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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant.
Es sind also V, X die Werthe der Integrale
[Formel 1] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In-
tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B,
und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-
streckt werden, so wird V = V0 -- V', X = X0 -- X'.
Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen,
den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der
Kugel legen, und sqrt (xx + yy + zz) oder den Abstand des
Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = r setzen.

Es ist nun bekannt, dass V0 = 4pkR wird, wenn O in-
nerhalb der Kugel, hingegen [Formel 2] , wenn O ausser-
halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-
sammen. Der Differentialquotient [Formel 3] wird daher innerhalb
der Kugel = 0, ausserhalb [Formel 4] ; auf der Ku-
gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je
nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe
nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-
henden Artikels entspricht.

Der Ausdruck für X0, innerhalb und ausserhalb der Ku-
gel mit [Formel 5] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-
res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,
den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe
liegenden Elemente der Fläche a -- x ein unendlich kleines
von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0,
z = 0, x = +/- R, für welchen Fall die Integration X0 =
= 2pk gibt, also mit keinem der Werthe von [Formel 6] überein-
stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-
bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.

Erwägt man nun, dass wenn O ein auf der Oberfläche

fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant.
Es sind also V, X die Werthe der Integrale
[Formel 1] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In-
tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B,
und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er-
streckt werden, so wird V = V0 — V', X = X0 — X'.
Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen,
den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der
Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des
Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen.

Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in-
nerhalb der Kugel, hingegen [Formel 2] , wenn O auſser-
halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu-
sammen. Der Differentialquotient [Formel 3] wird daher innerhalb
der Kugel = 0, auſserhalb [Formel 4] ; auf der Ku-
gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je
nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe
nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge-
henden Artikels entspricht.

Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku-
gel mit [Formel 5] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee-
res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist,
den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe
liegenden Elemente der Fläche a — x ein unendlich kleines
von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0,
z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 =
= 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von [Formel 6] überein-
stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen-
bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel.

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[20/0025] fläche, und die Dichtigkeit darin gleichförmig oder k constant. Es sind also V, X die Werthe der Integrale [FORMEL] durch A ausgedehnt; bezeichnen wir mit V', X' dieselben In- tegrale, wenn sie durch den übrigen Theil der Kugelfläche B, und mit V0, X0, wenn sie durch die ganze Kugelfläche er- streckt werden, so wird V = V0 — V', X = X0 — X'. Wir wollen noch den Halbmesser der Kugel mit R bezeichnen, den Anfangspunkt der Coordinaten in den Mittelpunkt der Kugel legen, und √ (xx + yy + zz) oder den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte der Kugel = ρ setzen. Es ist nun bekannt, daſs V0 = 4πkR wird, wenn O in- nerhalb der Kugel, hingegen [FORMEL], wenn O auſser- halb liegt; in der Kugelfläche selbst fallen beide Werthe zu- sammen. Der Differentialquotient [FORMEL] wird daher innerhalb der Kugel = 0, auſserhalb [FORMEL]; auf der Ku- gelfläche selbst aber werden beide Werthe zugleich gelten, je nach dem Zeichen von dx: gleich sind diese beiden Werthe nur dann, wenn x = 0 ist, was dem Falle II des vorherge- henden Artikels entspricht. Der Ausdruck für X0, innerhalb und auſserhalb der Ku- gel mit [FORMEL] gleichbedeutend, wird auf der Oberfläche ein lee- res Zeichen, insofern eine wahre Integration unstatthaft ist, den einzigen Fall ausgenommen, wenn für die unendlich nahe liegenden Elemente der Fläche a — x ein unendlich kleines von einer höhern Ordnung wird als r, nemlich wenn y = 0, z = 0, x = ± R, für welchen Fall die Integration X0 = = 2πk gibt, also mit keinem der Werthe von [FORMEL] überein- stimmend, sondern vielmehr mit dem Mittel von beiden: offen- bar gehört übrigens dieser Fall zu I im vorhergehenden Artikel. Erwägt man nun, daſs wenn O ein auf der Oberfläche

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/25>, abgerufen am 26.11.2024.