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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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IV. Abschnitt. [Gleich. 134]

Der Mittelwerth des durch das Momentoid ri bedingten
Antheiles [Formel 1] der lebendigen Kraft hat für ein beliebiges i
den Werth
133) [Formel 2] ,
wobei das einzige Integralzeichen eine Integration über alle
möglichen Werthe der Differentiale anzeigt.

Führt man im Zähler und Nenner zuerst die Integration
nach ri aus, so kann man sowohl im Zähler als auch im
Nenner alle ri nicht enthaltenden Factoren vor dasjenige In-
tegralzeichen setzen, welches die Integration nach ri ausdrückt.
Der so vor dieses Integralzeichen kommende Ausdruck ist im
Zähler und Nenner genau derselbe. Das nach ri zunehmende
Integrale lautet im Zähler
[Formel 3] ,
im Nenner aber
[Formel 4] .
Um hier die Integrationsgrenzen zu finden, bedenken wir, dass
für die Geschwindigkeit p' der Aenderung jeder Coordinate
alle Werthe zwischen -- infinity und + infinity möglich sind. Die r
sind lineare Functionen der p' und können daher ebenfalls alle
Werthe von -- infinity bis + infinity durchlaufen. Dies sind also die
Integrationsgrenzen für ri und es wird
[Formel 5] ,
wie man entweder durch partielle Integration des ersten Inte-
grales oder durch Berechnung beider Integrale nach Formel 39)
§ 7 des I. Theiles findet. Man kann nun im Zähler den
Factor 1/2 h, im Nenner den Factor 2 vor alle Integralzeichen
setzen; es werden dann die mit jedem dieser Factoren im
Zähler und Nenner multiplicirten Ausdrücke gleich; man kann
mit ihnen wegdividiren und erhält:
134) [Formel 6] .
L bedeutet dabei den Mittelwerth der gesammten lebendigen
Kraft eines Moleküles der betreffenden Gattung. Die jedem

IV. Abschnitt. [Gleich. 134]

Der Mittelwerth des durch das Momentoid ri bedingten
Antheiles [Formel 1] der lebendigen Kraft hat für ein beliebiges i
den Werth
133) [Formel 2] ,
wobei das einzige Integralzeichen eine Integration über alle
möglichen Werthe der Differentiale anzeigt.

Führt man im Zähler und Nenner zuerst die Integration
nach ri aus, so kann man sowohl im Zähler als auch im
Nenner alle ri nicht enthaltenden Factoren vor dasjenige In-
tegralzeichen setzen, welches die Integration nach ri ausdrückt.
Der so vor dieses Integralzeichen kommende Ausdruck ist im
Zähler und Nenner genau derselbe. Das nach ri zunehmende
Integrale lautet im Zähler
[Formel 3] ,
im Nenner aber
[Formel 4] .
Um hier die Integrationsgrenzen zu finden, bedenken wir, dass
für die Geschwindigkeit p' der Aenderung jeder Coordinate
alle Werthe zwischen — ∞ und + ∞ möglich sind. Die r
sind lineare Functionen der p' und können daher ebenfalls alle
Werthe von — ∞ bis + ∞ durchlaufen. Dies sind also die
Integrationsgrenzen für ri und es wird
[Formel 5] ,
wie man entweder durch partielle Integration des ersten Inte-
grales oder durch Berechnung beider Integrale nach Formel 39)
§ 7 des I. Theiles findet. Man kann nun im Zähler den
Factor 1/2 h, im Nenner den Factor 2 vor alle Integralzeichen
setzen; es werden dann die mit jedem dieser Factoren im
Zähler und Nenner multiplicirten Ausdrücke gleich; man kann
mit ihnen wegdividiren und erhält:
134) [Formel 6] .
L̅ bedeutet dabei den Mittelwerth der gesammten lebendigen
Kraft eines Moleküles der betreffenden Gattung. Die jedem

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[124/0142] IV. Abschnitt. [Gleich. 134] Der Mittelwerth des durch das Momentoid ri bedingten Antheiles [FORMEL] der lebendigen Kraft hat für ein beliebiges i den Werth 133) [FORMEL], wobei das einzige Integralzeichen eine Integration über alle möglichen Werthe der Differentiale anzeigt. Führt man im Zähler und Nenner zuerst die Integration nach ri aus, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner alle ri nicht enthaltenden Factoren vor dasjenige In- tegralzeichen setzen, welches die Integration nach ri ausdrückt. Der so vor dieses Integralzeichen kommende Ausdruck ist im Zähler und Nenner genau derselbe. Das nach ri zunehmende Integrale lautet im Zähler [FORMEL], im Nenner aber [FORMEL]. Um hier die Integrationsgrenzen zu finden, bedenken wir, dass für die Geschwindigkeit p' der Aenderung jeder Coordinate alle Werthe zwischen — ∞ und + ∞ möglich sind. Die r sind lineare Functionen der p' und können daher ebenfalls alle Werthe von — ∞ bis + ∞ durchlaufen. Dies sind also die Integrationsgrenzen für ri und es wird [FORMEL], wie man entweder durch partielle Integration des ersten Inte- grales oder durch Berechnung beider Integrale nach Formel 39) § 7 des I. Theiles findet. Man kann nun im Zähler den Factor 1/2 h, im Nenner den Factor 2 vor alle Integralzeichen setzen; es werden dann die mit jedem dieser Factoren im Zähler und Nenner multiplicirten Ausdrücke gleich; man kann mit ihnen wegdividiren und erhält: 134) [FORMEL]. L̅ bedeutet dabei den Mittelwerth der gesammten lebendigen Kraft eines Moleküles der betreffenden Gattung. Die jedem

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 124. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/142>, abgerufen am 13.04.2021.