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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 30] § 11. Kritische Grössen.
verschwinden, so hat die Gleichung 3. Grades für die be-
treffenden Werthe von p und T drei gleiche Wurzeln für v;
dabei ist f' (v) die erste und f" (v) die zweite Ableitung von f (v)
bei constantem p und T.

Lässt man nur T constant, so folgt aus Gleichung 30)
[Formel 1] .

Die Grössen d p / d v und d2 p / d v2 sind dieselben, welche
oben in gleicher Weise bezeichnet wurden und von denen wir
bewiesen haben, dass sie für die kritischen Werthe von p, v
und T verschwinden. Für diese Werthe verschwinden also
nebst f (v) auch f' (v) und f" (v), d. h. die Gleichung 30)
dritten Grades hat für v drei gleiche Wurzeln, wenn man für
p und T die kritischen Werthe substituirt. Da der Coefficient
von v2 negativ genommen und durch p dividirt die Summe,
das von v freie Glied ebenfalls negativ genommen und durch
p dividirt das Product, der durch p dividirte positive Coefficient
von v2 aber die Summe der Producte je zweier Wurzeln ist,
so erhält man für die Werthe pk und Tk, für welche die
Gleichung 30) drei gleiche Wurzeln hat, deren Werth mit vk
bezeichnet werden soll, die drei Gleichungen
[Formel 2] ,
woraus die schon gefundenen Werthe für vk, pk und Tk folgen.
Für diejenigen Werthe der Temperatur, für welche die Ordi-
naten der Isothermen kein Minimum haben, gehört zu jedem
p nur ein Werth des v, hat daher die Gleichung 30 nur eine
reelle Wurzel, die grösser als b ist; für jene Temperaturen
aber, für welche die Ordinate der Isothermen ein Minimum p1
und ein Maximum p2 hat, hat die Gleichung 30 drei reelle
Wurzeln für v, die > b sind, falls p zwischen p1 und p2 liegt,
wie man sofort aus der Gestalt der Isothermen erkennt.

Wir haben bisher über die Einheit des Drucks und Vo-
lumens keine besondere Festsetzung gemacht. Damit die
Formeln besonders einfach werden, wollen wir bei Discussion
des Verhaltens einer jeden Substanz deren kritisches Volumen

[Gleich. 30] § 11. Kritische Grössen.
verschwinden, so hat die Gleichung 3. Grades für die be-
treffenden Werthe von p und T drei gleiche Wurzeln für v;
dabei ist f' (v) die erste und f″ (v) die zweite Ableitung von f (v)
bei constantem p und T.

Lässt man nur T constant, so folgt aus Gleichung 30)
[Formel 1] .

Die Grössen d p / d v und d2 p / d v2 sind dieselben, welche
oben in gleicher Weise bezeichnet wurden und von denen wir
bewiesen haben, dass sie für die kritischen Werthe von p, v
und T verschwinden. Für diese Werthe verschwinden also
nebst f (v) auch f' (v) und f″ (v), d. h. die Gleichung 30)
dritten Grades hat für v drei gleiche Wurzeln, wenn man für
p und T die kritischen Werthe substituirt. Da der Coefficient
von v2 negativ genommen und durch p dividirt die Summe,
das von v freie Glied ebenfalls negativ genommen und durch
p dividirt das Product, der durch p dividirte positive Coefficient
von v2 aber die Summe der Producte je zweier Wurzeln ist,
so erhält man für die Werthe pk und Tk, für welche die
Gleichung 30) drei gleiche Wurzeln hat, deren Werth mit vk
bezeichnet werden soll, die drei Gleichungen
[Formel 2] ,
woraus die schon gefundenen Werthe für vk, pk und Tk folgen.
Für diejenigen Werthe der Temperatur, für welche die Ordi-
naten der Isothermen kein Minimum haben, gehört zu jedem
p nur ein Werth des v, hat daher die Gleichung 30 nur eine
reelle Wurzel, die grösser als b ist; für jene Temperaturen
aber, für welche die Ordinate der Isothermen ein Minimum p1
und ein Maximum p2 hat, hat die Gleichung 30 drei reelle
Wurzeln für v, die > b sind, falls p zwischen p1 und p2 liegt,
wie man sofort aus der Gestalt der Isothermen erkennt.

Wir haben bisher über die Einheit des Drucks und Vo-
lumens keine besondere Festsetzung gemacht. Damit die
Formeln besonders einfach werden, wollen wir bei Discussion
des Verhaltens einer jeden Substanz deren kritisches Volumen

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[25/0043] [Gleich. 30] § 11. Kritische Grössen. verschwinden, so hat die Gleichung 3. Grades für die be- treffenden Werthe von p und T drei gleiche Wurzeln für v; dabei ist f' (v) die erste und f″ (v) die zweite Ableitung von f (v) bei constantem p und T. Lässt man nur T constant, so folgt aus Gleichung 30) [FORMEL]. Die Grössen d p / d v und d2 p / d v2 sind dieselben, welche oben in gleicher Weise bezeichnet wurden und von denen wir bewiesen haben, dass sie für die kritischen Werthe von p, v und T verschwinden. Für diese Werthe verschwinden also nebst f (v) auch f' (v) und f″ (v), d. h. die Gleichung 30) dritten Grades hat für v drei gleiche Wurzeln, wenn man für p und T die kritischen Werthe substituirt. Da der Coefficient von v2 negativ genommen und durch p dividirt die Summe, das von v freie Glied ebenfalls negativ genommen und durch p dividirt das Product, der durch p dividirte positive Coefficient von v2 aber die Summe der Producte je zweier Wurzeln ist, so erhält man für die Werthe pk und Tk, für welche die Gleichung 30) drei gleiche Wurzeln hat, deren Werth mit vk bezeichnet werden soll, die drei Gleichungen [FORMEL], woraus die schon gefundenen Werthe für vk, pk und Tk folgen. Für diejenigen Werthe der Temperatur, für welche die Ordi- naten der Isothermen kein Minimum haben, gehört zu jedem p nur ein Werth des v, hat daher die Gleichung 30 nur eine reelle Wurzel, die grösser als b ist; für jene Temperaturen aber, für welche die Ordinate der Isothermen ein Minimum p1 und ein Maximum p2 hat, hat die Gleichung 30 drei reelle Wurzeln für v, die > b sind, falls p zwischen p1 und p2 liegt, wie man sofort aus der Gestalt der Isothermen erkennt. Wir haben bisher über die Einheit des Drucks und Vo- lumens keine besondere Festsetzung gemacht. Damit die Formeln besonders einfach werden, wollen wir bei Discussion des Verhaltens einer jeden Substanz deren kritisches Volumen

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 25. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/43>, abgerufen am 23.11.2024.