Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.III. Abschnitt. [Gleich. 53] Theorie der bestimmten Integrale gehört, dort aber nicht immervöllig klargestellt wird. Ich betrachte da den allgemeinsten Fall. Es seien n be- Wenn dann x1 alle möglichen Werthe durchläuft, welche III. Abschnitt. [Gleich. 53] Theorie der bestimmten Integrale gehört, dort aber nicht immervöllig klargestellt wird. Ich betrachte da den allgemeinsten Fall. Es seien n be- Wenn dann x1 alle möglichen Werthe durchläuft, welche <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0088" n="70"/><fw place="top" type="header">III. Abschnitt. [Gleich. 53]</fw><lb/> Theorie der bestimmten Integrale gehört, dort aber nicht immer<lb/> völlig klargestellt wird.</p><lb/> <p>Ich betrachte da den allgemeinsten Fall. Es seien <hi rendition="#i">n</hi> be-<lb/> liebige, in einem bestimmten Bereiche eindeutige und continuir-<lb/> liche Functionen <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">ξ<hi rendition="#sub">n</hi></hi> von <hi rendition="#i">n</hi> independenten Variabeln<lb/><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">n</hi></hi> gegeben. Umgekehrt seien auch die <hi rendition="#i">x</hi> eindeutige<lb/> continuirliche Functionen der <hi rendition="#i">ξ</hi>. Setzen wir dann<lb/><hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/> so gilt zwischen den Differentialen die Gleichung:<lb/> 53) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi><lb/> Die Bedeutung dieser Gleichung lässt an Klarheit nichts zu<lb/> wünschen übrig, wenn <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> bloss Function von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> bloss<lb/> Function von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> u. s. w. ist. Wenn dann von allen <hi rendition="#i">x</hi> bloss <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/> sich ändert, etwa um <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> wächst, so ändert sich von allen <hi rendition="#i">ξ</hi><lb/> auch bloss <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>; sein Zuwachs heisse <hi rendition="#i">d ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>. Ebenso gehört zu<lb/> einem Zuwachse <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> ein bestimmter Zuwachs <hi rendition="#i">d ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> von<lb/><hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> u. s. w. Zwischen den so bestimmten Zuwächsen der <hi rendition="#i">x</hi> und <hi rendition="#i">ξ</hi><lb/> besteht nun die Gleichung 53). Weit complicirter wird aber<lb/> die Sache, wenn, wie es im Allgemeinen angenommen werden<lb/> muss, jedes der <hi rendition="#i">ξ</hi> eine Function aller <hi rendition="#i">x</hi> ist.</p><lb/> <p>Wenn dann <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> alle möglichen Werthe durchläuft, welche<lb/> zwischen <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> liegen, während <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> einen constanten<lb/> Werth, der zwischen <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> liegt, ebenso <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> einen<lb/> constanten zwischen <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> und <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> + <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> liegenden Werth hat und<lb/> in gleicher Weise alle folgenden <hi rendition="#i">x</hi> constante Werthe haben, so<lb/> wird im Allgemeinen keineswegs bloss <hi rendition="#i">ξ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> sich ändern, sondern<lb/> es werden vielmehr alle <hi rendition="#i">ξ</hi> gleichzeitig sich ändern. Ebenso<lb/> werden sich im Allgemeinen alle <hi rendition="#i">ξ</hi> ändern, wenn bei Constant-<lb/> haltung aller übrigen <hi rendition="#i">x</hi> nur <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> alle Werthe von <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> bis <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">2</hi><lb/> durchläuft und zwar wird jedes <hi rendition="#i">ξ</hi> im zweiten Falle einen ganz<lb/> anderen Zuwachs erfahren, als im ersten. Wir haben also<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [70/0088]
III. Abschnitt. [Gleich. 53]
Theorie der bestimmten Integrale gehört, dort aber nicht immer
völlig klargestellt wird.
Ich betrachte da den allgemeinsten Fall. Es seien n be-
liebige, in einem bestimmten Bereiche eindeutige und continuir-
liche Functionen ξ1, ξ2 … ξn von n independenten Variabeln
x1, x2 … xn gegeben. Umgekehrt seien auch die x eindeutige
continuirliche Functionen der ξ. Setzen wir dann
[FORMEL],
so gilt zwischen den Differentialen die Gleichung:
53) [FORMEL].
Die Bedeutung dieser Gleichung lässt an Klarheit nichts zu
wünschen übrig, wenn ξ1 bloss Function von x1, ξ2 bloss
Function von x2 u. s. w. ist. Wenn dann von allen x bloss x1
sich ändert, etwa um d x1 wächst, so ändert sich von allen ξ
auch bloss ξ1; sein Zuwachs heisse d ξ1. Ebenso gehört zu
einem Zuwachse d x2 von x2 ein bestimmter Zuwachs d ξ2 von
ξ2 u. s. w. Zwischen den so bestimmten Zuwächsen der x und ξ
besteht nun die Gleichung 53). Weit complicirter wird aber
die Sache, wenn, wie es im Allgemeinen angenommen werden
muss, jedes der ξ eine Function aller x ist.
Wenn dann x1 alle möglichen Werthe durchläuft, welche
zwischen x1 und x1 + d x1 liegen, während x2 einen constanten
Werth, der zwischen x2 und x2 + d x2 liegt, ebenso x3 einen
constanten zwischen x3 und x3 + d x3 liegenden Werth hat und
in gleicher Weise alle folgenden x constante Werthe haben, so
wird im Allgemeinen keineswegs bloss ξ1 sich ändern, sondern
es werden vielmehr alle ξ gleichzeitig sich ändern. Ebenso
werden sich im Allgemeinen alle ξ ändern, wenn bei Constant-
haltung aller übrigen x nur x2 alle Werthe von x2 bis x2 + d x2
durchläuft und zwar wird jedes ξ im zweiten Falle einen ganz
anderen Zuwachs erfahren, als im ersten. Wir haben also
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Zitationshilfe: | Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 70. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/88>, abgerufen am 16.07.2024. |