibt
sich
und nach der zweiten Integration durch alle in Betracht kom-
menden dσ,
folglich, wie ohnehin bekannt ist,
.
11.
Obgleich in unsrer Beweisführung angenommen ist, daſs
die Dichtigkeit sich in dem ganzen Raum t nach der Stetigkeit
ändere, so ist doch zur Gültigkeit unsers Resultats diese Be-
dingung nicht nothwendig, sondern es wird bloſs erfordert,
daſs in dem Punkte O die Dichtigkeit nach allen Seiten zu
nach der Stetigkeit sich ändere, oder daſs O innerhalb eines wenn
auch noch so kleinen dieser Bedingung Genüge leistenden Rau-
mes liege. Setzen wir nemlich das Potential der in diesem
Raume enthaltenen Masse = V', das Potential der übrigen au-
ſserhalb desselben befindlichen Massen = V'', so wird das ganze
Potential V = V' + V'', und da nach dem vorhergehenden
Artikel
ist, so wird
Fehlt hingegen diese Bedingung in dem Punkte O, und liegt
also dieser in der Scheidungsfläche zwischen zweien solchen
Räumen, in welchen, jeden für sich genommen die Dichtigkeit
nach der Stetigkeit, aber beim Übergange aus dem einen in den
andern sprungsweise sich ändert, so haben daselbst, allgemein
zu reden, jedes zwei verschiedene Werthe, und
von dem Aggregate jener Gröſsen gilt dasselbe, was am Schlusse
des 8 Artikels erinnert ist.
12.
Wir ziehen, wie schon oben bemerkt ist, auch den idea-
len Fall mit in den Kreis unsrer Untersuchungen, wo An-
ziehungs- oder Abstoſsungskräfte von den Theilen einer Fläche
ausgehend angenommen werden, und erlauben uns dabei die
Einkleidung, daſs eine wirkende Masse in der Fläche vertheilt
sei. Unter Dichtigkeit in irgend einem Punkte der Fläche
verstehen wir in diesem Falle den Quotienten, wenn die in
einem Elemente der Fläche, welchem der Punkt angehört, ent-
haltene Masse mit diesem Element dividirt wird. Diese Dich-
tigkeit kann gleichförmig (in allen Punkten dieselbe) oder un-
gleichförmig sein, und im letztern Falle entweder in der gan-
zen Fläche sich nach der Stetigkeit ändern (d. i. so, daſs sie
2
in je zwei einander unendlich nahen Punkten auch nur un-
endlich wenig verschieden ist) oder es kann die ganze Fläche
in zwei oder mehrere Stücke zerfallen, in deren jedem eine
stetige Änderung Statt findet, während beim Übergange aus
einem in das andere die Änderung sprungsweise geschieht.
Übrigens kann auch eine solche Vertheilung gedacht werden,
wo unbeschadet der Endlichkeit der ganzen Masse, die Dich-
tigkeit in einzelnen Punkten oder Linien unendlich groſs wird.
Der Fläche selbst, insofern sie nicht eine Ebene ist, wird all-
gemein zu reden eine stetige Krümmung beigelegt werden, ohne
darum eine Unterbrechung in einzelnen Punkten (Ecken) oder
Linien (Kanten) auszuschlieſsen.
Dieses vorausgesetzt erhält das Potential auch in jedem
Punkte der Fläche selbst, wo nur die Dichtigkeit nicht unend-
lich groſs ist, einen bestimmten endlichen Werth, von welchem
der Werth in einem zweiten Punkt, der, in der Fläche oder
auſserhalb, jenem unendlich nahe liegt, nur unendlich wenig
verschieden sein kann Von der Endlichkeit des Integrals, welches das Potential ausdrückt,
überzeugt man sich leicht, indem man die Zerlegung der Fläche in
Elemente auf ähnliche Weise ausführt, wie im 15 Artikel geschehen
wird; und zugleich wird daraus ersichtlich, daſs die den beiden in
Rede stehenden Punkten unendlich nahen Theile der Fläche zu dem
ganzen Integral nur unendlich wenig beitragen, woraus sich das oben
gesagte leicht beweisen läſst., oder mit anderen Worten, in jeder
Linie, möge sie in der Fläche selbst liegen, oder dieselbe kreu-
zen, ändert sich das Potential nach der Stetigkeit.
13.
Bezeichnet man mit k die Dichtigkeit in dem Flächenele-
ment ds; mit a, b, c die Coordinaten eines demselben angehö-
renden Punkts; mit r dessen Entfernung von einem Punkte O,
dessen Coordinaten x, y, z sind, und mit V das Potential der
in der Fläche enthaltenen Masse in dem Punkte O, so ist V
= , durch die ganze Fläche ausgedehnt, endlich mit
X, Y, Z die eben so verstandenen Integrale
so sind zwar X, Y, Z ganz gleichbedeutend mit ,
so lange O auſserhalb der Fläche liegt, aber genau zu reden
gilt dieſs nicht mehr, wenn O ein Punkt der Fläche selbst ist,
und die Ungleichheit gestaltet sich verschieden je nach der Be-
schaffenheit des Winkels, welchen die Normale auf die Fläche
mit der betreffenden Coordinatenaxe macht. Es ist offenbar
hinreichend, hier nur das Verhalten in Beziehung auf die erste
Coordinatenaxe anzugeben.
I. Ist jener Winkel = 0, so hat in O das Integral X ei-
nen bestimmten Werth, hingegen hat zwei verschiedene
Werthe, je nachdem man dx als positiv oder als negativ be-
trachtet.
II. Ist der Winkel ein rechter, so läſst der Ausdruck für
X eine wahre Integration nicht zu (indem dann eine ähnliche
Bemerkung gilt, wie im 7 Artikel), während nur Einen be-
stimmten Werth hat.
III. Ist der Winkel spitz, so verhält es sich mit X eben
so wie im zweiten, und mit eben so wie im ersten Falle.
Noch besondre Modificationen treten ein, wenn in O eine
Unterbrechung der Stetigkeit entweder in Beziehung auf die
Dichtigkeit oder die Krümmung Statt findet. Für unsern Haupt-
zweck ist jedoch nicht nothwendig, solche Ausnahmsfälle, die
nur in einzelnen Linien oder Punkten eintreten können, aus-
führlich abzuhandeln, und wir werden daher bei der nähern
Erörterung des Gegenstandes annehmen, daſs in dem fraglichen
Punkte eine bestimmte endliche Dichtigkeit, und eine bestimmte
Berührungsebene Statt findet.
14.
Ehe wir die Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor-
nehmen, wird es nützlich sein, einen einfachen besondern Fall
zu betrachten. Es sei die Fläche das Stück A einer Kugel-
2*
fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant.
Es sind also V, X die Werthe der Integrale
durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In-
tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B,
und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-
streckt werden, so wird V = V0 — V', X = X0 — X'.
Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen,
den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der
Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des
Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen.
Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in-
nerhalb der Kugel, hingegen , wenn O auſser-
halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-
sammen. Der Differentialquotient wird daher innerhalb
der Kugel = 0, auſserhalb ; auf der Ku-
gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je
nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe
nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-
henden Artikels entspricht.
Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku-
gel mit gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-
res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,
den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe
liegenden Elemente der Fläche a — x ein unendlich kleines
von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0,
z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 =
= 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von überein-
stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-
bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.
Erwägt man nun, daſs wenn O ein auf der Oberfläche
der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und
gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich
ändernde Werthe haben, so erhellet, daſs das gegenseitige Ver-
halten zwischen X0 — X' und , d. i. zwischen
X und ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und ,
woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze
von selbst folgen.
15.
Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den
Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie-
genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk-
recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich-
nen wir mit ψ den Winkel zwischen der Normale auf das
unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe,
so ist cos ψ . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und
c; und setzen wir √ (bb + cc) = ρ, b = ρ cos θ, c = ρ sin θ,
so wird ρ dρ . d θ ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor-
stellen, und das entsprechende Flächenelement ds
sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h ρ d ρ . d θ
sein, wenn wir zur Abkürzung h für schreiben.
Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von
X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten
Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere,
oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über-
geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die
ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei-
nen, den Punkt P einschlieſsenden Theil, da der Beitrag des
übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach
der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, ρ nur von 0 bis
zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe ρ' auszudehnen, und
vorauszusetzen, daſs in der so begrenzten Fläche h und sich
überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be-
stimmten Werth von θ, den Werth des Integrals ,
von ρ = 0 bis ρ = ρ' ausgedehnt, = Q, so wird X = ∫Qdθ,
wo die Integration von θ = 0, bis θ = 2π zu erstrecken ist.
Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0,
für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich
kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl
= 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich-
nen diese drei Werthe von X mit X0, X', X'', und die ent-
sprechenden Werthe von Q mit Q0, Q', Q''.
Da r = √ ((a — x)2 + ρρ), so erhält man, indem man
θ als constant betrachtet,
und folglich Q =
.
wo die beiden Integrationen von ρ = 0 bis ρ = ρ' auszudeh-
nen, und die Werthe von h, a, r für ρ = ρ' mit h', a', r'
bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von
für ρ = 0 anzunehmen, welcher wenn man die
Dichtigkeit in P mit k0 bezeichnet, = — k0 wird für ein po-
sitives x, und = + k0 für ein negatives, indem für ρ = 0
offenbar a = 0, ψ = 0, h = k0, x = ± r wird. Für den
Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth
von bei unendlich abnehmendem ρ anzunehmen, welcher
= 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord-
nung wird als r.
Der Werth des Integrals . dρ bleibt bis auf
einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0,
oder unendlich klein = ± ε setzen. Zerlegt man nemlich
jenes Integral in
so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt,
wenn δ unendlich klein, und für den zweiten, wenn unend-
lich groſs ist, also für das Ganze, wenn δ ein Unendlichkleines
von einer niedrigern Ordnung als ε.
Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In-
tegral , wenn die Punkte der Fläche, welche
dem bestimmten Werthe von θ entsprechen, eine Curve bilden,
die in P eine meſsbare Krümmung hat, so daſs in dem hier
betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich
ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth
mit A, so wird
mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei
bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schluſsweise von
selbst klar ist.
Endlich sind auch offenbar die Werthe von für
alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede
gleich.
Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' — k0 bis auf
unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird
demnach auch von ∫ (Q' + k0)dθ, ∫Q0dθ, ∫ (Q'' — k0) dθ
gelten, oder von den Grössen X' + 2πk0, X0, X'' — 2πk0.
Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der
Grenzwerth von X, bei unendlich abnehmendem positiven x ist
X0 — 2πk0, bei unendlich abnehmenden negativen x hingegen
X0 + 2πk0, oder X ändert sich zweimahl sprungsweise um
— 2πk0, indem x aus einem negativen Werthe in einen po-
sitiven übergeht, das erstemahl, indem x den Werth 0 erreicht,
und das zweitemahl, indem es ihn überschreitet.
16.
In der Beweisführung des vorhergehenden Artikels ist
zwar vorausgesetzt, dass die Schnitte der Fläche mit den durch
die erste Coordinatenaxe gelegten Ebenen in P eine meſsbare
Krümmung haben: allein unser Resultat bleibt auch noch gül-
tig, wenn die Krümmung in P unendlich groſs ist, einen ein-
zigen Fall ausgenommen. Daſs für ein unendlich kleines
ρ selbst unendlich klein werden müsse, bringt schon die Vor-
aussetzung des Vorhandenseins einer bestimmten Berührungs-
ebene an der Fläche in P mit sich; allein von einerlei Ord-
nung sind beide Gröſsen nur dann, wenn ein endlicher Krüm-
mungshalbmesser Statt findet; bei einem unendlich kleinen
Krümmungshalbmesser hingegen wird von einer niedrigern
Ordnung sein als ρ. Wir werden nun zeigen, daſs unsre Re-
sultate auch im letztern Falle ihre Gültigkeit behalten, wenn
nur die Ordnungen beider Gröſsen vergleichbar sind.
Nehmen wir also an, sei von derselben Ordnung wie
ρμ, wo μ einen endlichen positiven Exponenten bedeutet, also
eine endliche in dem in Rede stehenden Raume nach
der Stetigkeit sich ändernde Gröſse, die wir mit B bezeichnen
wollen. Es zerfällt also das Integral in die
beiden folgenden
Auf das zweite Integral lassen sich die Schlüsse des vorher-
gehenden Artikels unmittelbar anwenden, auf das erste hinge-
gen nach einer leichten Umformung. Setzt man nemlich
oder ρ = σm, so wird jenes Integral
Auch dieses Integral hat nun offenbar so lange nur einen un-
endlich kleinen Werth, als die Integration nur von 0 bis zu
einem unendlich kleinen Werthe von σ ausgedehnt wird; für
jeden endlichen Werth von σ hingegen erhält der Coefficient
von dσ bis auf einen unendlich kleinen Unterschied einerlei
Werth, man möge x = 0 oder unendlich klein annehmen.
Dies gilt also auch von dem ganzen Integral, wenn es von
σ = 0 bis ausgedehnt wird.
Nur in einen einzigen Falle verlieren unsre Schlüsse ihre
Gültigkeit, wenn nemlich mit keiner Potenz von ρ mehr
zu einerlei Ordnung gehört, wie z. B. wenn von derselben
Ordnung wäre, wie . In diesem Falle würde Q bei
unendlicher Annäherung des Punktes O zur Fläche über alle
Grenzen wachsen, und dasselbe würde auch für X gelten, wenn
ein solches Verhalten nicht bloſs für einen oder einige Werthe
von θ, sondern für alle Statt fände. Es ist jedoch unnöthig,
dieſs hier weiter zu entwickeln, da wir diesen singulären Fall
von unsrer Untersuchung ohne Nachtheil ganz ausschlieſsen
können.
17.
Wir wollen nun unter denselben Voraussetzungen und
Bezeichnungen wie im 15 Artikel, die Gröſse Y betrachten,
wovon ein unbestimmtes Element ist. Da
, und folglich
insofern c als constant betrachtet wird, so gibt die erste Inte-
gration in diesem Sinne,
wo die Integrationen sich vom kleinsten zum gröſsten Werthe
von b, für jeden bestimmten Werth von c erstrecken, und mit
h*, r*, h**, r** die jenen Grenzwerthen entsprechenden Werthe
von h und r bezeichnet sind. Schreiben wir zur Abkürzung
so wird
wo die Integration in Beziehung auf c vom kleinsten Werthe,
welchen diese Coordinate in der Fläche hat, bis zum gröſsten
ausgedehnt werden muſs. In dem doppelten Integrale stellt
d b . d c die Projection eines unbestimmten Elements der Fläche
auf die Ebene der b, c vor, und es kann mithin auch ρ d ρ . d θ
dafür geschrieben werden: sonach wird
wo in dem Doppelintegral von ρ = o bis ρ = ρ' und von
θ = o bis θ = 2 π integrirt werden muſs. Durch ähnliche
Schlüsse, wie im 15. Artikel, erkennt man nun leicht, daſs
dieser Ausdruck bis auf unendlich kleine Unterschiede gleiche
Werthe erhält, man möge x = o oder unendlich klein anneh-
men, oder mit andern Worten, der Werth von Y hat bei po-
sitiven und bei negativen unendlich abnehmenden Werthen
von x eine und dieselbe Grenze, und diese Grenze ist nichts
anderes, als der Werth obiger Formel, wenn man darin x = o
setzt. Wir wollen nach der Analogie diesen Werth mit Y0
bezeichnen, wobei jedoch bemerkt werden muſs, daſs man
nicht sagen darf, es sei dieſs der Werth von für
x = o (insofern dieser Ausdruck für x = o eine wahre Inte-
gration nicht zuläſst), sondern nur, es sei ein Werth jenes In-
tegrals, nemlich derjenige, welcher hervorgeht, wenn man in
der oben befolgten Ordnung integrirt.
Übrigens bedarf dieses Resultat (auf ähnliche Weise wie
oben Art. 16) einer Einschränkung in dem singulären Falle,
wo in dem Punkte P unendlich kleine Krümmungshalbmesser
Statt finden, imgleichen, wenn in diesem Punkte unendlich
groſs wird: für unsern Zweck ist es jedoch unnöthig, solche
Ausnahmsfälle, die nur in einzelnen Punkten oder Linien vor-
kommen können (also nicht in Theilen der Fläche, sondern nur
an der Grenze von Theilen) besonders zu betrachten.
Endlich ist von selbst klar, daſs es sich mit der Gröſse Z
oder dem Integrale ganz eben so verhält, wie mit
Y, nemlich daſs dieses Integral, wenn der Punkt O sich in
der ersten Coordinatenaxe dem Punkte P unendlich nähert, einer-
lei Grenzwerth Z0 hat, die Annäherung mag auf der positiven
oder auf der negativen Seite Statt finden, und daſs dieser
Grenzwerth zugleich der Werth von für
x = o ist, insofern man zuerst nach c integrirt.
