Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

[Formel 1] ,
also
[Formel 2]

Es sei nun
[Formel 3] und es werde zunächst angenommen, dass die Zahlen a₁, a₂ . . . . sämmtlich reell
und so geordnet seien, dass
[Formel 4]

Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen a_μ, a_{μ + 1} enthalten ist, wo μ
irgend eine der Zahlen 1, 2, …, 2n bedeutet, dasselbe Zeichen wie (—1)^μ—1, so
dass man setzen kann
[Formel 5] ,
wo √[(—1)^μ—1 R (x)] den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven
Grösse (— 1)^μ—1 R(x) bezeichnen soll. Liegt x zwischen — ∞ und a₁, so hat man
[Formel 6] ,
und wenn x zwischen a_2n+1 und + ∞ enthalten ist
[Formel 7] Um nun einem Integral wie [Formel 8] eine ganz bestimmte Bedeutung zu ge-
ben, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von den beiden
Werthen, welche √R (x) hat, immer derjenige in Anwendung kommen soll, den man
erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das obere Zeichen nimmt.

Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = a_μ, b = a_ν und nehme
zunächst an, dass ν > μ + 1 aber < 2n + 1 sei, so darf man a = a_{μ+ 1}, β = a_{ν + 1}
nehmen, weil in diesem Fall die Differenz x—y innerhalb der Grenzen der Integration
nicht = 0 wird. Die linke Seite wird alsdann = 0, und man erhält demnach
3. [Formel 9]

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