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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Schnekken-Lineen.
Scheibe/ und aus der Verhältniß der ganzen kleinen Scheibe gegen dem Scheibenstukk/ laut der 1. Anmer-
kung des IV. Lehrsatzes im II. Buch von der Kugel und Rund-Säule: D.i. aus der Verhältniß der
Vierung ba gegen der Vierung bg (Krafft des 2ten im XII.) und aus der Verhältniß des ganzen Umb-
kreises cfgc gegen dem Kreißbogen cfg, vermög des 33sten im VI. B. Wie sich aber verhält der ganze Umb-
kreiß cfgc gegen dem Bogen cfg, so verhält sich die Lini ba gegen der Lini bc oder bg, laut obigen XIV. Lehr-
satzes. So ist derowegen die Verhältniß der ersten Scheibe gegen dem Stükk der kleinen Scheibe/ d.i. die Ver-
hältniß der ganzen Schnekkenfläche gegen dem abgeschnittenen Stukk bhcb, zusammen gesetzet aus der Ver-
hältniß der Vierung ba gegen der Vierung bg und aus der Verhältniß der Lini ba gegen der Lini bg. Aus eben
diesen beyden Verhältnissen aber ist zusammengesetzet die Verhältniß des Würfels von ba gegen dem Würfel
von bg, vermög des 20sten im VI. und 33sten im XI. B. So verhält sich demnach die ganze Schnekken-
fläche gegen dem Stükk bhcb, wie der Würfel von ba gegen dem Würfel von bg oder bc. Welches hat sollen
bewiesen werden.

Schließlichen muß noch etwas weniges von der Nutzbarkeit dieser so tiessinnigen Betrachtungen erinnert
werden. Oben haben wir schon an zweyen unterschiedlichen Orten bemerket/ daß/ wann nur die Beschreibung
der Schnekken-Lini ihre vollkommene Kunstrichtigkeit hätte/ alsdann die so lang gesuchte und unter die unauf-
lößliche Aufgaben gerechnete Kreiß-Vierung/ vermög obigen XVIII. Lehrsatzes vollkommen würde gefunden
seyn. Es könnten aber neben dieser noch viel andere/ auch von Alters her für unauf lößlich gehaltene/ Aufga-
ben/ von Einteihlung jedes Winkels in die begehrte Theile/ von Beschreibung jedes beliebigen Viel-
ekkes innerhalb eines gegebenen Kreisses/ von Erfindung/ zweyer mittlern gleichverhaltenden/ etc.
vermittelst bißher besehener Erfindungen kunstrichtig aufgelöset werden.

Dann das erste belangend/ wie man jeden gegebenen Winkel in 3, 5, 7, etc. Teihle teihlen/ oder von dem-
selben jeden beliebigen Teihl abschneiden solle/ und vermittelst dieser Betrachtungen könnte/ wird aus nachfol-
genden Exempel zuerschen seyn: Es sey gegeben der Winkel dba oder abl in der vorhergehenden Figur und be-
gehrt/ daß man von demselben den neundten Teihl abschneiden solle. Wann man nun ld, den Uberrest der Lini
ba über bl in 9 Teihl zerschneidet und einen davon zu bl setzet/ oder die übrige 8. welche zum Exempel ga sind/
von ba abziehet; nachmals aus b in der Weite bg den Kreiß gcf beschreibet; und endlich aus b in c. wo sich
dieser Kreiß und die Schnekken-Lini (welche vorhergezogen zu seyn gesetzet wird) durchschneiden/ der Lini bc
ziehet/ wird lbc der begehrte 9te Teihl des Winkels dba seyn.

Dann/ wie sich verhält die Lini ab gegen bl, so verhalten sich 4 gerade Winkel gegen denen Winkeln abc,
ebo, obd zusammen/ laut des obigen XIV. Lehrsatzes und des 33. sten im VI. und wiederumb/ wie sich
verhält bl gegen bc, so verhalten sich erstbesagte drey Winkel/ abe, ebo, obd, gegen denen drey Winkeln
abe, ebo, obc. Derowegen wie sich dorten verhält in der ersten Reihe der Rest des ersten ab über das andere/
bl (nehmlich ld) gegen dem Rest des ersten/ ab, über das dritte bc (nehmlich ga) so verhält sich hier in der an-
dern Reihe der Rest des ersten/ 4. gerader Winkel abe, ebo, obd, (nehmlich der Winkel abd) gegen dem
Rest des ersten/ als wiederumb 4 gerader Winkel/ über das andere/ als die drey Winkel abe, ebo, obc (nehm-
lich gegen dem Winkel abc,) vermög folgenden NB. Nun aber ist ld, 9. und ga, 8. laut obiger Vorbe-
reitung. Derowegen hat auch der Winkel dba 9 solcher Teihl deren abc 8 hat/ und ist also dbc oder lbc
der 9te Theil des Winkels dba; Welches hat sollen bewiesen werden.

