Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.
[Formel 1]
, Es sei nun Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen am, am + 1 enthalten ist, wo m Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = am, b = an und nehme 1*
[Formel 1]
, Es sei nun Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen aμ, aμ + 1 enthalten ist, wo μ Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = aμ, b = aν und nehme 1*
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[FORMEL],
also
[FORMEL]
Es sei nun
[FORMEL] und es werde zunächst angenommen, dass die Zahlen a1, a2 . . . . sämmtlich reell
und so geordnet seien, dass
[FORMEL]
Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen aμ, aμ + 1 enthalten ist, wo μ
irgend eine der Zahlen 1, 2, …, 2n bedeutet, dasselbe Zeichen wie (—1)μ—1, so
dass man setzen kann
[FORMEL],
wo √[(—1)μ—1 R (x)] den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven
Grösse (— 1)μ—1 R(x) bezeichnen soll. Liegt x zwischen — ∞ und a1, so hat man
[FORMEL],
und wenn x zwischen a2n+1 und + ∞ enthalten ist
[FORMEL] Um nun einem Integral wie [FORMEL] eine ganz bestimmte Bedeutung zu ge-
ben, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von den beiden
Werthen, welche √R (x) hat, immer derjenige in Anwendung kommen soll, den man
erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das obere Zeichen nimmt.
Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = aμ, b = aν und nehme
zunächst an, dass ν > μ + 1 aber < 2n + 1 sei, so darf man a = aμ+ 1, β = aν + 1
nehmen, weil in diesem Fall die Differenz x—y innerhalb der Grenzen der Integration
nicht = 0 wird. Die linke Seite wird alsdann = 0, und man erhält demnach
3. [FORMEL]
1*
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Zitationshilfe: | Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 5. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/10>, abgerufen am 08.07.2024. |