18.
Erwägen wir nun, daſs die Gröſsen in
allen Punkten des Raums, die nicht in der Fläche selbst lie-
gen, unbedingt einerlei sind mit X, Y, Z, und daſs V sich
überall nach der Stetigkeit ändert, so läſst sich aus den in
dem vorhergehenden Artikel gefundenen Resultaten leicht fol-
gern, daſs in unendlich kleiner Entfernung von P, oder für
unendlich kleine Werthe von x, y, z, der Werth von V bis
auf unendlich kleine Gröſsen höherer Ordnung genau, ausge-
drückt wird durch
wenn x positiv ist, oder durch
wenn x negativ ist, wo mit V0 der Werth von V in dem
Punkte P selbst, oder für x = o, y = o, z = o bezeichnet ist.
Betrachten wir also die Werthe von V in einer durch P ge-
legten geraden Linie, die mit den drei Coordinaxen die Win-
kel A, B, C macht, bezeichnen mit t ein unbestimmtes Stück
dieser Linie und mit t0 den Werth von t in dem Punkte P,
so wird, wenn t — t0 unendlich klein ist, bis auf ein Unend-
lichkleines höherer Ordnung genau
das obere Zeichen für positive, das untere für negative Werthe
von (t — t0) cos A geltend, oder es hat in dem Punkte P
für ein spitzes A zwei verschiedene Werthe, nemlich
X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C — 2 π k0 cos A und
X0 cos A + Y0 cos B + Z0 cos C + 2 π k0 cos A
je nachdem d t als positiv oder als negativ betrachtet wird.
Für den Fall, wo A ein rechter Winkel ist, also die gerade
Linie die Fläche nur berührt, fallen beide Ausdrücke zusam-
men, und es wird
Die bisher vorgetragenen Sätze sind zwar ihrem wesent-
lichen Inhalte nach nicht neu, durften aber des Zusammen-
hanges wegen als nothwendige Vorbereitungen zu den nachfol-
genden Untersuchungen nicht übergangen werden, in welchen
eine Reihe neuer Lehrsätze entwickelt werden wird.
19.
Es sei V das Potential eines Systems von Massen M', M'',
M''' …, die sich in dem Punkte P', P'', P''' … befinden;
v das Potential eines zweiten Systems von Massen m', m'', m''' …,
die in den Punkten p', p'', p''' … angenommen werden: ferner
seien V', V'', V''' … die Werthe von V in den letztern
Punkten, und v', v'', v''' … die Werthe von v in den Punkten,
P', P'', P''' … Man hat dann die Gleichung
M' v' + M'' v'' + M''' v''' + u.s.f. = m' V' + m'' V'' + m''' V''' + u.s.f.
die auch durch ΣMv = ΣmV ausgedrückt wird, wenn unbestimmt
M jede Masse des ersten, m jede Masse des zweiten Systems
vorstellt. In der That ist sowohl ΣMv als ΣmV nichts an-
deres, als das Aggregat aller Combinationen , wenn ρ die
gegenseitige Entfernung der Punkte bezeichnet, in welchen sich
die betreffenden Massen M, m befinden.
Befinden sich die Massen des einen Systems, oder beider,
nicht in discreten Punkten, sondern auf Linien, Flächen oder
körperliche Räume nach der Stetigkeit vertheilt, so behält obige
Gleichung ihre Gültigkeit, wenn man anstatt der Summe das
entprechende Integral substituirt.
Ist also z. B. das zweite Massensystem in einer Fläche so
vertheilt, daſs auf das Flächenelement d s die Masse k d s kommt,
so wird Σ M v = ∫ k V d s, oder wenn ähnliches auch von dem
ersten System gilt, so daſs das Flächenelement d S die Masse
K d S enthält, wird ∫ K v d S = ∫ k V d s. Es ist von Wichtigkeit,
in Beziehung auf letztern Fall zu bemerken, daſs diese Glei-
chung noch gültig bleibt, wenn beide Flächen coincidiren; der
Kürze wegen wollen wir aber die Art, wie diese Erweiterung
des Satzes strenge gerechtfertigt werden kann, hier jetzt nur
nach ihren Hauptmomenten andeuten. Es ist nemlich nicht
schwer nachzuweisen, daſs diese beiden Integrale, insofern sie
sich auf Eine und dieselbe Fläche beziehen, die Grenzwerthe
von denen sind, die sich auf zwei getrennte Flächen beziehen,
indem man die Entfernung derselben von einander unendlich
abnehmen läſst, zu welchem Zweck man nur diese beiden
Flächen gleich und parallel anzunehmen braucht. Unmittelbar
einleuchtend ist zwar diese Beweisart nur in sofern, als die
vorgegebene Fläche so beschaffen ist, daſs die Normalen in al-
len ihren Punkten mit Einer geraden Linie spitze Winkel
machen. Eine Fläche, wo diese Bedingung fehlt (wie allemahl,
wenn von einer geschlossenen Fläche die Rede ist), wird zu-
vor in zwei oder mehrere Theile zu zerlegen sein, die einzeln
jener Bedingung Genüge leisten, wodurch es leicht wird, die-
sen Fall auf den vorigen zurückzuführen.
20.
Wenden wir das Theorem des vorhergehenden Artikels auf
den Fall an, wo das zweite Massensystem mit gleichförmiger
Dichtigkeit k = 1 auf eine Kugelfläche vertheilt ist, deren
Halbmesser = R, so ist das daraus entspringende Potential v
im Innern der Kugel constant = 4 π R; in jedem Punkte au-
ſserhalb der Kugel, dessen Entfernung vom Mittelpunkte = r,
wird v = , oder eben so groſs, wie im Mittelpunkte das
Potential von einer in jenem Punkte angenommenen Masse 4 π R R;
auf der Oberfläche der Kugel fallen beide Werthe von v zusammen.
Befindet sich also das erste Massensystem ganz im Innern der
Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte der Gesammtmasse
dieses Systems in 4 π R; ist aber jenes Massensystem ganz au-
ſserhalb der Kugel, so wird Σ M v äqual dem Producte des
Potentials dieser Masse im Mittelpunkte der Kugel in 4 π R R;
ist endlich das erste Massensystem auf der Oberfläche der Ku-
gel nach der Stetigkeit vertheilt, so sind für ∫ K v d S beide
Ausdrücke gleichgültig. Es folgt hieraus der
LEHRSATZ. Bedeutet V das Potential einer wie immer ver-
theilten Masse in dem Elemente einer mit dem Halbmesser R
beschriebene Kugelfläche d s, so wird, durch die ganze Kugel-
fläche integrirt,
∫ V d s = 4 π (R M0 + R R V0)
wenn man mit M0 die ganze im Innern der Kugel befindliche
Masse, mit V0 das Potential der auſserhalb befindlichen Masse
im Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dabei die Massen,
die etwa auf der Oberfläche der Kugel stetig vertheilt sein
mögen, nach Belieben den äuſsern oder innern Massen zuordnet.
21.
LEHRSATZ. Das Potential V von Massen, die sämmtlich
auſserhalb eines zusammenhängenden Raumes liegen, kann nicht
in einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth und
zugleich in einem andern Theile desselben einen verschiedenen
Werth haben.
Beweis. Nehmen wir an, es sei in jedem Punkte des
Raums A das Potential constant = a, und in jedem Punkte
eines andern an A grenzenden keine Masse enthaltenden Raumes
B (algebraisch) gröſser als a. Man construire eine Kugel, wo-
von ein Theil in B, der übrige Theil aber nebst dem Mittel-
punkte in A enthalten ist, welche Construction allemahl mög-
lich sein wird. Ist nun R der Halbmesser dieser Kugel, und
d s ein unbestimmtes Element ihrer Oberfläche, so ist nach
dem Lehrsatze des vorigen Artikels ∫ V d s = 4 π R R a, und
∫(V — a) d s = o, was unmöglich ist, da für den Theil der
Oberfläche, welcher in A liegt, V — a = o, und für den übri-
gen Theil der Voraussetzung zu Folge nicht = o, sondern
positiv ist.
Auf ganz ähnliche Weise erhellet die Unmöglichkeit, daſs
in allen Punkten eines an A grenzenden Raumes V kleiner
sei, als a.