NB. Wann in zweyen Reihen
a+b, a, a--b
ea+eb, ea, ea--eb,
die ersten gegen den andern/ und dann die andern gegen denen dritten/ einerley
Verhältnis haben; so verhält sich auch der Rest des ersten über das andere/ ge-
gen dem Rest des ersten über das dritte in einer Reihe/ wie der Rest des ersten
über das andere gegen dem Rest des ersten über das dritte/ in der andern Reihe;
nehmlich/
wie b gegen 2b, also eb gegen 2eb.

Wann nun die Teihlung eines jeden Winkels also richtig ist/ so kan das andere/ nehmlich die Beschrei-
bung jeglichen beliebigen Vielekkes innerhalb eines Kreisses/ leichtlich vollzogen werden; sintemal dazu mehr
nicht von nöthen ist als ersterwiesene Winkel-Theilung. Dann wann ich zum Exempel ein Siebenekk inner-
halb eines Kreisses beschreiben solle/ so weiß ich daß ein solches Vielekk/ wann man aus allen Ekken Lineen in den
Mittelpunct des Kreisses ziehet/ in 7. Dreyekke zerteihlet werde/ deren Winkel bey dem Mittelpunct alle einander
gleich sind/ und zusammen 4 gerade Winkel machen; also daß jeder derselben ist eines geraden Winkels. Wann
ich nun/ vorgehenden Bericht nach in dem gegebenen Kreiß von einem geraden Winkel abschneide/ ist des Vor-
habens Grund geleget/ und das übrige leichtlich zu vollziehen.

Gleicher weise/ weil/ der Gelehrten Urteihl nach/ zwey mittlere gleichverhaltende leichtlich zufinden sind/
wann nur zuvor eine kunstrichtige weise/ jeden Winkel in drey Teihl zu teihlen/ gegeben ist; so wird jeder Ver-
ständiger leichtlich sehen/ welcher gestalt auch die Auflösung dieser Aufgab vermittelst bißheriger Betrach-
tung könne vollführet werden. Wir versparen deswegen weiteren Bericht hiervon auf andere
Gelegenheit/ und machen indessen/ mit GOtt auch das
Ende des Buchs Archimedis von denen Schnekken-Lineen.

Schnekken-Lineen.
Scheibe/ und aus der Verhaͤltniß der ganzen kleinen Scheibe gegen dem Scheibenſtukk/ laut der 1. Anmer-
kung des IV. Lehrſatzes im II. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule: D.i. aus der Verhaͤltniß der
Vierung ba gegen der Vierung bg (Krafft des 2ten im XII.) und aus der Verhaͤltniß des ganzen Umb-
kreiſes cfgc gegen dem Kreißbogen cfg, vermoͤg des 33ſten im VI. B. Wie ſich aber verhaͤlt der ganze Umb-
kreiß cfgc gegen dem Bogen cfg, ſo verhaͤlt ſich die Lini ba gegen der Lini bc oder bg, laut obigen XIV. Lehr-
ſatzes. So iſt derowegen die Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen dem Stuͤkk der kleinen Scheibe/ d.i. die Ver-
haͤltniß der ganzen Schnekkenflaͤche gegen dem abgeſchnittenen Stukk bhcb, zuſammen geſetzet aus der Ver-
haͤltniß der Vierung ba gegen der Vierung bg und aus der Verhaͤltniß der Lini ba gegen der Lini bg. Aus eben
dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammengeſetzet die Verhaͤltniß des Wuͤrfels von ba gegen dem Wuͤrfel
von bg, vermoͤg des 20ſten im VI. und 33ſten im XI. B. So verhaͤlt ſich demnach die ganze Schnekken-
flaͤche gegen dem Stuͤkk bhcb, wie der Wuͤrfel von ba gegen dem Wuͤrfel von bg oder bc. Welches hat ſollen
bewieſen werden.

