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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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des Punktes im Raume von ihrem Mittelpunkte, u der Winkel
zwischen r und einer festen geraden Linie, l der Winkel zwi-
schen der durch diese gerade Linie und r gelegten Ebene und
einer festen Ebene. Der Abstand eines unbestimmten Punktes
in der gegebenen geschlossenen Fläche vom Mittelpunkte der
Kugel sei = R(1 + g z), wo g ein constanter sehr kleiner
Factor ist, dessen höhere Potenzen vernachlässigt werden, z
hingegen eben so wie U Functionen von u und l.

Das Potential V der auf die Kugelfläche vertheilten Masse
wird in jedem Punkte des äussern Raumes durch eine nach
Potenzen von r fallende Reihe ausgedrückt werden, welcher
wir die Form geben
[Formel 1] in jedem Punkte des innern Raumes hingegen durch die stei-
gende Reihe
[Formel 2] Die Coefficienten A0, A', A'' u. s. f. sind Functionen von u und
l, welche bekannten partiellen Differentialgleichungen Genüge
leisten (S. Resultate 1838 S. 22.), und eben so B0, B', B''
u. s. f. Auf der vorgegebenen Fläche soll nun das Potential
einer gegebenen Function von u und l gleich werden, nemlich
V = U, also
[Formel 3] Nehmen wir also an, dass (1 + g z)1/2 U in eine Reihe
P0 + P' + P'' + P''' + u. s. w.
entwickelt sei, dergestalt, dass die einzelnen Glieder P0, P',
P'', P''' u. s. f. gleichfalls den gedachten Differentialgleichungen
Genüge leisten, und erwägen, dass die beiden obigen Reihen
für das Potential bis zur Fläche selbst gültig bleiben müssen,
so erhellet, dass
[Formel 4] sein wird. Wir schliessen hieraus, dass, wenn man Grössen

des Punktes im Raume von ihrem Mittelpunkte, u der Winkel
zwischen r und einer festen geraden Linie, λ der Winkel zwi-
schen der durch diese gerade Linie und r gelegten Ebene und
einer festen Ebene. Der Abstand eines unbestimmten Punktes
in der gegebenen geschlossenen Fläche vom Mittelpunkte der
Kugel sei = R(1 + γ z), wo γ ein constanter sehr kleiner
Factor ist, dessen höhere Potenzen vernachlässigt werden, z
hingegen eben so wie U Functionen von u und λ.

Das Potential V der auf die Kugelfläche vertheilten Masse
wird in jedem Punkte des äuſsern Raumes durch eine nach
Potenzen von r fallende Reihe ausgedrückt werden, welcher
wir die Form geben
[Formel 1] in jedem Punkte des innern Raumes hingegen durch die stei-
gende Reihe
[Formel 2] Die Coefficienten A0, A', A'' u. s. f. sind Functionen von u und
λ, welche bekannten partiellen Differentialgleichungen Genüge
leisten (S. Resultate 1838 S. 22.), und eben so B0, B', B''
u. s. f. Auf der vorgegebenen Fläche soll nun das Potential
einer gegebenen Function von u und λ gleich werden, nemlich
V = U, also
[Formel 3] Nehmen wir also an, daſs (1 + γ z)½ U in eine Reihe
P0 + P' + P'' + P''' + u. s. w.
entwickelt sei, dergestalt, daſs die einzelnen Glieder P0, P',
P'', P''' u. s. f. gleichfalls den gedachten Differentialgleichungen
Genüge leisten, und erwägen, daſs die beiden obigen Reihen
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[47/0052] des Punktes im Raume von ihrem Mittelpunkte, u der Winkel zwischen r und einer festen geraden Linie, λ der Winkel zwi- schen der durch diese gerade Linie und r gelegten Ebene und einer festen Ebene. Der Abstand eines unbestimmten Punktes in der gegebenen geschlossenen Fläche vom Mittelpunkte der Kugel sei = R(1 + γ z), wo γ ein constanter sehr kleiner Factor ist, dessen höhere Potenzen vernachlässigt werden, z hingegen eben so wie U Functionen von u und λ. Das Potential V der auf die Kugelfläche vertheilten Masse wird in jedem Punkte des äuſsern Raumes durch eine nach Potenzen von r fallende Reihe ausgedrückt werden, welcher wir die Form geben [FORMEL] in jedem Punkte des innern Raumes hingegen durch die stei- gende Reihe [FORMEL] Die Coefficienten A0, A', A'' u. s. f. sind Functionen von u und λ, welche bekannten partiellen Differentialgleichungen Genüge leisten (S. Resultate 1838 S. 22.), und eben so B0, B', B'' u. s. f. Auf der vorgegebenen Fläche soll nun das Potential einer gegebenen Function von u und λ gleich werden, nemlich V = U, also [FORMEL] Nehmen wir also an, daſs (1 + γ z)½ U in eine Reihe P0 + P' + P'' + P''' + u. s. w. entwickelt sei, dergestalt, daſs die einzelnen Glieder P0, P', P'', P''' u. s. f. gleichfalls den gedachten Differentialgleichungen Genüge leisten, und erwägen, daſs die beiden obigen Reihen für das Potential bis zur Fläche selbst gültig bleiben müssen, so erhellet, daſs [FORMEL] sein wird. Wir schlieſsen hieraus, daſs, wenn man Gröſsen

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 47. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/52>, abgerufen am 06.05.2024.