Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 53] § 27. Einführung neuer Variabeln.

n verschiedene Zuwächse der Grösse x1; keiner derselben ist
gleich der in Formel 53) mit d x1 bezeichneten Grösse. Ebenso
wenig würde die Gleichung 53) bestehen, wenn man unter d xh
den grössten Zuwachs verstünde, den xh überhaupt erfahren
kann, wenn jeder zwischen x1 und x1 + d x1 liegende Werth
von x1 mit jedem zwischen x2 und x2 + d x2 liegenden Werthe
des x2, ferner jedes so gebildete Werthepaar von x1 und x2
mit jedem zwischen x3 und x3 + d x3 liegendem Werthe des
x3 u. s. w. combinirt wird.

Um die Bedeutung der Gleichung 53) im allgemeinen Falle
klar darzustellen, müssen wir etwas weiter ausholen. Diese
Gleichung hat überhaupt nur eine Bedeutung, wenn es sich
um die Verwandlung bestimmter, über gewisse Werthecomplexe
aller x zu erstreckender Integrale in andere handelt, in welche
statt der x die Variabeln x einzuführen sind. Wir wollen uns
da der folgenden Bezeichnungen bedienen. Sei der Werth
jeder der Variabeln x gegeben; dadurch sind die dazu ge-
hörigen Werthe aller x bestimmt. Wir nennen sie die den
gegebenen x entsprechenden Werthe der x. Unter einem
Werthegebiete G der x verstehen wir einen Inbegriff von
Werthesystemen dieser Variabeln, der folgendermaassen ab-
gegrenzt ist: In das Werthegebiet sind zunächst alle reellen
Werthe von x1 einzubeziehen, welche zwischen zwei beliebig
gegebenen Grenzen x01 und x11 liegen. Jedem Werthe von x1,
der zwischen diesen Grenzen liegt, sind alle reellen Werthe
der zweiten Variabeln x2 zuzugesellen, die ebenfalls zwischen
beliebig gegebenen Grenzen x02 und x12 liegen, wobei aber x02
und x12 continuirliche Functionen des Werthes von x1 sein
können, dem die betreffenden Werthe von x2 zugesellt werden.
Ebenso werden jedem Werthepaar von x1 und x2, das die
bisher aufgestellten Bedingungen erfüllt, alle Werthe von x3 zu-
gesellt, die zwischen x03 und x13 liegen, wobei x03 und x13 con-
tinuirliche Functionen von x1 und x2 sein können u. s. w. 1) Es
ist dann bekannt, was man unter dem bestimmten Integrale
integral integral ... f (x1, x2 ... xn) d x1 d x2 ... d xn
erstreckt über das ganze Gebiet G versteht. Dieses Werthe-

1) Ausnahmen von der Continuität müssten auf einzelne Stellen be-
schränkt sein.

[Gleich. 53] § 27. Einführung neuer Variabeln.

n verschiedene Zuwächse der Grösse ξ1; keiner derselben ist
gleich der in Formel 53) mit d ξ1 bezeichneten Grösse. Ebenso
wenig würde die Gleichung 53) bestehen, wenn man unter d ξh
den grössten Zuwachs verstünde, den ξh überhaupt erfahren
kann, wenn jeder zwischen x1 und x1 + d x1 liegende Werth
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mit jedem zwischen x3 und x3 + d x3 liegendem Werthe des
x3 u. s. w. combinirt wird.