Offenbar müſste aber wenigstens einer dieser beiden Fälle
Statt finden, wenn unser Theorem falsch wäre.
Dieser Lehrsatz enthält folgende zwei Sätze:
I. Wenn der die Massen enthaltende Raum schalenförmig
einen massenleeren Raum umschlieſst, und das Potential in
einem Theile dieses Raumes einen constanten Werth hat, so gilt
dieser für alle Punkte des ganzen eingeschlossenen Raumes.
II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum
eingeschlossenen Massen in irgend einem Theile des äuſsern
Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser für den
ganzen unendlichen äuſsern Raum.
Zugleich erhellet leicht, daſs in diesem zweiten Fall der
constante Werth des Potentials kein anderer als 0 sein kann.
Denn wenn man mit M das Aggregat aller Massen falls sie
sämmtlich einerlei Zeichen haben, oder im entgegengesetzten
Fall das Aggregat der positiven oder der negativen Massen
allein, je nachdem jene oder diese überwiegen, bezeichnet, so
ist das Potential in einem Punkte, dessen Entfernung von dem
nächsten Massenelemente = r ist, jedenfalls absolut genommen
kleiner als , welcher Bruch offenbar im äuſsern Raume
kleiner als jede angebliche Gröſse werden kann.
22.
LEHRSATZ. Ist d s das Element einer einen zusammen-
hängenden endlichen Raum begrenzenden Fläche, P die Kraft
welche irgendwie vertheilte Massen in d s in der auf die Fläche
normalen Richtung ausüben, wobei eine nach innen oder nach
auſsen gerichtete Kraft als positiv betrachtet wird, je nachdem
anziehende oder abstoſsende Massen als positiv gelten: so wird
das Integral ∫ P d s über die ganze Fläche ausgedehnt = 4 π M
+ 2 π M', wenn M das Aggregat der im Innern des Raumes
befindlichen, M' das der auf der Oberfläche nach der Stetigkeit
vertheilten bedeuten.
Beweis. Bezeichnet man mit U d μ denjenigen Theil von
P, welcher von dem Massenelemente d μ herrührt, mit r die
Entfernung des Elements d μ von d s, und mit u den Winkel,
welchen in d s die nach Innen gerichtete Normale mit r macht,
so ist U = . Es ist aber in Beziehung auf jedes bestimmte
d μ, vermöge eines in der Theoria Attractionis corporum sphaeroi-
dicorum ellipticorum Art. 6 bewiesenen Lehrsatzes . d s
= o, 2 π oder 4 π, jenachdem d μ auſserhalb des durch
die Fläche begrenzten Raumes, in der Fläche selbst, oder in-
nerhalb jenes Raumes liegt. Da nun ∫ P d s dem Gesammtbe-
trage aller d μ . ∫ U d s gleichkommt, so ergibt sich hieraus un-
ser Theorem von selbst.
In Beziehung auf den hier benutzten Hülfssatz muſs noch
bemerkt werden, daſs derselbe, in der Gestalt wie er a. a. O.
ausgesprochen ist, für einen speciellen Fall einer Modification
bedarf. Es bedeutet nemlich r die Entfernung eines gegebenen
Punktes von dem Elemente d s, und für den Fall, wo dieser
Punkt in der Fläche selbst liegt, ist die Formel . d s
= 2 π nur insofern richtig, als die Stetigkeit der Krümmung
der Fläche in dem Punkte nicht verletzt wird. Eine solche
Verletzung findet aber Statt, wenn der Punkt in einer Kante
oder Ecke liegt, und dann muſs anstatt 2 π der Inhalt derje-
nigen Figur gesetzt werden, welche durch die sämmtlichen
von da ausgehenden die Fläche tangirenden geraden Linien aus
einer um den Punkt als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 be-
schriebenen Kugelfläche ausgeschieden wird. Da jedoch solche
Ausnahmsfälle nur Linien oder Punkte, also nicht Theile der Flä-
che, sondern nur Scheidungsgrenzen zwischen Theilen betreffen,
so hat dieſs offenbar auf die von dem Hülfssatze hier gemachte
Anwendung gar keinen Einfluſs.
23.
Wir legen durch jeden Punkt der Fläche eine Normale,
und bezeichnen mit p die Entfernung eines unbestimmten Punktes
derselben von dem in die Fläche selbst gesetzten Anfangspunkte,
auf der innern Seite der Fläche als positiv betrachtet. Das
Potential der Massen V kann als Function von p und zweien
andern veränderlichen Gröſsen betrachtet werden, die auf ir-
gendwelche Art die einzelnen Punkte der Fläche von einander
unterscheiden, und eben so verhält es sich mit dem partiellen
Differentialquotienten , dessen Werth hier aber nur für die
in die Fläche selbst fallenden Punkte, oder für p = 0 in Be-
tracht gezogen werden soll. Da dieser mit P völlig gleichbe-
deutend ist, wenn Massen sich nur in dem innern Raume, oder
in dem äuſsern, oder in beiden befinden, keine Masse aber auf
die Fläche selbst vertheilt ist, so hat man in diesem Falle
.
In dem Falle hingegen, wo die ganze Masse bloss auf der
Fläche selbst vertheilt ist, so daſs das Element d s die Masse
k d s erthält, bleiben und P nicht mehr gleichbedeutend;
letztere Gröſse stellt hier offenbar in Beziehung auf p dasselbe
vor, was X0 in Beziehung auf x im 15. Artikel; hingegen
hat zwei verschiedene Werthe, nemlich P — 2 π k und P + 2 π k,
jenachdem d p als positiv oder als negativ betrachtet wird. Da
nun ∫ k d s offenbar der ganzen auf die Fläche vertheilten Masse
M' gleich, und gemäſs dem Lehrsatze des vorhergehenden Ar-
tikels ∫ P d s = 2 π M' wird, so hat man
jenachdem für der auf der innern, oder auf der äuſsern
Seite der Fläche geltende Werth überall verstanden wird, und
es verhält sich also mit dem Integrale · d s im erstern
Falle genau eben so, als wenn die Masse M' zum äuſsern
Raume, im zweiten, als ob sie zum innern Raume gehörte.
Es gilt daher, bei irgendwie vertheilten Massen, die Glei-
chung · d s = 4 π M allgemein, in dem Sinne daſs M
3
die im innern Raume enthaltene Masse bedeutet, wohlverstan-
den, daſs, wenn auch auf der Oberfläche selbst stetig vertheilte
Massen sich befinden, diese den innern zugerechnet, oder da-
von ausgeschlossen werden müssen, jenachdem man für
den auf die Auſsenseite oder auf die Innenseite sich beziehen-
den Werth gewählt hat.
Sind demnach im Innern des Raumes gar keine Massen
enthalten, so ist, wenn jedenfalls unter der auf die In-
nenseite sich beziehende Werth verstanden wird, · d s = 0.
24.
Unter denselben Voraussetzungen, wie am Schluſs des
vorhergehenden Artikels, und indem wir den in Rede stehen-
den Raum mit T, und die in dem Elemente desselben dT durch
die auſserhalb des Raumes oder auch nach der Stetigkeit in
der Oberfläche vertheilten Massen entspringende ganze Kraft
mit q bezeichnen, haben wir folgenden wichtigen
LEHRSATZ. Es ist
wenn das erste Integral über die ganze Fläche, das zweite
durch den ganzen Raum T ausgedehnt wird.
Beweis. Indem wir rechtwinklige Coordinaten x, y, z
einführen, betrachten wir zuvörderst eine der Axe der x pa-
rallele den Raum T schneidende gerade Linie, wo also y, z
constante Werthe haben. Aus der identischen Gleichung
folgt, daſs das Integral
durch dasjenige Stück jener geraden Linie ausgedehnt, welches
innerhalb T fällt, der Differenz der beiden Werthe von V
am Anfangs- und Endpunkte gleich wird, insofern die gerade
Linie die Grenzfläche nur zweimahl schneidet, oder allgemein
= Σ ε V , indem für V die einzelnen Werthe in den
verschiedenen Durchschnittspunkten gesetzt werden, und ε in den
ungeraden Durchschnittspunkten (dem ersten, dritten u.s.f.) = — 1,
in den geraden = + 1. Betrachten wir ferner längs dieser geraden
Linie den prismatischen Raum, wovon das Rechteck dy . dz ein
Querschnitt, also d x . dy . dz ein Element ist, so wird das Integral
ausgedehnt durch denjenigen Theil von T, welcher in jenen
prismatischen Raum fällt, = Σ ε V · dy . dz. Dieses Prisma
scheidet aus der Grenzfläche zwei, oder allgemein eine gerade
Anzahl von Stücken aus, und wenn jedes derselben mit d s
bezeichnet wird, mit ξ hingegen der Winkel zwischen der Axe
der x und der nach innen gerichteten Normale auf d s, so ist
dy . dz = ± cos ξ . d s, das obere Zeichen für die ungeraden,
das untere für die geraden Durchschnittspunkte genommen.
