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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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I. Abschnitt. [Gleich. 30]
Wenn daher T > Tk ist, so kann d p / d v überhaupt nicht ver-
schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme
fällt mit wachsendem v beständig ab. Wenn T < Tk ist, so
geht d p / d v durch Null zu einem negativen und dann noch-
mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die
Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum.
Für T = Tk ist d p / d v sonst immer negativ; nur wird es ein
einziges Mal gleich Null und zwar für v = 3 b. Es nimmt also
p mit wachsendem v immer ab, aber an dieser Stelle nur um
eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn
der Zuwachs von v unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man
die kritische. Versehen wir die Werthe von v, p und T, welche
dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt,
mit dem Index k, so ist also:
28) [Formel 1] .
Für den dazu gehörigen Werth von p, also den kritischen Druck,
findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck:
29) pk = a / 27 b2.
vk, Tk und pk sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer
ist grösser als das kleinste Volumen b, dessen die Substanz
überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man
wieder T constant lässt:
[Formel 2] und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe d2 p / d v2
verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass
für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu-
läres Maximum-Minimum hat.

Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen
will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf
dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg
und ordnen nach Potenzen von v, so geht diese Gleichung über in
30) [Formel 3] .
Dies ist bei gegebenen Werthen von p und T eine Gleichung
3. Grades für v. Wir wollen ihre linke Seite mit f (v) be-
zeichnen. Wenn es Werthe von p und T giebt, für welche für
denselben Werth von v ausser f (v) auch noch f' (v) und f" (v)

I. Abschnitt. [Gleich. 30]
Wenn daher T > Tk ist, so kann d p / d v überhaupt nicht ver-
schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme
fällt mit wachsendem v beständig ab. Wenn T < Tk ist, so
geht d p / d v durch Null zu einem negativen und dann noch-
mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die
Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum.
Für T = Tk ist d p / d v sonst immer negativ; nur wird es ein
einziges Mal gleich Null und zwar für v = 3 b. Es nimmt also
p mit wachsendem v immer ab, aber an dieser Stelle nur um
eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn
der Zuwachs von v unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man
die kritische. Versehen wir die Werthe von v, p und T, welche
dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt,
mit dem Index k, so ist also:
28) [Formel 1] .
Für den dazu gehörigen Werth von p, also den kritischen Druck,
findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck:
29) pk = a / 27 b2.
vk, Tk und pk sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer
ist grösser als das kleinste Volumen b, dessen die Substanz
überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man
wieder T constant lässt:
[Formel 2] und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe d2 p / d v2
verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass
für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu-
läres Maximum-Minimum hat.

Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen
will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf
dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg
und ordnen nach Potenzen von v, so geht diese Gleichung über in
30) [Formel 3] .
Dies ist bei gegebenen Werthen von p und T eine Gleichung
3. Grades für v. Wir wollen ihre linke Seite mit f (v) be-
zeichnen. Wenn es Werthe von p und T giebt, für welche für
denselben Werth von v ausser f (v) auch noch f' (v) und f″ (v)

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[24/0042] I. Abschnitt. [Gleich. 30] Wenn daher T > Tk ist, so kann d p / d v überhaupt nicht ver- schwinden und daher auch nicht positiv werden; die Isotherme fällt mit wachsendem v beständig ab. Wenn T < Tk ist, so geht d p / d v durch Null zu einem negativen und dann noch- mals durch Null wieder zu einem positiven Werthe über. Die Ordinaten der Isotherme haben ein Minimum und ein Maximum. Für T = Tk ist d p / d v sonst immer negativ; nur wird es ein einziges Mal gleich Null und zwar für v = 3 b. Es nimmt also p mit wachsendem v immer ab, aber an dieser Stelle nur um eine Grösse, die unendlich klein höherer Ordnung ist, wenn der Zuwachs von v unendlich klein ist. Diese Stelle nennt man die kritische. Versehen wir die Werthe von v, p und T, welche dieser Stelle entsprechen und welche man die kritischen nennt, mit dem Index k, so ist also: 28) [FORMEL]. Für den dazu gehörigen Werth von p, also den kritischen Druck, findet man aus Gleichung 22) den Ausdruck: 29) pk = a / 27 b2. vk, Tk und pk sind also drei reelle positive Werthe. Ersterer ist grösser als das kleinste Volumen b, dessen die Substanz überhaupt fähig ist. Aus Gleichung 27) findet man, wenn man wieder T constant lässt: [FORMEL] und man sieht leicht, dass für die kritischen Werthe d2 p / d v2 verschwindet, was zu erwarten war, da wir bereits sahen, dass für die kritischen Werthe die Isotherme ein vollkommen regu- läres Maximum-Minimum hat. Noch einer algebraischen Eigenschaft der kritischen Grössen will ich gedenken. Bringen wir in Gleichung 22) alle Grössen auf dieselbe Seite des Gleichheitszeichens, schaffen die Brüche weg und ordnen nach Potenzen von v, so geht diese Gleichung über in 30) [FORMEL]. Dies ist bei gegebenen Werthen von p und T eine Gleichung 3. Grades für v. Wir wollen ihre linke Seite mit f (v) be- zeichnen. Wenn es Werthe von p und T giebt, für welche für denselben Werth von v ausser f (v) auch noch f' (v) und f″ (v)

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 24. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/42>, abgerufen am 24.11.2024.