Um die Bedeutung der Gleichung 53) im allgemeinen Falle
klar darzustellen, müssen wir etwas weiter ausholen. Diese
Gleichung hat überhaupt nur eine Bedeutung, wenn es sich
um die Verwandlung bestimmter, über gewisse Werthecomplexe
aller x zu erstreckender Integrale in andere handelt, in welche
statt der x die Variabeln ξ einzuführen sind. Wir wollen uns
da der folgenden Bezeichnungen bedienen. Sei der Werth
jeder der Variabeln x gegeben; dadurch sind die dazu ge-
hörigen Werthe aller ξ bestimmt. Wir nennen sie die den
gegebenen x entsprechenden Werthe der ξ. Unter einem
Werthegebiete G der x verstehen wir einen Inbegriff von
Werthesystemen dieser Variabeln, der folgendermaassen ab-
gegrenzt ist: In das Werthegebiet sind zunächst alle reellen
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der zwischen diesen Grenzen liegt, sind alle reellen Werthe
der zweiten Variabeln x2 zuzugesellen, die ebenfalls zwischen
beliebig gegebenen Grenzen x02 und x12 liegen, wobei aber x02
und x12 continuirliche Functionen des Werthes von x1 sein
können, dem die betreffenden Werthe von x2 zugesellt werden.
Ebenso werden jedem Werthepaar von x1 und x2, das die
bisher aufgestellten Bedingungen erfüllt, alle Werthe von x3 zu-
gesellt, die zwischen x03 und x13 liegen, wobei x03 und x13 con-
tinuirliche Functionen von x1 und x2 sein können u. s. w. 1) Es
ist dann bekannt, was man unter dem bestimmten Integrale
∫ ∫ … f (x1, x2 … xn) d x1 d x2 … d xn
erstreckt über das ganze Gebiet G versteht. Dieses Werthe-

1) Ausnahmen von der Continuität müssten auf einzelne Stellen be-
schränkt sein.

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[71/0089] [Gleich. 53] § 27. Einführung neuer Variabeln. n verschiedene Zuwächse der Grösse ξ1; keiner derselben ist gleich der in Formel 53) mit d ξ1 bezeichneten Grösse. Ebenso wenig würde die Gleichung 53) bestehen, wenn man unter d ξh den grössten Zuwachs verstünde, den ξh überhaupt erfahren kann, wenn jeder zwischen x1 und x1 + d x1 liegende Werth von x1 mit jedem zwischen x2 und x2 + d x2 liegenden Werthe des x2, ferner jedes so gebildete Werthepaar von x1 und x2 mit jedem zwischen x3 und x3 + d x3 liegendem Werthe des x3 u. s. w. combinirt wird. Um die Bedeutung der Gleichung 53) im allgemeinen Falle klar darzustellen, müssen wir etwas weiter ausholen. Diese Gleichung hat überhaupt nur eine Bedeutung, wenn es sich um die Verwandlung bestimmter, über gewisse Werthecomplexe aller x zu erstreckender Integrale in andere handelt, in welche statt der x die Variabeln ξ einzuführen sind. Wir wollen uns da der folgenden Bezeichnungen bedienen. Sei der Werth jeder der Variabeln x gegeben; dadurch sind die dazu ge- hörigen Werthe aller ξ bestimmt. Wir nennen sie die den gegebenen x entsprechenden Werthe der ξ. Unter einem Werthegebiete G der x verstehen wir einen Inbegriff von Werthesystemen dieser Variabeln, der folgendermaassen ab- gegrenzt ist: In das Werthegebiet sind zunächst alle reellen Werthe von x1 einzubeziehen, welche zwischen zwei beliebig gegebenen Grenzen x01 und x11 liegen. Jedem Werthe von x1, der zwischen diesen Grenzen liegt, sind alle reellen Werthe der zweiten Variabeln x2 zuzugesellen, die ebenfalls zwischen beliebig gegebenen Grenzen x02 und x12 liegen, wobei aber x02 und x12 continuirliche Functionen des Werthes von x1 sein können, dem die betreffenden Werthe von x2 zugesellt werden. Ebenso werden jedem Werthepaar von x1 und x2, das die bisher aufgestellten Bedingungen erfüllt, alle Werthe von x3 zu- gesellt, die zwischen x03 und x13 liegen, wobei x03 und x13 con- tinuirliche Functionen von x1 und x2 sein können u. s. w. 1) Es ist dann bekannt, was man unter dem bestimmten Integrale ∫ ∫ … f (x1, x2 … xn) d x1 d x2 … d xn erstreckt über das ganze Gebiet G versteht. Dieses Werthe- 1) Ausnahmen von der Continuität müssten auf einzelne Stellen be- schränkt sein.

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Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 71. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/89>, abgerufen am 16.04.2024.

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