Es wird folglich das obige Integral
wo die Summation sich auf sämmtliche betreffende Flächen-
elemente bezieht. Wird nun der ganze Raum T in lauter
solche prismatische Elemente zerlegt, so werden auch die sämmt-
lichen correspondirenden Theile der Fläche diese ganz er-
schöpfen, und mithin
sein, indem die erste Integration durch den ganzen Raum T,
die zweite über die ganze Fläche erstreckt wird. Offenbar ist
nun cos ξ gleich dem partiellen Differentialquotienten , in-
dem p die im Art. 23 festgelegte Bedeutung hat, und x als
Function von p und zwei andern veränderlichen die einzelnen
Punkte der Fläche von einander unterscheidenden Gröſsen be-
trachtet werden kann, folglich
2*
Es ist übrigens von selbst klar, daſs in dem Falle, wo die
Fläche selbst Massen enthält, und also zwei verschiedene
Werthe hat, hier immer der auf den innern Raum sich bezie-
hende zu verstehen ist.
Durch ganz ähnliche Schlüsse findet man
Addirt man nun diese drei Gleichungen zusammen, und
erwägt, daſs im Raume T
und an der Grenzfläche
so erhält man , welches unser
Lehrsatz selbst ist, der unter Zuziehung des letzten Satzes
des vorhergehenden Artikels noch allgemeiner sich so aus-
drücken läſst
wenn A eine beliebige constante Gröſse bedeutet.
25.
LEHRSATZ. Wenn unter denselben Voraussetzungen,
wie im vorhergehenden Artikel, das Potential V in allen
Punkten der Grenzfläche des Raumes T einerlei Werth hat,
so gilt dieser Werth auch für sämmtliche Punkte des Raumes
selbst, und es findet in dem ganzen Raume eine vollständige
Destruction der Kräfte Statt.
Beweis. Wenn in dem erweiterten Lehrsatze des vor-
hergehenden Artikels für A der constante Grenzwerth des Po-
tentials angenommen wird, so erhellet, daſs ∫ q q d T = 0 wird,
also nothwendig q = 0 in jedem Punkte des Raumes T, mithin
auch = 0, = 0, = 0, und folglich V im gan-
zen Raume T constant.
26.
LEHRSATZ. Wenn von Massen, welche sich bloſs inner-
halb des endlichen Raumes T, oder auch, ganz oder theil-
weise nach der Stetigkeit vertheilt auf dessen Oberfläche S be-
finden, das Potential in allen Punkten von S einen constanten
Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O
des äuſsern unendlichen Raumes T'
erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0,
zweitens, wenn A nicht = 0 ist, kleiner als A und mit dem-
selben Zeichen wie A behaftet sein.
Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, daſs das
Potential in O keinen auſserhalb der Grenzen 0 und A fallen-
den Werth haben kann. Nehmen wir an, es finde in O ein
solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeichnen mit C
eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und
A fallende Gröſse. Indem man von O nach allen Richtun-
gen gerade Linien ausgehen läſst, wird es auf jeder derselben
einen Punkt O' geben, in welchem das Potential = C wird,
und zwar so, daſs die ganze Linie O O' dem Raume T' ange-
hört. Dieſs folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung
des Potentials, welches, wenn die gerade Linie hinlänglich
fortgesetzt wird, entweder von B in A übergeht, oder unend-
lich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Fläche S trifft,
oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlusse des 21. Arti-
kels). Der Inbegriff aller Punkte O' bildet dann eine geschlos-
sene Fläche, und da das Potential in derselben constant = C
ist, so muſs es nach dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti-
kels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche
eingeschlossenen Raumes haben, da es doch in O den von C
verschiedenen Werth B hat. Die Voraussetzung führt also
nothwendig auf einen Widerspruch.
Für den Fall A = 0 ist hiedurch unser Lehrsatz vollstän-
dig bewiesen; für den zweiten Fall, wo A nicht = 0 ist, so-
weit, daſs erhellet, das Potential könne in keinem Punkte von
T' gröſser als A, oder mit entgegengesetztem Zeichen behaftet sein.
II. Um für den zweiten Fall unsern Beweis vollständig
zu machen, beschreiben wir um O als Mittelpunkt mit einem
Halbmesser R, der kleiner ist als die kleinste Entfernung des
Punkts O von S, eine Kugelfläche, zerlegen sie in Elemente
d s, und bezeichnen das Potential in jedem Elemente mit V;
das Potential in O soll wieder mit B bezeichnet werden. Nach
dem Lehrsatze des 20. Artikels wird dann das über die ganze
Kugelfläche ausgedehnte Integral
∫ V d s = 4 π R R B, und folglich ∫ (V — B) d s = 0.
Diese Gleichheit kann aber nur bestehen, wenn V entweder
in allen Punkten der Kugelfläche constant = B, oder wenn V
in verschiedenen Theilen der Kugelfläche in entgegengesetztem
Sinne von B verschieden ist. In der ersten Voraussetzung
würde nach Art. 25 das Potential im ganzen innern Raume der
Kugel und daher nach Art. 21 im ganzen unendlichen Raume
T' constant, und zwar = 0 sein müssen, im Widerspruche
mit der Voraussetzung, daſs es an der Grenze dieses Raumes,
auf der Fläche S, von 0 verschieden ist, und der Unmöglichkeit,
daſs es sich von da ab sprungsweise ändere. Die zweite Vor-
aussetzung hingegen würde mit dem unter I. bewiesenen im
Widerspruch stehen, wenn B entweder = 0 oder = A wäre.
Es muſs daher nothwendig B zwischen 0 und A fallen.
27.
LEHRSATZ. In dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti-
kels kann der erste Fall, oder der Werth 0 des constanten
Potentials A, nur dann Statt finden, wenn die Summe aller
Massen selbst = 0 ist, und der zweite nur dann, wenn diese
Summe nicht = 0 ist.
Beweis. Es sei d s das Element der Oberfläche irgend
einer den Raum T einschlieſsenden Kugel, R ihr Halbmesser,
M die Summe aller Massen und V deren Potential in d s. Da
nach dem Lehrsatze des 20. Artikels das Integral ∫ V d s = 4π RM
wird, im ersten Falle oder für A = 0 aber nach dem vorher-
gehenden Lehrsatze das Potential V in allen Punkten der Ku-
gelfläche = 0 wird, im zweiten hingegen kleiner als A und
mit demselben Zeichen behaftet, so wird im ersten Fall 4π R M
= 0, also M = 0, im zweiten hingegen 4 π R M und also auch
M mit demselben Zeichen behaftet sein müssen wie A. Zu-
gleich erhellet, daſs in diesem zweiten Falle 4 π R M kleiner
sein wird, als ∫ A d s oder 4 π R R A, mithin M kleiner als R A,
oder A gröſser als .
Der zweite Theil dieses Lehrsatzes, in Verbindung mit
dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels kann offenbar
auch auf folgende Art ausgesprochen werden:
Wenn von Massen, die in einem von einer geschlossenen
Fläche begrenzten Raume enthalten, oder auch theilweise in
der Fläche selbst stetig vertheilt sind, die algebraische Summe
= 0 ist, und ihr Potential in allen Punkten der Fläche einen
constanten Werth hat, so wird dieser Werth nothwendig selbst
= 0 sein, zugleich für den ganzen unendlichen äuſsern Raum
gelten, und folglich in diesem ganzen äuſsern Raume die Wir-
kung der Kräfte aus jenen Massen sich vollständig destruiren.
28.
Man wird sich leicht überzeugen, daſs sämmtliche Schlüsse
der beiden vorhergehendem Artikel ihre Gültigkeit behalten,
wenn S eine nicht geschlossene Fläche ist, und die Massen
bloſs in derselben enthalten sind. Hier fällt der Raum T ganz
weg; alle Punkte, die nicht in der Fläche selbst liegen, ge-
hören dem unendlichen äuſsern Raume an, und wenn das Po-
tential in der Fläche überall den constanten von 0 verschiede-
nen Werth A hat, wird es auſserhalb derselben überall einen
kleinern Werth haben, der dasselbe Zeichen hat.
