Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und [Formel 1]
gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich
ändernde Werthe haben, so erhellet, dass das gegenseitige Ver-
halten zwischen X0 -- X' und [Formel 2] , d. i. zwischen
X und [Formel 3] ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und [Formel 4] ,
woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze
von selbst folgen.

15.

Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den
Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie-
genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk-
recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich-
nen wir mit ps den Winkel zwischen der Normale auf das
unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe,
so ist cos ps . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und
c; und setzen wir sqrt (bb + cc) = r, b = r cos th, c = r sin th,
so wird r dr . d th ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor-
stellen, und das entsprechende Flächenelement ds [Formel 5]
sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h r d r . d th
sein, wenn wir zur Abkürzung h für [Formel 6] schreiben.

Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von
X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten
Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere,
oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über-
geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die
ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei-
nen, den Punkt P einschliessenden Theil, da der Beitrag des
übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach
der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, r nur von 0 bis
zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe r' auszudehnen, und
vorauszusetzen, dass in der so begrenzten Fläche h und [Formel 7] sich

der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und [Formel 1]
gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich
ändernde Werthe haben, so erhellet, daſs das gegenseitige Ver-
halten zwischen X0 — X' und [Formel 2] , d. i. zwischen
X und [Formel 3] ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und [Formel 4] ,
woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze
von selbst folgen.

15.

Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den
Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie-
genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk-
recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich-
nen wir mit ψ den Winkel zwischen der Normale auf das
unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe,
so ist cos ψ . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und
c; und setzen wir √ (bb + cc) = ρ, b = ρ cos θ, c = ρ sin θ,
so wird ρ dρ . d θ ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor-
stellen, und das entsprechende Flächenelement ds [Formel 5]
sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h ρ d ρ . d θ
sein, wenn wir zur Abkürzung h für [Formel 6] schreiben.

Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von
X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten
Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere,
oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über-
geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die
ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei-
nen, den Punkt P einschlieſsenden Theil, da der Beitrag des
übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach
der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, ρ nur von 0 bis
zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe ρ' auszudehnen, und
vorauszusetzen, daſs in der so begrenzten Fläche h und [Formel 7] sich

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <p><pb facs="#f0026" n="21"/>
der Kugel innerhalb <hi rendition="#i">A</hi> liegender Punkt ist, <hi rendition="#i">X</hi>' und <formula/><lb/>
gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich<lb/>
ändernde Werthe haben, so erhellet, da&#x017F;s das gegenseitige Ver-<lb/>
halten zwischen <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">X</hi>' und <formula/>, d. i. zwischen<lb/><hi rendition="#i">X</hi> und <formula/> ganz dasselbe ist, wie zwischen <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi> und <formula/>,<lb/>
woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze<lb/>
von selbst folgen.</p>
      </div><lb/>
      <div n="1">
        <head>15.</head><lb/>
        <p>Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den<lb/>
Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie-<lb/>
genden Punkt <hi rendition="#i">P</hi> zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk-<lb/>
recht gegen die Berührungsebene in <hi rendition="#i">P</hi> zu legen. Bezeich-<lb/>
nen wir mit <hi rendition="#i">&#x03C8;</hi> den Winkel zwischen der Normale auf das<lb/>
unbestimmte Flächenelement d<hi rendition="#i">s</hi> und der ersten Coordinatenaxe,<lb/>
so ist cos <hi rendition="#i">&#x03C8;</hi> . d<hi rendition="#i">s</hi> die Projection von d<hi rendition="#i">s</hi> auf die Ebene der <hi rendition="#i">b</hi> und<lb/><hi rendition="#i">c</hi>; und setzen wir &#x221A; (<hi rendition="#i">bb</hi> + <hi rendition="#i">cc</hi>) = <hi rendition="#i">&#x03C1;, b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03C1;</hi> cos <hi rendition="#i">&#x03B8;, c</hi> = <hi rendition="#i">&#x03C1;</hi> sin <hi rendition="#i">&#x03B8;</hi>,<lb/>
so wird <hi rendition="#i">&#x03C1;</hi> d<hi rendition="#i">&#x03C1;</hi> . d <hi rendition="#i">&#x03B8;</hi> ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor-<lb/>
stellen, und das entsprechende Flächenelement d<hi rendition="#i">s</hi> <formula/><lb/>
sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = <hi rendition="#i">h &#x03C1;</hi> d <hi rendition="#i">&#x03C1;</hi> . d <hi rendition="#i">&#x03B8;</hi><lb/>
sein, wenn wir zur Abkürzung <hi rendition="#i">h</hi> für <formula/> schreiben.</p><lb/>
        <p>Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von<lb/><hi rendition="#i">X</hi> sich sprungsweise ändert, indem der Punkt <hi rendition="#i">O</hi> in der ersten<lb/>
Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere,<lb/>
oder <hi rendition="#i">x</hi> aus einem negativen Werthe in einen positiven über-<lb/>
geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die<lb/>
ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei-<lb/>
nen, den Punkt <hi rendition="#i">P</hi> einschlie&#x017F;senden Theil, da der Beitrag des<lb/>
übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von <hi rendition="#i">X</hi> sich nach<lb/>
der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, <hi rendition="#i">&#x03C1;</hi> nur von 0 bis<lb/>
zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe <hi rendition="#i">&#x03C1;</hi>' auszudehnen, und<lb/>
vorauszusetzen, da&#x017F;s in der so begrenzten Fläche <hi rendition="#i">h</hi> und <formula/> sich<lb/></p>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[21/0026] der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und [FORMEL] gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe haben, so erhellet, daſs das gegenseitige Ver- halten zwischen X0 — X' und [FORMEL], d. i. zwischen X und [FORMEL] ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und [FORMEL], woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze von selbst folgen. 15. Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie- genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk- recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich- nen wir mit ψ den Winkel zwischen der Normale auf das unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe, so ist cos ψ . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und c; und setzen wir √ (bb + cc) = ρ, b = ρ cos θ, c = ρ sin θ, so wird ρ dρ . d θ ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor- stellen, und das entsprechende Flächenelement ds [FORMEL] sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h ρ d ρ . d θ sein, wenn wir zur Abkürzung h für [FORMEL] schreiben. Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere, oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über- geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei- nen, den Punkt P einschlieſsenden Theil, da der Beitrag des übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, ρ nur von 0 bis zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe ρ' auszudehnen, und vorauszusetzen, daſs in der so begrenzten Fläche h und [FORMEL] sich

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/26
Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 21. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/26>, abgerufen am 22.02.2025.