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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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34.

Es bleibt noch übrig, zu beweisen, dass nur Eine Ver-
theilungsart einer gegebenen Masse M möglich ist, bei welcher
V -- U in der ganzen Fläche constant ist. In der That, gäbe
es zwei verschiedene diess leistende Vertheilungsarten, so würde,
wenn man m und V in der ersten mit m', V', in der zweiten
mit m'', V'' bezeichnet, von einer dritten Massenvertheilung,
in welcher m = m' -- m'' angenommen wird, das Potential
= V' -- V'' und folglich constant sein, und die Gesammt-
masse = 0. Das constante Potential müsste daher nach Art.
27 nothwendig = 0 sein, und folglich nach Art. 28 auch
m' -- m'' = 0, oder die beiden Vertheilungen identisch.

Endlich muss noch erwähnt werden, dass es immer eine
Massenvertheilung gibt, wobei die Differenz V -- U einen ge-
gebenen constanten Werth erhält. Bedeutet nemlich a einen
beliebigen constanten Coefficienten, so wird indem wir die Be-
zeichnungen für die erste und dritte Vertheilung im vorherge-
henden Artikel beibehalten, das Potential derjenigen Verthei-
lung, wobei m = a m0 + m angenommen wird, = aV0 + v
sein, und dem constanten Unterschiede aV0 + v -- U durch
gehörige Bestimmung des Coefficienten a jeder beliebige Werth
ertheilt werden können. Die Gesammtmasse dieser Vertheilung
ist dann aber nicht mehr willkührlich, sondern = a M. Übri-
gens erhellet auf dieselbe Art wie vorhin, dass auch diese Ver-
theilungsbedingung nur auf eine einzige Art erfüllt werden kann.

35.

Die wirkliche Bestimmung der Vertheilung der Masse auf
einer gegebenen Fläche für jede vorgeschriebene Form von U
übersteigt in den meisten Fällen die Kräfte der Analyse in ih-
rem gegenwärtigen Zustande. Der einfachste Fall, wo sie in
unsrer Gewalt ist, ist der einer ganzen Kugelfläche; wir wollen
jedoch sofort den allgemeinern behandeln, wo die Fläche von
der Kugelfläche sehr wenig abweicht, und Grössen von höhe-
rer Ordnung, als die Abweichung selbst, vernachlässigt werden
dürfen.

Es sei R der Halbmesser der Kugel, r die Entfernung je-

34.

Es bleibt noch übrig, zu beweisen, daſs nur Eine Ver-
theilungsart einer gegebenen Masse M möglich ist, bei welcher
V — U in der ganzen Fläche constant ist. In der That, gäbe
es zwei verschiedene dieſs leistende Vertheilungsarten, so würde,
wenn man m und V in der ersten mit m', V', in der zweiten
mit m'', V'' bezeichnet, von einer dritten Massenvertheilung,
in welcher m = m' — m'' angenommen wird, das Potential
= V' — V'' und folglich constant sein, und die Gesammt-
masse = 0. Das constante Potential müſste daher nach Art.
27 nothwendig = 0 sein, und folglich nach Art. 28 auch
m' — m'' = 0, oder die beiden Vertheilungen identisch.

Endlich muss noch erwähnt werden, daſs es immer eine
Massenvertheilung gibt, wobei die Differenz V — U einen ge-
gebenen constanten Werth erhält. Bedeutet nemlich α einen
beliebigen constanten Coefficienten, so wird indem wir die Be-
zeichnungen für die erste und dritte Vertheilung im vorherge-
henden Artikel beibehalten, das Potential derjenigen Verthei-
lung, wobei m = α m0 + μ angenommen wird, = αV0 + v
sein, und dem constanten Unterschiede αV0 + v — U durch
gehörige Bestimmung des Coefficienten α jeder beliebige Werth
ertheilt werden können. Die Gesammtmasse dieser Vertheilung
ist dann aber nicht mehr willkührlich, sondern = α M. Übri-
gens erhellet auf dieselbe Art wie vorhin, daſs auch diese Ver-
theilungsbedingung nur auf eine einzige Art erfüllt werden kann.

35.

Die wirkliche Bestimmung der Vertheilung der Masse auf
einer gegebenen Fläche für jede vorgeschriebene Form von U
übersteigt in den meisten Fällen die Kräfte der Analyse in ih-
rem gegenwärtigen Zustande. Der einfachste Fall, wo sie in
unsrer Gewalt ist, ist der einer ganzen Kugelfläche; wir wollen
jedoch sofort den allgemeinern behandeln, wo die Fläche von
der Kugelfläche sehr wenig abweicht, und Gröſsen von höhe-
rer Ordnung, als die Abweichung selbst, vernachlässigt werden
dürfen.

Es sei R der Halbmesser der Kugel, r die Entfernung je-

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[46/0051] 34. Es bleibt noch übrig, zu beweisen, daſs nur Eine Ver- theilungsart einer gegebenen Masse M möglich ist, bei welcher V — U in der ganzen Fläche constant ist. In der That, gäbe es zwei verschiedene dieſs leistende Vertheilungsarten, so würde, wenn man m und V in der ersten mit m', V', in der zweiten mit m'', V'' bezeichnet, von einer dritten Massenvertheilung, in welcher m = m' — m'' angenommen wird, das Potential = V' — V'' und folglich constant sein, und die Gesammt- masse = 0. Das constante Potential müſste daher nach Art. 27 nothwendig = 0 sein, und folglich nach Art. 28 auch m' — m'' = 0, oder die beiden Vertheilungen identisch. Endlich muss noch erwähnt werden, daſs es immer eine Massenvertheilung gibt, wobei die Differenz V — U einen ge- gebenen constanten Werth erhält. Bedeutet nemlich α einen beliebigen constanten Coefficienten, so wird indem wir die Be- zeichnungen für die erste und dritte Vertheilung im vorherge- henden Artikel beibehalten, das Potential derjenigen Verthei- lung, wobei m = α m0 + μ angenommen wird, = αV0 + v sein, und dem constanten Unterschiede αV0 + v — U durch gehörige Bestimmung des Coefficienten α jeder beliebige Werth ertheilt werden können. Die Gesammtmasse dieser Vertheilung ist dann aber nicht mehr willkührlich, sondern = α M. Übri- gens erhellet auf dieselbe Art wie vorhin, daſs auch diese Ver- theilungsbedingung nur auf eine einzige Art erfüllt werden kann. 35. Die wirkliche Bestimmung der Vertheilung der Masse auf einer gegebenen Fläche für jede vorgeschriebene Form von U übersteigt in den meisten Fällen die Kräfte der Analyse in ih- rem gegenwärtigen Zustande. Der einfachste Fall, wo sie in unsrer Gewalt ist, ist der einer ganzen Kugelfläche; wir wollen jedoch sofort den allgemeinern behandeln, wo die Fläche von der Kugelfläche sehr wenig abweicht, und Gröſsen von höhe- rer Ordnung, als die Abweichung selbst, vernachlässigt werden dürfen. Es sei R der Halbmesser der Kugel, r die Entfernung je-

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 46. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/51>, abgerufen am 22.12.2024.