Das auf den ersten Fall, A = 0, bezügliche bleibt zwar
auch hier wahr, aber inhaltleer, da in diesem Fall das Po-
tential V in allen Punkten des Raumes = 0 wird, mithin auch
überall = 0, wenn t irgend eine gerade Linie bedeutet,
woraus man leicht nach Art. 18 schlieſst, daſs die Dichtigkeit
in der Fläche überall = 0 sein muſs, also die Fläche gar keine
Massen enthalten kann.
Diese letztere Bemerkung gilt übrigens allgemein, wenn
die Massen bloſs in der Fläche selbst enthalten sein sollen,
auch wenn sie eine geschlossene ist, da offenbar nach dem
Lehrsatz des 25. Artikels der Werth des Potentials in diesem
Fall auch in dem ganzen innern Raume = 0 sein wird.
29.
Ehe wir zu den folgenden Untersuchungen fortschreiten,
in denen Massen, nach der Stetigkeit in eine Fläche vertheilt,
eine Hauptrolle spielen, muſs eine wesentliche bei der Verthei-
lung Statt findende Verschiedenheit hervorgehoben werden,
indem nemlich entweder nur Massen von einerlei Zeichen (die
wir der Kürze wegen immer als positiv betrachten werden)
zugelassen werden, oder auch Massen von entgegengesetzten
Zeichen. Ist eine Masse M auf einer Fläche so vertheilt, daſs
auf jedes Element der Fläche d s die Masse m d s kommt, wo
also nach unserm bisherigen Gebrauche m die Dichtigkeit ge-
nannt, und ∫ m d s über die ganze Fläche ausgedehnt = M
wird, so nennen wir dies eine gleichartige Vertheilung, wenn
m überall positiv, oder wenigstens nirgends negativ ist; wenn
hingegen in einigen Stellen m positiv, in andern negativ ist, so
soll die Vertheilung eine ungleichartige Vertheilung heiſsen, wobei
also M nur die algebraische Summe der Massentheile, oder der
absolute Unterschied der positiven und der negativen Massen
ist. Ein ganz specieller Fall ungleichartiger Vertheilung ist
der, wo M = 0 wird, und wo es freilich anstöſsig scheinen
mag, sich des Ausdrucks, die Masse 0 sei über die Fläche
vertheilt, noch zu bedienen.
30.
Es ist von selbst klar, daſs, wie auch immer eine Masse
M über eine Fläche gleichartig vertheilt sein möge, das daraus
entspringende überall positive Potential V in jedem Punkte
der Fläche gröſser sein wird, als , wenn r die gröſste Ent-
fernung zweier Punkte der Fläche von einander bedeutet:
diesen Werth selbst könnte das Potential nur in einem End-
punkte der Linie r haben, wenn die ganze Masse in dem an-
dern Endpunkte concentrirt wäre, ein Fall, der hier gar nicht
in Frage kommt, indem nur von stetiger Vertheilung die Rede
sein soll, wo jedem Elemente der Fläche d s nur eine unend-
lich kleine Masse m d s entspricht. Das Integral ∫ V m d s über
die ganze Fläche ausgedehnt, ist also jedenfalls gröſser als
m d s oder , und so muſs es nothwendig eine gleich-
artige Vertheilungsart geben, für welche jenes Integral einen
Minimumwerth hat. Es mag nun hier im Voraus als eines der
Ziele der folgenden UnsersuchungenUntersuchungen bezeichnet werden, zu be-
weisen, daſs bei einer solchen Vertheilung, wo ∫ V m d s sei-
nen Minimumwerth erhält, das Potential V in jedem Punkte
der Fläche einerlei Werth haben wird, daſs dabei keine Theile
der Fläche leer bleiben können, und daſs es nur eine einzige
solche Vertheilung gibt. Der Kürze wegen wollen wir aber
die Untersuchung schon von Anfang an in einer weiter um-
fassenden Gestalt ausführen.
31.
Es bedeute U eine Gröſse, die in jedem Punkte der Fläche
einen bestimmten endlichen nach der Stetigkeit sich ändernden
Werth hat. Es wird dann das Integral
über die ganze Fläche ausgedehnt, zwar nach Verschiedenheit
der gleichartigen Vertheilung der Masse M, sehr ungleiche
Werthe haben können; allein offenbar muſs für Eine solche
Vertheilungsart ein Minimumwerth dieses Integrals Statt finden.
Es soll nun ein Beweis gegeben werden für den
LEHRSATZ, daſs bei solcher Vertheilungsart
1. die Differenz V — U = W überall in der Fläche, wo
sie wirklich mit Theilen von M belegt ist, einen constanten
Werth haben wird;
2. daſs, falls Theile der Fläche dabei unbelegt bleiben,
W in denselben gröſser sein muſs, oder wenigstens nicht klei-
ner sein kann, als jener constante Werth.
I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass wenn anstatt
einer Vertheilungsweise eine andere unendlich wenig davon
verschiedene angenommen wird, indem m + μ an die Stelle
von m gesetzt wird, die daraus entspringende Variation von Ω
durch 2 ∫ W μ d s ausgedrückt werden wird.
In der That ist, wenn wir die Variationen von Ω und V
mit δΩ und δV bezeichnen,
Allein zugleich ist , wie leicht aus dem
Lehrsatze des 19 Artikels erhellet, indem δV nichts anders ist,
als das Potential derjenigen Massenvertheilung, wobei μ die
Dichtigkeit in jedem Flächenelemente vorstellt, und also was
hier V, m, δV, μ ist, dort für V, K, v, k angenommen werden
kann, so wie d s zugleich für d S und d s. Es wird folglich
.
II. Offenbar sind die Variationen μ allgemein an die Be-
dingung geknüpft, daſs ∫ μ d s = 0 werden muſs; für die ge-
genwärtige Untersuchung aber auch noch an die zweite, daſs
μ in den unbelegten Theilen der Fläche, wenn solche vorhan-
den sind, nicht negativ sein darf, weil sonst die Vertheilung
aufhören würde, eine gleichartige zu sein.
III. Nehmen wir nun an, daſs bei einer bestimmten Ver-
theilung von M ungleiche Werthe der Gröſse W in den ver-
schiedenen Theilen der Fläche Statt finden. Es sei A eine
Gröſse, die zwischen den ungleichen Werthen von W liegt;
P das Stück der Fläche, wo die Werthe von W gröſser, Q
dasjenige, wo sie kleiner sind, als A; es seien ferner p, q gleich
groſse Stücke der Fläche, jenes zu P, dieses zu Q gehörig.
Dies vorausgesetzt, legen wir der Variation von m überall in
p den constanten negativen Werth μ = — ν, in q hingegen
überall den positiven μ = ν, und in allen übrigen Theilen
der Fläche den Werth 0 bei. Offenbar wird hiedurch der er-
sten Bedingung in II Genüge geleistet; die zweite hingegen
wird noch erfordern, daſs p keine unbelegte Theile enthalte,
was immer bewirkt werden kann, wenn nur nicht das ganze
Stück P unbelegt ist.
Der Erfolg hievon wird aber sein, daſs δ Ω einen negati-
ven Werth erhält, wie man leicht sieht, wenn man diese Va-
riation in die Form 2∫(W — A) μ d s setzt.
Es erhellet hieraus, daſs wenn bei einer gegebenen Ver-
theilung entweder in dem belegten Stücke der Fläche un-
gleiche Werthe von W vorkommen, oder wenn, bei Statt fin-
dender Gleichheit der Werthe in dem belegten Stücke, kleinere
in dem nichtbelegten Theile angetroffen werden, durch eine
abgeänderte Vertheilung eine Verminderung von Ω erreicht
werden kann, und daſs folglich bei dem Minimumwerthe noth-
wendig die in obigem Lehrsatze ausgesprochenen Bedingungen
erfüllt sein müssen.
32.
