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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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Es ist nun nach dem im 31 Artikel bewiesenen constant
V0 in der ganzen Fläche; V' -- e U in der Fläche, so weit
sie bei der zweiten Vertheilung belegt ist, und daher in dem-
selben Stücke der Fläche auch v -- U, weil v = [Formel 1] .

Ob in der zweiten Vertheilung die ganze Fläche belegt
ist, oder ob ein grösseres oder kleineres Stück unbelegt bleibt,
wird von dem Coefficienten e abhangen. Da die zweite Ver-
theilung in die erste übergeht, wenn e = 0 wird, so wird all-
gemein zu reden das für einen bestimmten Werth von e unbe-
legt gebliebene Stück der Fläche sich verengern, wenn e ab-
nimmt, und sich schon ganz füllen, ehe e den Werth 0 er-
reicht hat. In singulären Fällen aber kann es sich auch so
verhalten, dass immer ein Stück unbelegt bleibt, so lange e von
0 verschieden ist und nicht das entgegengesetzte Zeichen an-
nimmt. Für unsern Zweck ist es zureichend, e unendlich klein
anzunehmen, wo sich leicht nachweisen lässt, dass jedenfalls
kein endliches Flächenstück unbelegt bleiben kann. Denn im
entgegengesetzten Falle würde nach der Schlussbemerkung des
Art. 32 das Integral integral V' m' d s um einen endlichen Unterschied
grösser sein müssen als integral V0 m0 d s: wird dieser Unterschied mit
e bezeichnet, so ist der Unterschied der beiden Integrale
integral(V' -- 2eU) m' d s -- integral(V0 -- 2eU) m0 d s = e -- 2eintegralU(m' -- m0) d s
welcher für ein unendlichkleines e einen positiven Werth be-
hält, im Widerspruch mit der Voraussetzung, dass integral(V -- 2eU)m d s
in der zweiten Vertheilung seinen Minimumwerth hat.

Man schliesst hieraus, dass wenn man in der dritteu Ver-
theilung für m den Grenzwerth von [Formel 2] , bei unendli-
cher Abnahme von e, annimmt, v -- U in der ganzen Fläche
einen constanten Werth hat.

Bilden wir nun eine vierte Vertheilung, wobei m = m0 + m
gesetzt wird, die ganze Masse also = M bleibt, so wird das
daraus entspringende Potential = V0 + v sein, mithin in
der ganzen Fläche die Grösse U um die constante Differenz
V0 + v -- U übertreffen, wodurch also der oben ausgesprochene
Lehrsatz erwiesen ist.


Es ist nun nach dem im 31 Artikel bewiesenen constant
V0 in der ganzen Fläche; V' — ε U in der Fläche, so weit
sie bei der zweiten Vertheilung belegt ist, und daher in dem-
selben Stücke der Fläche auch v — U, weil v = [Formel 1] .

Ob in der zweiten Vertheilung die ganze Fläche belegt
ist, oder ob ein gröſseres oder kleineres Stück unbelegt bleibt,
wird von dem Coefficienten ε abhangen. Da die zweite Ver-
theilung in die erste übergeht, wenn ε = 0 wird, so wird all-
gemein zu reden das für einen bestimmten Werth von ε unbe-
legt gebliebene Stück der Fläche sich verengern, wenn ε ab-
nimmt, und sich schon ganz füllen, ehe ε den Werth 0 er-
reicht hat. In singulären Fällen aber kann es sich auch so
verhalten, daſs immer ein Stück unbelegt bleibt, so lange ε von
0 verschieden ist und nicht das entgegengesetzte Zeichen an-
nimmt. Für unsern Zweck ist es zureichend, ε unendlich klein
anzunehmen, wo sich leicht nachweisen läſst, daſs jedenfalls
kein endliches Flächenstück unbelegt bleiben kann. Denn im
entgegengesetzten Falle würde nach der Schluſsbemerkung des
Art. 32 das Integral ∫ V' m' d s um einen endlichen Unterschied
gröſser sein müssen als ∫ V0 m0 d s: wird dieser Unterschied mit
e bezeichnet, so ist der Unterschied der beiden Integrale
∫(V' — 2εU) m' d s — ∫(V0 — 2εU) m0 d s = e — 2ε∫U(m' — m0) d s
welcher für ein unendlichkleines ε einen positiven Werth be-
hält, im Widerspruch mit der Voraussetzung, daſs ∫(V — 2εU)m d s
in der zweiten Vertheilung seinen Minimumwerth hat.

Man schlieſst hieraus, daſs wenn man in der dritteu Ver-
theilung für μ den Grenzwerth von [Formel 2] , bei unendli-
cher Abnahme von ε, annimmt, v — U in der ganzen Fläche
einen constanten Werth hat.

Bilden wir nun eine vierte Vertheilung, wobei m = m0 + μ
gesetzt wird, die ganze Masse also = M bleibt, so wird das
daraus entspringende Potential = V0 + v sein, mithin in
der ganzen Fläche die Gröſse U um die constante Differenz
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Lehrsatz erwiesen ist.


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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 45. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/50>, abgerufen am 25.04.2024.