Schließlichen muß noch etwas weniges von der Nutzbarkeit dieſer ſo tieſſinnigen Betrachtungen erinnert
werden. Oben haben wir ſchon an zweyen unterſchiedlichen Orten bemerket/ daß/ wann nur die Beſchreibung
der Schnekken-Lini ihre vollkommene Kunſtrichtigkeit haͤtte/ alsdann die ſo lang geſuchte und unter die unauf-
loͤßliche Aufgaben gerechnete Kreiß-Vierung/ vermoͤg obigen XVIII. Lehrſatzes vollkommen wuͤrde gefunden
ſeyn. Es koͤnnten aber neben dieſer noch viel andere/ auch von Alters her fuͤr unauf loͤßlich gehaltene/ Aufga-
ben/ von Einteihlung jedes Winkels in die begehrte Theile/ von Beſchreibung jedes beliebigen Viel-
ekkes innerhalb eines gegebenen Kreiſſes/ von Erfindung/ zweyer mittlern gleichverhaltenden/ ꝛc.
vermittelſt bißher beſehener Erfindungen kunſtrichtig aufgeloͤſet werden.

Dann das erſte belangend/ wie man jeden gegebenen Winkel in 3, 5, 7, ꝛc. Teihle teihlen/ oder von dem-
ſelben jeden beliebigen Teihl abſchneiden ſolle/ und vermittelſt dieſer Betrachtungen koͤnnte/ wird aus nachfol-
genden Exempel zuerſchen ſeyn: Es ſey gegeben der Winkel dba oder abl in der vorhergehenden Figur und be-
gehrt/ daß man von demſelben den neundten Teihl abſchneiden ſolle. Wann man nun ld, den Uberꝛeſt der Lini
ba uͤber bl in 9 Teihl zerſchneidet und einen davon zu bl ſetzet/ oder die uͤbrige 8. welche zum Exempel ga ſind/
von ba abziehet; nachmals aus b in der Weite bg den Kreiß gcf beſchreibet; und endlich aus b in c. wo ſich
dieſer Kreiß und die Schnekken-Lini (welche vorhergezogen zu ſeyn geſetzet wird) durchſchneiden/ der Lini bc
ziehet/ wird lbc der begehrte 9te Teihl des Winkels dba ſeyn.

Dann/ wie ſich verhaͤlt die Lini ab gegen bl, ſo verhalten ſich 4 gerade Winkel gegen denen Winkeln abc,
ebo, obd zuſammen/ laut des obigen XIV. Lehrſatzes und des 33. ſten im VI. und wiederumb/ wie ſich
verhaͤlt bl gegen bc, ſo verhalten ſich erſtbeſagte drey Winkel/ abe, ebo, obd, gegen denen drey Winkeln
abe, ebo, obc. Derowegen wie ſich dorten verhaͤlt in der erſten Reihe der Reſt des erſten ab uͤber das andere/
bl (nehmlich ld) gegen dem Reſt des erſten/ ab, uͤber das dritte bc (nehmlich ga) ſo verhaͤlt ſich hier in der an-
dern Reihe der Reſt des erſten/ 4. gerader Winkel abe, ebo, obd, (nehmlich der Winkel abd) gegen dem
Reſt des erſten/ als wiederumb 4 gerader Winkel/ uͤber das andere/ als die drey Winkel abe, ebo, obc (nehm-
lich gegen dem Winkel abc,) vermoͤg folgenden NB. Nun aber iſt ld, 9. und ga, 8. laut obiger Vorbe-
reitung. Derowegen hat auch der Winkel dba 9 ſolcher Teihl deren abc 8 hat/ und iſt alſo dbc oder lbc
der 9te Theil des Winkels dba; Welches hat ſollen bewieſen werden.

NB. Wann in zweyen Reihen
a+b, a, a—b
ea+eb, ea, ea—eb,
die erſten gegen den andern/ und dann die andern gegen denen dritten/ einerley
Verhaͤltnis haben; ſo verhaͤlt ſich auch der Reſt des erſten uͤber das andere/ ge-
gen dem Reſt des erſten uͤber das dritte in einer Reihe/ wie der Reſt des erſten
uͤber das andere gegen dem Reſt des erſten uͤber das dritte/ in der andern Reihe;
nehmlich/
wie b gegen 2b, alſo eb gegen 2eb.

Wann nun die Teihlung eines jeden Winkels alſo richtig iſt/ ſo kan das andere/ nehmlich die Beſchrei-
bung jeglichen beliebigen Vielekkes innerhalb eines Kreiſſes/ leichtlich vollzogen werden; ſintemal dazu mehr
nicht von noͤthen iſt als erſterwieſene Winkel-Theilung. Dann wann ich zum Exempel ein Siebenekk inner-
halb eines Kreiſſes beſchreiben ſolle/ ſo weiß ich daß ein ſolches Vielekk/ wann man aus allen Ekken Lineen in den
Mittelpunct des Kreiſſes ziehet/ in 7. Dreyekke zerteihlet werde/ deren Winkel bey dem Mittelpunct alle einander
gleich ſind/ und zuſammen 4 gerade Winkel machen; alſo daß jeder derſelben iſt eines geraden Winkels. Wann
ich nun/ vorgehenden Bericht nach in dem gegebenen Kreiß von einem geraden Winkel abſchneide/ iſt des Vor-
habens Grund geleget/ und das uͤbrige leichtlich zu vollziehen.

