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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

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[Gleich. 183] § 20. Hydrodyn. Gleichungen im Allgemeinen.
181) [Formel 1] .

Wie wir später sehen werden, nähern sich jedesmal wenn
keine äusseren Einflüsse wirksam sind, die Grössen
182) [Formel 2]
durch die Wirkung der Zusammenstösse sehr rasch dem Werthe
Null. Wenn äussere Einflüsse dies verhindern, so können,
sobald diese Einflüsse nicht enorm plötzlich und heftig wirken,
diese Grössen niemals erheblich von Null verschieden sein.
Vorläufig nehmen wir es als Erfahrungsthatsache an, dass in
Gasen der normale Druck immer nahezu nach allen Richtungen
gleich, die tangentialen elastischen Kräfte aber sehr klein sind,
daher die Gleichungen 181 angenähert bestehen. Die Sub-
stitution der durch sie gegebenen Werthe in die Gleichung 173
liefert:
183) [Formel 3]
mit zwei analogen Gleichungen für die y- und z-Axe. Es
sind dies die bekannten hydrodynamischen Gleichungen ohne
Berücksichtigung der inneren Reibung und Wärmeleitung; die-
selben sind daher als erste Annäherung aufzufassen.

Wir bezeichnen nun mit Ph irgend eine Function von
x, y, z und t. (partial Ph / partial t) d t ist der Zuwachs, den der Werth
dieser Function in einem unveränderlichen Punkt A des
Raumes während der Zeit d t erfährt. Nun soll aber der
Punkt A sich mit einer Geschwindigkeit, welche die Com-
ponenten u, v, w hat, welche also gleich der Gesammt-
geschwindigkeit der ersten Gasart im Volumenelemente d o ist,
fortbewegen. Er komme während d t von A nach A'. Sub-
trahirt man jetzt von dem Werthe, den die Function Ph zur
Zeit t + d t in A' hat, denjenigen, den sie zur Zeit t in A hat
und dividirt die Differenz durch die verflossene Zeit, so er-
hält man
[Formel 4] ,
welchen Werth wir kurz mit d Ph / d t bezeichnen wollen. Man
kann dann die Continuitätsgleichung und die erste der hydro-
dynamischen Gleichungen in folgender Form schreiben:

[Gleich. 183] § 20. Hydrodyn. Gleichungen im Allgemeinen.
181) [Formel 1] .

Wie wir später sehen werden, nähern sich jedesmal wenn
keine äusseren Einflüsse wirksam sind, die Grössen
182) [Formel 2]
durch die Wirkung der Zusammenstösse sehr rasch dem Werthe
Null. Wenn äussere Einflüsse dies verhindern, so können,
sobald diese Einflüsse nicht enorm plötzlich und heftig wirken,
diese Grössen niemals erheblich von Null verschieden sein.
Vorläufig nehmen wir es als Erfahrungsthatsache an, dass in
Gasen der normale Druck immer nahezu nach allen Richtungen
gleich, die tangentialen elastischen Kräfte aber sehr klein sind,
daher die Gleichungen 181 angenähert bestehen. Die Sub-
stitution der durch sie gegebenen Werthe in die Gleichung 173
liefert:
183) [Formel 3]
mit zwei analogen Gleichungen für die y- und z-Axe. Es
sind dies die bekannten hydrodynamischen Gleichungen ohne
Berücksichtigung der inneren Reibung und Wärmeleitung; die-
selben sind daher als erste Annäherung aufzufassen.

Wir bezeichnen nun mit Φ irgend eine Function von
x, y, z und t. (∂ Φ / ∂ t) d t ist der Zuwachs, den der Werth
dieser Function in einem unveränderlichen Punkt A des
Raumes während der Zeit d t erfährt. Nun soll aber der
Punkt A sich mit einer Geschwindigkeit, welche die Com-
ponenten u, v, w hat, welche also gleich der Gesammt-
geschwindigkeit der ersten Gasart im Volumenelemente d o ist,
fortbewegen. Er komme während d t von A nach A'. Sub-
trahirt man jetzt von dem Werthe, den die Function Φ zur
Zeit t + d t in A' hat, denjenigen, den sie zur Zeit t in A hat
und dividirt die Differenz durch die verflossene Zeit, so er-
hält man
[Formel 4] ,
welchen Werth wir kurz mit d Φ / d t bezeichnen wollen. Man
kann dann die Continuitätsgleichung und die erste der hydro-
dynamischen Gleichungen in folgender Form schreiben:

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[149/0163] [Gleich. 183] § 20. Hydrodyn. Gleichungen im Allgemeinen. 181) [FORMEL]. Wie wir später sehen werden, nähern sich jedesmal wenn keine äusseren Einflüsse wirksam sind, die Grössen 182) [FORMEL] durch die Wirkung der Zusammenstösse sehr rasch dem Werthe Null. Wenn äussere Einflüsse dies verhindern, so können, sobald diese Einflüsse nicht enorm plötzlich und heftig wirken, diese Grössen niemals erheblich von Null verschieden sein. Vorläufig nehmen wir es als Erfahrungsthatsache an, dass in Gasen der normale Druck immer nahezu nach allen Richtungen gleich, die tangentialen elastischen Kräfte aber sehr klein sind, daher die Gleichungen 181 angenähert bestehen. Die Sub- stitution der durch sie gegebenen Werthe in die Gleichung 173 liefert: 183) [FORMEL] mit zwei analogen Gleichungen für die y- und z-Axe. Es sind dies die bekannten hydrodynamischen Gleichungen ohne Berücksichtigung der inneren Reibung und Wärmeleitung; die- selben sind daher als erste Annäherung aufzufassen. Wir bezeichnen nun mit Φ irgend eine Function von x, y, z und t. (∂ Φ / ∂ t) d t ist der Zuwachs, den der Werth dieser Function in einem unveränderlichen Punkt A des Raumes während der Zeit d t erfährt. Nun soll aber der Punkt A sich mit einer Geschwindigkeit, welche die Com- ponenten u, v, w hat, welche also gleich der Gesammt- geschwindigkeit der ersten Gasart im Volumenelemente d o ist, fortbewegen. Er komme während d t von A nach A'. Sub- trahirt man jetzt von dem Werthe, den die Function Φ zur Zeit t + d t in A' hat, denjenigen, den sie zur Zeit t in A hat und dividirt die Differenz durch die verflossene Zeit, so er- hält man [FORMEL], welchen Werth wir kurz mit d Φ / d t bezeichnen wollen. Man kann dann die Continuitätsgleichung und die erste der hydro- dynamischen Gleichungen in folgender Form schreiben:

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896, S. 149. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie01_1896/163>, abgerufen am 01.05.2024.