Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be-
stimmten Werth von θ, den Werth des Integrals [Formel 1] ,
von ρ = 0 bis ρ = ρ' ausgedehnt, = Q, so wird X = ∫Qdθ,
wo die Integration von θ = 0, bis θ = 2π zu erstrecken ist.

Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0,
für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich
kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl
= 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich-
nen diese drei Werthe von X mit X⁰, X', X'', und die ent-
sprechenden Werthe von Q mit Q⁰, Q', Q''.

Da r = √ ((a — x)² + ρρ), so erhält man, indem man
θ als constant betrachtet,
[Formel 2] und folglich Q =
[Formel 3] .
wo die beiden Integrationen von ρ = 0 bis ρ = ρ' auszudeh-
nen, und die Werthe von h, a, r für ρ = ρ' mit h', a', r'
bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von
[Formel 4] für ρ = 0 anzunehmen, welcher wenn man die
Dichtigkeit in P mit k⁰ bezeichnet, = — k⁰ wird für ein po-
sitives x, und = + k⁰ für ein negatives, indem für ρ = 0
offenbar a = 0, ψ = 0, h = k⁰, x = ± r wird. Für den
Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth
von [Formel 5] bei unendlich abnehmendem ρ anzunehmen, welcher
= 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord-
nung wird als r.

Der Werth des Integrals [Formel 6] . dρ bleibt bis auf
einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0,
oder unendlich klein = ± ε setzen. Zerlegt man nemlich
jenes Integral in