Gleicher weiſe/ weil/ der Gelehrten Urteihl nach/ zwey mittlere gleichverhaltende leichtlich zufinden ſind/
wann nur zuvor eine kunſtrichtige weiſe/ jeden Winkel in drey Teihl zu teihlen/ gegeben iſt; ſo wird jeder Ver-
ſtaͤndiger leichtlich ſehen/ welcher geſtalt auch die Aufloͤſung dieſer Aufgab vermittelſt bißheriger Betrach-
tung koͤnne vollfuͤhret werden. Wir verſparen deswegen weiteren Bericht hiervon auf andere
Gelegenheit/ und machen indeſſen/ mit GOtt auch das
Ende des Buchs Archimedis von denen Schnekken-Lineen.

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[427/0455] Schnekken-Lineen. Scheibe/ und aus der Verhaͤltniß der ganzen kleinen Scheibe gegen dem Scheibenſtukk/ laut der 1. Anmer- kung des IV. Lehrſatzes im II. Buch von der Kugel und Rund-Saͤule: D.i. aus der Verhaͤltniß der Vierung ba gegen der Vierung bg (Krafft des 2ten im XII.) und aus der Verhaͤltniß des ganzen Umb- kreiſes cfgc gegen dem Kreißbogen cfg, vermoͤg des 33ſten im VI. B. Wie ſich aber verhaͤlt der ganze Umb- kreiß cfgc gegen dem Bogen cfg, ſo verhaͤlt ſich die Lini ba gegen der Lini bc oder bg, laut obigen XIV. Lehr- ſatzes. So iſt derowegen die Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen dem Stuͤkk der kleinen Scheibe/ d.i. die Ver- haͤltniß der ganzen Schnekkenflaͤche gegen dem abgeſchnittenen Stukk bhcb, zuſammen geſetzet aus der Ver- haͤltniß der Vierung ba gegen der Vierung bg und aus der Verhaͤltniß der Lini ba gegen der Lini bg. Aus eben dieſen beyden Verhaͤltniſſen aber iſt zuſammengeſetzet die Verhaͤltniß des Wuͤrfels von ba gegen dem Wuͤrfel von bg, vermoͤg des 20ſten im VI. und 33ſten im XI. B. So verhaͤlt ſich demnach die ganze Schnekken- flaͤche gegen dem Stuͤkk bhcb, wie der Wuͤrfel von ba gegen dem Wuͤrfel von bg oder bc. Welches hat ſollen bewieſen werden. Schließlichen muß noch etwas weniges von der Nutzbarkeit dieſer ſo tieſſinnigen Betrachtungen erinnert werden. Oben haben wir ſchon an zweyen unterſchiedlichen Orten bemerket/ daß/ wann nur die Beſchreibung der Schnekken-Lini ihre vollkommene Kunſtrichtigkeit haͤtte/ alsdann die ſo lang geſuchte und unter die unauf- loͤßliche Aufgaben gerechnete Kreiß-Vierung/ vermoͤg obigen XVIII. Lehrſatzes vollkommen wuͤrde gefunden ſeyn. Es koͤnnten aber neben dieſer noch viel andere/ auch von Alters her fuͤr unauf loͤßlich gehaltene/ Aufga- ben/ von Einteihlung jedes Winkels in die begehrte Theile/ von Beſchreibung jedes beliebigen Viel- ekkes innerhalb eines gegebenen Kreiſſes/ von Erfindung/ zweyer mittlern gleichverhaltenden/ ꝛc. vermittelſt bißher beſehener Erfindungen kunſtrichtig aufgeloͤſet werden. Dann das erſte belangend/ wie man jeden gegebenen Winkel in 3, 5, 7, ꝛc. Teihle teihlen/ oder von dem- ſelben jeden beliebigen Teihl abſchneiden ſolle/ und vermittelſt dieſer Betrachtungen koͤnnte/ wird aus nachfol- genden Exempel zuerſchen ſeyn: Es ſey gegeben der Winkel dba oder abl in der vorhergehenden Figur und be- gehrt/ daß man von demſelben den neundten Teihl abſchneiden ſolle. Wann man nun ld, den Uberꝛeſt der Lini ba uͤber bl in 9 Teihl zerſchneidet und einen davon zu bl ſetzet/ oder die uͤbrige 8. welche zum Exempel ga ſind/ von ba abziehet; nachmals aus b in der