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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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Element ds entsprechen. Durch Integration über sämmtliche
ds erhält man also
[Formel 1] wo das Integral über die ganze Oberfläche erstreckt werden
muss, oder M = 4pk0 + N. Es wird folglich
[Formel 2] .

II. Für den Fall, wo O ausserhalb t liegt, hat man nur
diejenigen ds in Betracht zu ziehen, für welche die durch O
und einen Punkt von ds gelegte gerade Linie den Raum t wirk-
lich trifft; die Anzahl der Punkte O', O'', O''' u. s. f. wird hier
immer gerade sein, und die Winkel ps', ps'', ps''' u. s. f. abwech-
selnd stumpf und spitz, also ds' . cos ps' = -- r'r'ds, ds'' . cos ps''
= + r''r'' ds, ds''' cos ps''' = -- r'''r'''ds u. s. f. Da nun hier
die Integration [Formel 3] , dann von
r = r''' bis r = rIV u. s. f. ausgeführt werden muss, so ergibt
sich
[Formel 4] und nach der zweiten Integration durch alle in Betracht kom-
menden ds,
[Formel 5] folglich, wie ohnehin bekannt ist,
[Formel 6] .

11.

Obgleich in unsrer Beweisführung angenommen ist, dass
die Dichtigkeit sich in dem ganzen Raum t nach der Stetigkeit
ändere, so ist doch zur Gültigkeit unsers Resultats diese Be-
dingung nicht nothwendig, sondern es wird bloss erfordert,

Element dσ entsprechen. Durch Integration über sämmtliche
dσ erhält man also
[Formel 1] wo das Integral über die ganze Oberfläche erstreckt werden
muſs, oder M = 4πk0 + N. Es wird folglich
[Formel 2] .

II. Für den Fall, wo O auſserhalb t liegt, hat man nur
diejenigen dσ in Betracht zu ziehen, für welche die durch O
und einen Punkt von dσ gelegte gerade Linie den Raum t wirk-
lich trifft; die Anzahl der Punkte O', O'', O''' u. s. f. wird hier
immer gerade sein, und die Winkel ψ', ψ'', ψ''' u. s. f. abwech-
selnd stumpf und spitz, also ds' . cos ψ' = — r'r'dσ, ds'' . cos ψ''
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die Integration [Formel 3] , dann von
r = r''' bis r = rIV u. s. f. ausgeführt werden muſs, so ergibt
sich
[Formel 4] und nach der zweiten Integration durch alle in Betracht kom-
menden dσ,
[Formel 5] folglich, wie ohnehin bekannt ist,
[Formel 6] .

11.

Obgleich in unsrer Beweisführung angenommen ist, daſs
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[16/0021] Element dσ entsprechen. Durch Integration über sämmtliche dσ erhält man also [FORMEL] wo das Integral über die ganze Oberfläche erstreckt werden muſs, oder M = 4πk0 + N. Es wird folglich [FORMEL]. II. Für den Fall, wo O auſserhalb t liegt, hat man nur diejenigen dσ in Betracht zu ziehen, für welche die durch O und einen Punkt von dσ gelegte gerade Linie den Raum t wirk- lich trifft; die Anzahl der Punkte O', O'', O''' u. s. f. wird hier immer gerade sein, und die Winkel ψ', ψ'', ψ''' u. s. f. abwech- selnd stumpf und spitz, also ds' . cos ψ' = — r'r'dσ, ds'' . cos ψ'' = + r''r'' dσ, ds''' cos ψ''' = — r'''r'''dσ u. s. f. Da nun hier die Integration [FORMEL], dann von r = r''' bis r = rIV u. s. f. ausgeführt werden muſs, so ergibt sich [FORMEL] und nach der zweiten Integration durch alle in Betracht kom- menden dσ, [FORMEL] folglich, wie ohnehin bekannt ist, [FORMEL]. 11. Obgleich in unsrer Beweisführung angenommen ist, daſs die Dichtigkeit sich in dem ganzen Raum t nach der Stetigkeit ändere, so ist doch zur Gültigkeit unsers Resultats diese Be- dingung nicht nothwendig, sondern es wird bloſs erfordert,

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 16. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/21>, abgerufen am 22.02.2025.