Wenn wir jetzt für unsern speciellern Fall (Art. 30), wo
U = 0 ist, also W das bloſse Potential der auf die Fläche
vertheilten Masse, und Ω das Integral ∫ V m d s bedeutet, mit
dem Lehrsatze des vorhergehenden Artikels den im 28 Artikel
angeführten verbinden, so folgt von selbst, daſs bei dem Mini-
mumwerth von ∫ V m d s die Fläche gar keine unbelegte Theile
haben kann; denn sonst würde, auch wenn die ganze Fläche
eine geschlossene ist, der belegte Theil eine ungeschlossene und
hinsichtlich derselben der unbelegte Theil als dem äuſsern
Raume angehörig zu betrachten sein, mithin darin nach Art. 28 das
Potential einen kleinern Werth haben müssen als in der beleg-
ten Fläche, während der Lehrsatz des vorhergehenden Artikels
einen kleinern Werth ausschlieſst.
Es ist also erwiesen, daſs es eine gleichartige Vertheilung
einer gegebenen Masse über die ganze Fläche gibt, wobei kein
Theil leer bleibt, und woraus ein in allen Punkten der Fläche
gleiches Potential hervorgeht. Was zum vollständigen Beweise
des im 30 Artikel aufgestellten Lehrsatzes jetzt noch fehlt,
nemlich, die Nachweisung, daſs es nur Eine dies leistende Ver-
theilungsart geben kann, wird weiter unten als Theil eines all-
gemeineren Lehrsatzes erscheinen.
Daſs, wenn der Minimumwerth für ∫ V m d s Statt finden
soll, kein Theil der Fläche unbelegt bleiben darf, kann offen-
bar auch so ausgedrückt werden: Bei jeder Vertheilung, wobei
ein endliches Stück der Fläche leer bleibt, erhält das Integral
∫ V m d s einen Werth, der den Minimumwerth um eine endliche
Differenz übertrifft.
33.
Der eigentliche Hauptnerv der im 31 Artikel entwickelten
Beweisführung beruhet auf der Evidenz, mit welcher die Exi-
stenz eines Minimumwerths für Ω unmittelbar erkannt wird,
solange man sich auf die gleichartigen Vertheilungen einer ge-
gebenen Masse beschränkt. Fände eine gleiche Evidenz auch
ohne diese Beschränkung Statt, so würden die dortigen Schlüsse
ohne weiteres zu dem Resultate führen, daſs es allemahl, wenn
nicht eine gleichartige, doch eine ungleichartige Vertheilung der gege-
benen Masse gibt, für welche W = V — U in allen Punkten der
Fläche einen constanten Werth erhält, indem dann die zweite Be-
dingung (Art. 31. II) wegfällt. Allein da jene Evidenz verlo-
ren geht, sobald wir die Beschränkung auf gleichartige Verthei-
lungen fallen lassen, so sind wir genöthigt, den strengen Be-
weis jenes wichtigsten Satzes unserer ganzen Untersuchung auf
einem etwas künstlichern Wege zu suchen. Der folgende
scheint am einfachsten zum Ziele zu führen.
Wir betrachten zunächst drei verschiedene Massenverthei-
lungen, bei welchen wir anstatt der unbestimmten Zeichen für
Dichtigkeit m und Potential V folgende besondere gebrauchen:
I. m = m0, V = V0
II. m = m', V = V'
III. m = μ, V = v
Die Vertheilung I ist diejenige gleichartige der positiven Masse
M, für welche ∫ V m d s seinen Minimumwerth erhält.
II ist die gleichartige Vertheilung derselben Masse M, für
welche ∫(V — 2ε U) m d s seinen Minimumwerth erhält, wo ε ei-
nen beliebigen constanten Coefficienten bedeutet.
III hängt so von I und II ab, daſs μ = , und
ist also eine ungleichartige Vertheilung, in welcher die Ge-
sammtmasse = 0 wird.
Es ist nun nach dem im 31 Artikel bewiesenen constant
V0 in der ganzen Fläche; V' — ε U in der Fläche, so weit
sie bei der zweiten Vertheilung belegt ist, und daher in dem-
selben Stücke der Fläche auch v — U, weil v = .
Ob in der zweiten Vertheilung die ganze Fläche belegt
ist, oder ob ein gröſseres oder kleineres Stück unbelegt bleibt,
wird von dem Coefficienten ε abhangen. Da die zweite Ver-
theilung in die erste übergeht, wenn ε = 0 wird, so wird all-
gemein zu reden das für einen bestimmten Werth von ε unbe-
legt gebliebene Stück der Fläche sich verengern, wenn ε ab-
nimmt, und sich schon ganz füllen, ehe ε den Werth 0 er-
reicht hat. In singulären Fällen aber kann es sich auch so
verhalten, daſs immer ein Stück unbelegt bleibt, so lange ε von
0 verschieden ist und nicht das entgegengesetzte Zeichen an-
nimmt. Für unsern Zweck ist es zureichend, ε unendlich klein
anzunehmen, wo sich leicht nachweisen läſst, daſs jedenfalls
kein endliches Flächenstück unbelegt bleiben kann. Denn im
entgegengesetzten Falle würde nach der Schluſsbemerkung des
Art. 32 das Integral ∫ V' m' d s um einen endlichen Unterschied
gröſser sein müssen als ∫ V0 m0 d s: wird dieser Unterschied mit
e bezeichnet, so ist der Unterschied der beiden Integrale
∫(V' — 2εU) m' d s — ∫(V0 — 2εU) m0 d s = e — 2ε∫U(m' — m0) d s
welcher für ein unendlichkleines ε einen positiven Werth be-
hält, im Widerspruch mit der Voraussetzung, daſs ∫(V — 2εU)m d s
in der zweiten Vertheilung seinen Minimumwerth hat.
Man schlieſst hieraus, daſs wenn man in der dritteu Ver-
theilung für μ den Grenzwerth von , bei unendli-
cher Abnahme von ε, annimmt, v — U in der ganzen Fläche
einen constanten Werth hat.
Bilden wir nun eine vierte Vertheilung, wobei m = m0 + μ
gesetzt wird, die ganze Masse also = M bleibt, so wird das
daraus entspringende Potential = V0 + v sein, mithin in
der ganzen Fläche die Gröſse U um die constante Differenz
V0 + v — U übertreffen, wodurch also der oben ausgesprochene
Lehrsatz erwiesen ist.
34.
Es bleibt noch übrig, zu beweisen, daſs nur Eine Ver-
theilungsart einer gegebenen Masse M möglich ist, bei welcher
V — U in der ganzen Fläche constant ist. In der That, gäbe
es zwei verschiedene dieſs leistende Vertheilungsarten, so würde,
wenn man m und V in der ersten mit m', V', in der zweiten
mit m'', V'' bezeichnet, von einer dritten Massenvertheilung,
in welcher m = m' — m'' angenommen wird, das Potential
= V' — V'' und folglich constant sein, und die Gesammt-
masse = 0. Das constante Potential müſste daher nach Art.
27 nothwendig = 0 sein, und folglich nach Art. 28 auch
m' — m'' = 0, oder die beiden Vertheilungen identisch.
Endlich muss noch erwähnt werden, daſs es immer eine
Massenvertheilung gibt, wobei die Differenz V — U einen ge-
gebenen constanten Werth erhält. Bedeutet nemlich α einen
beliebigen constanten Coefficienten, so wird indem wir die Be-
zeichnungen für die erste und dritte Vertheilung im vorherge-
henden Artikel beibehalten, das Potential derjenigen Verthei-
lung, wobei m = α m0 + μ angenommen wird, = αV0 + v
sein, und dem constanten Unterschiede αV0 + v — U durch
gehörige Bestimmung des Coefficienten α jeder beliebige Werth
ertheilt werden können. Die Gesammtmasse dieser Vertheilung
ist dann aber nicht mehr willkührlich, sondern = α M. Übri-
gens erhellet auf dieselbe Art wie vorhin, daſs auch diese Ver-
theilungsbedingung nur auf eine einzige Art erfüllt werden kann.
35.
Die wirkliche Bestimmung der Vertheilung der Masse auf
einer gegebenen Fläche für jede vorgeschriebene Form von U
übersteigt in den meisten Fällen die Kräfte der Analyse in ih-
rem gegenwärtigen Zustande. Der einfachste Fall, wo sie in
unsrer Gewalt ist, ist der einer ganzen Kugelfläche; wir wollen
jedoch sofort den allgemeinern behandeln, wo die Fläche von
der Kugelfläche sehr wenig abweicht, und Gröſsen von höhe-
rer Ordnung, als die Abweichung selbst, vernachlässigt werden
dürfen.