Weite bg den Kreiß gcf beſchreibet; und endlich aus b in c. wo ſich dieſer Kreiß und die Schnekken-Lini (welche vorhergezogen zu ſeyn geſetzet wird) durchſchneiden/ der Lini bc ziehet/ wird lbc der begehrte 9te Teihl des Winkels dba ſeyn. Dann/ wie ſich verhaͤlt die Lini ab gegen bl, ſo verhalten ſich 4 gerade Winkel gegen denen Winkeln abc, ebo, obd zuſammen/ laut des obigen XIV. Lehrſatzes und des 33. ſten im VI. und wiederumb/ wie ſich verhaͤlt bl gegen bc, ſo verhalten ſich erſtbeſagte drey Winkel/ abe, ebo, obd, gegen denen drey Winkeln abe, ebo, obc. Derowegen wie ſich dorten verhaͤlt in der erſten Reihe der Reſt des erſten ab uͤber das andere/ bl (nehmlich ld) gegen dem Reſt des erſten/ ab, uͤber das dritte bc (nehmlich ga) ſo verhaͤlt ſich hier in der an- dern Reihe der Reſt des erſten/ 4. gerader Winkel abe, ebo, obd, (nehmlich der Winkel abd) gegen dem Reſt des erſten/ als wiederumb 4 gerader Winkel/ uͤber das andere/ als die drey Winkel abe, ebo, obc (nehm- lich gegen dem Winkel abc,) vermoͤg folgenden NB. Nun aber iſt ld, 9. und ga, 8. laut obiger Vorbe- reitung. Derowegen hat auch der Winkel dba 9 ſolcher Teihl deren abc 8 hat/ und iſt alſo dbc oder lbc der 9te Theil des Winkels dba; Welches hat ſollen bewieſen werden. NB. Wann in zweyen Reihen a+b, a, a—b ea+eb, ea, ea—eb, die erſten gegen den andern/ und dann die andern gegen denen dritten/ einerley Verhaͤltnis haben; ſo verhaͤlt ſich auch der Reſt des erſten uͤber das andere/ ge- gen dem Reſt des erſten uͤber das dritte in einer Reihe/ wie der Reſt des erſten uͤber das andere gegen dem Reſt des erſten uͤber das dritte/ in der andern Reihe; nehmlich/ wie b gegen 2b, alſo eb gegen 2eb. Wann nun die Teihlung eines jeden Winkels alſo richtig iſt/ ſo kan das andere/ nehmlich die Beſchrei- bung jeglichen beliebigen Vielekkes innerhalb eines Kreiſſes/ leichtlich vollzogen werden; ſintemal dazu mehr nicht von noͤthen iſt als erſterwieſene Winkel-Theilung. Dann wann ich zum Exempel ein Siebenekk inner- halb eines Kreiſſes beſchreiben ſolle/ ſo weiß ich daß ein ſolches Vielekk/ wann man aus allen Ekken Lineen in den Mittelpunct des Kreiſſes ziehet/ in 7. Dreyekke zerteihlet werde/ deren Winkel bey dem Mittelpunct alle einander gleich ſind/ und zuſammen 4 gerade Winkel machen; alſo daß jeder derſelben iſt [FORMEL] eines geraden Winkels. Wann ich nun/ vorgehenden Bericht nach in dem gegebenen Kreiß von einem geraden Winkel [FORMEL] abſchneide/ iſt des Vor- habens Grund geleget/ und das uͤbrige leichtlich zu vollziehen. Gleicher weiſe/ weil/ der Gelehrten Urteihl nach/ zwey mittlere gleichverhaltende leichtlich zufinden ſind/ wann nur zuvor eine kunſtrichtige weiſe/ jeden Winkel in drey Teihl zu teihlen/ gegeben iſt; ſo wird jeder Ver- ſtaͤndiger leichtlich ſehen/ welcher geſtalt auch die Aufloͤſung dieſer Aufgab vermittelſt bißheriger Betrach- tung koͤnne vollfuͤhret werden. Wir verſparen deswegen weiteren Bericht hiervon auf andere Gelegenheit/ und machen indeſſen/ mit GOtt auch das Ende des Buchs Archimedis von denen Schnekken-Lineen.

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 427. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/455>, abgerufen am 22.11.2024.