Es sei R der Halbmesser der Kugel, r die Entfernung je-
des Punktes im Raume von ihrem Mittelpunkte, u der Winkel
zwischen r und einer festen geraden Linie, λ der Winkel zwi-
schen der durch diese gerade Linie und r gelegten Ebene und
einer festen Ebene. Der Abstand eines unbestimmten Punktes
in der gegebenen geschlossenen Fläche vom Mittelpunkte der
Kugel sei = R(1 + γ z), wo γ ein constanter sehr kleiner
Factor ist, dessen höhere Potenzen vernachlässigt werden, z
hingegen eben so wie U Functionen von u und λ.
Das Potential V der auf die Kugelfläche vertheilten Masse
wird in jedem Punkte des äuſsern Raumes durch eine nach
Potenzen von r fallende Reihe ausgedrückt werden, welcher
wir die Form geben
in jedem Punkte des innern Raumes hingegen durch die stei-
gende Reihe
Die Coefficienten A0, A', A'' u. s. f. sind Functionen von u und
λ, welche bekannten partiellen Differentialgleichungen Genüge
leisten (S. Resultate 1838 S. 22.), und eben so B0, B', B''
u. s. f. Auf der vorgegebenen Fläche soll nun das Potential
einer gegebenen Function von u und λ gleich werden, nemlich
V = U, also
Nehmen wir also an, daſs (1 + γ z)½ U in eine Reihe
P0 + P' + P'' + P''' + u. s. w.
entwickelt sei, dergestalt, daſs die einzelnen Glieder P0, P',
P'', P''' u. s. f. gleichfalls den gedachten Differentialgleichungen
Genüge leisten, und erwägen, daſs die beiden obigen Reihen
für das Potential bis zur Fläche selbst gültig bleiben müssen,
so erhellet, daſs
sein wird. Wir schlieſsen hieraus, daſs, wenn man Gröſsen
der Ordnung γ vernachlässigt, P0 + P' + P'' + u. s. f.
= A0 + A' + A'' + u. s. f. und also (da eine Function von
u, λ nur auf Eine Art in eine Reihe entwickelt werden kann,
deren Glieder den erwähnten Differentialgleichungen Genüge
leisten) P0 = A0, P' = A', P'' = A'' u. s. f. Eben so wird,
Gröſsen der Ordnung γ vernachlässigt, P0 = B0, P' = B',
P'' = B'' u. s. f.
Setzt man also (I)
u. s. f.
wo offenbar auch a0, a', a'', a''' u. s. f., imgleichen b0, b', b'',
b''' u. s. f. den erwähnten Differentialgleichungen Genüge lei-
sten werden, und substituirt diese Werthe in den obigen Glei-
chungen, indem man dabei Gröſsen von der Ordnung γγ vernach-
lässigt, so wird, nachdem mit γ dividirt ist, bis auf Fehler von
der Ordnung γ genau
Es ist also bis auf Fehler der Ordnung γ genau,
und folglich, bis auf Fehler der Ordnung γ γ genau, (II)
Der Differentialquotient hat in der Fläche selbst zwei
verschiedene Werthe, und der auf ein negatives d r oder auf
die innere Seite sich beziehende übertrifft den auf der äuſsern
Seite geltenden um 4 π m cos θ, wenn m die Dichtigkeit an der
Durchschnittsstelle und θ den Winkel zwischen r und der
Normale bezeichnet (Art. 13, wo t, A, k0 dasselbe bedeuten
was hier r, θ, m sind). Man findet diese beiden Werthe,
wenn man die beiden im innern und äuſsern Raume geltenden
Ausdrücke für V nach r differentiirt, und dann r = R (1 + γ z)
setzt. Es ist also der erste =
und der zweite
Wir haben also, wenn wir die Differenz mit R (1 + γ z)3/2
multipliciren, 4 π m R cos θ . (1 + γ z)3/2 =
Substituiren wir hierin statt A0, A' u. s. f. die Werthe aus
I, und statt B0, B' u. s. w. die Werthe aus II, und lassen weg,
was von der Ordnung γ γ ist, so erhalten wir
folglich, da die beiden letzten Reihen bis auf Gröſsen der Ord-
nung γ γ einander destruiren,
womit die Aufgabe gelöset ist. Anstatt (1 + γ z)— 3/2 kann man
auch schreiben 1 — 3/2 γ z, und den Divisor cos θ weglassen, in-
sofern, wenigstens allgemein zu reden, θ von der Ordnung γ,
und also cos θ von 1 nur um eine Gröſse der Ordnung γ γ
verschieden ist.
Für den Fall einer Kugel, wo γ = 0, hat man in aller
Schärfe
indem P0 + P' + P'' + P''' + u. s. f. die Entwicklung
von U selbst vorstellt.
36.
Die Gröſse U ist in den bisherigen Untersuchungen unbe-
stimmt gelassen: die Anwendung derselben auf den Fall, wo
für U das Potential eines gegebenen Massensystems angenom-
men wird, bahnt uns nun den Weg zu folgendem wichtigen
4
LEHRSATZ. Anstatt einer beliebigen gegebenen Massen-
vertheilung D, welche entweder bloſs auf den innern von einer
geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist, oder
bloſs auf den äuſsern Raum, lässt sich eine Massenvertheilung
E bloſs auf der Fläche selbst substituiren, mit dem Erfolge,
daſs die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird, in
allen Punkten des äuſsern Raumes für den ersten Fall, oder
in allen Punkten des innern Raumes für den zweiten.
Es wird dazu nur erfordert, daſs, indem das Potential von
D in jedem Punkte von S mit U, das Potential von E hinge-
gen mit V bezeichnet wird, in der ganzen Fläche für den er-
sten Fall V — U = 0, für den zweiten aber nur constant
werde. Es wird nemlich — U das Potential einer Vertheilung
D' sein, die der D entgegengesetzt ist (so daſs an die Stelle
jedes Massentheils ein entgegengesetztes tritt), also V — U das
Potential der zugleich bestehenden Vertheilungen D' und E;
die Wirkungen daraus werden sich folglich im ersten Fall im
ganzen äuſsern Raume, im zweiten im ganzen innern destrui-
ren (Artt. 27 und 25), oder die Wirkungen von D und E wer-
den in den betreffenden Räumen gleich sein. Übrigens wird
die ganze Masse in E für den ersten Fall der Masse in D
gleich sein, im zweiten aber willkürlich bleiben.
Der Lehrsatz, welcher in der Intensitas vis magneticae S. 10
angekündigt, und auch in der Allgemeinen Theorie des Erd-
magnetismus an verschiedenen Stellen angeführt ist, erscheint
jetzt als ein specieller Fall des hier bewiesenen.
37.
Obgleich, wie schon im 35 Artikel bemerkt ist, die wirk-
liche vollständige Ausmittelung der Vertheilung E in den mei-
sten Fällen unüberwindliche Schwierigkeiten darbietet, so gibt
es doch einen, wo sie mit groſser Leichtigkeit geschehen kann,
und der hier noch besonders angeführt zu werden verdient.
Dies ist nemlich der, wo U constant, also S eine Gleichge-
wichtsfläche für das gegebene Massensystem D ist. Man sieht
leicht, daſs hier nur von dem Falle die Rede zu sein braucht,
wo D im innern Raume angenommen wird, und nicht die Ge-
sammtmasse = 0 ist, da sonst gar keine Wirkung da sein
würde, die durch eine Massenvertheilung auf S erzetzt zu wer-
den brauchte.
Es sei O ein Punkt der Fläche S, und r eine gerade Linie,
welche die Fläche daselbst unter rechten Winkeln schneidet,
und in der Richtung von Innen nach Auſsen als wachsend be-
trachtet wird; es sei ferner — C der Werth des Differential-
quotienten in O, und m die Dichtigkeit, welche bei der
Massenvertheilung E in O Statt hat. Der Differentialquotient
wird in O zwei verschiedne Werthe haben; der auf die
äuſsere Seite sich beziehende wird, weil in der Fläche und im
ganzen äuſsern Raume V = U ist, dem Differentialquotienten
gleich, also = — C sein; der auf die innere Seite sich be-
ziehende hingegen = 0, weil V in der Fläche und im ganzen
innern Raume constant ist. Da nun aber der zweite Werth
um 4 π m gröſser ist als der erste, so haben wir 4 π m = C
oder m = . Offenbar ist C nichts anderes, als die aus der
Massenvertheilung D entspringende Kraft, und hat mit der Ge-
sammtmasse einerlei Zeichen.