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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen Kegel- und
Parabel ham, vermittelst zweyer Lineen bm, &c. und ho, &c. zwey Stükke abgeschnitten/
und aus dem Endpunct der einen Lini ho auf ihren Durchmesser die Lini he mit der andern
abschneidenden gleichlauffend gezogen/ etc.

Beweiß.

Vermög obangezogener II. Betrachtung in V. und ihrer Folgen/ ist ia gleich ab, und
verhält sich wie ia gegen im, also im gegen km. Nun ist/ wegen Gleichlauffung derer Li-
neen im und ho, wie auch he, bm, und aq, offenbar/ daß die Dreyekke ohe und mrq
einander ähnlich/ mrq aber und ari (wegen Gleichheit zweyer Seiten ai und qm, d.i. ab)
nach allen Winkeln und Seiten auch einander gleich seyen. Welchem nach wir folgenden
Schluß machen: Wie sich verhält ho gegen he, so verhält sich mr gegen rq oder ra, und
(nach dem 15den des V. B.) wie mi gegen aq, d.i. bm. Derowegen verhält sich auch
(Krafft des 20sten im VI.) die Vierung ho gegen der Vierung he, wie die Vierung im
(d.i. wegen gleicher ordentlicher Verhältnis derer Lineen ia, im, und km, und/ Krafft
des 17den im VI. das Rechtekk aus km in ia oder ab) gegen der Vierung bm, d.i.
(Krafft der I. Betr. in V.) gegen dem Rechtekk aus ac in ab. Nun verhält sich aber das
Rechtekk aus km in ab gegen dem Rechtekk aus ac in ab, wie km gegen ac, nach dem
1sten im VI. Derowegen verhält sich auch die Vierung ho gegen der Vierung he, wie
km gegen ac; Welches zu beweisen war.

Der V. Lehrsatz.

Eine jede/ von einem spitzwinklichten Kegelschnitt (einer ablan-
gen Rundung) begriffene Fläche verhält sich gegen einer/ von ihrem
grössesten Durchmesser beschriebenen/ Scheibe/ wie ihr kleinester
Durchmesser gegen besagtem grössesten.

Erläuterung.
[Abbildung]

Es sey eine ablange Rund-Fläche AB
CD, und deroselben grössester Durchmesser
AC, der kleineste aber BD. Von AC sey
ferner beschrieben eine Scheibe AECF.
Soll nun erwiesen werden/ daß die ablange
Rund-Fläche ABCD gegen der Scheibe
AECF sich verhalte/ wie BD gegen AC
oder EF: Oder (welches gleich viel ist)
wann umb einen Durchmesser/ als Z, eine
Scheibe beschrieben würde/ die sich gegen
der Scheibe AECF verhielte/ wie BD ge-
gen EF (nach Anleitung des 20sten im VI.
und des 2ten im XII.) daß solche Scheibe Z der ablangen Rund-Fläche AB
CD gleich sey.

Beweiß.

Dann so sie derselben nicht gleich ist/ so muß sie entweder grösser oder klei-
ner seyn. Man setze erstlich/ die Scheibe Z sey grösser/ als gedachte ablange
Fläche/ und werde in derselben in Gedanken beschrieben ein gleichseitiges Viel-
ekke/ also daß die übrigen Abschnittlein der Scheibe miteinander kleiner seyen
dann der Uberrest solcher Scheibe über die ablange Fläche/ und folgends das
Vielekk annoch grösser als ofterwähnte Rund-Fläche/ nach der andern Folge
des V. Lehrsatzes im I. B. von der Kugel und Rund-Säule. Nachmals
verzeichne maninnerhalb der Scheibe AECF eben dergleichen/ d.i. dem vori-

gen

Archimedes von denen Kegel- und
Parabel ham, vermittelſt zweyer Lineen bm, &c. und ho, &c. zwey Stuͤkke abgeſchnitten/
und aus dem Endpunct der einen Lini ho auf ihren Durchmeſſer die Lini he mit der andern
abſchneidenden gleichlauffend gezogen/ ꝛc.

Beweiß.

Vermoͤg obangezogener II. Betrachtung in V. und ihrer Folgen/ iſt ia gleich ab, und
verhaͤlt ſich wie ia gegen im, alſo im gegen km. Nun iſt/ wegen Gleichlauffung derer Li-
neen im und ho, wie auch he, bm, und aq, offenbar/ daß die Dreyekke ohe und mrq
einander aͤhnlich/ mrq aber und ari (wegen Gleichheit zweyer Seiten ai und qm, d.i. ab)
nach allen Winkeln und Seiten auch einander gleich ſeyen. Welchem nach wir folgenden
Schluß machen: Wie ſich verhaͤlt ho gegen he, ſo verhaͤlt ſich mr gegen rq oder ra, und
(nach dem 15den des V. B.) wie mi gegen aq, d.i. bm. Derowegen verhaͤlt ſich auch
(Krafft des 20ſten im VI.) die Vierung ho gegen der Vierung he, wie die Vierung im
(d.i. wegen gleicher ordentlicher Verhaͤltnis derer Lineen ia, im, und km, und/ Krafft
des 17den im VI. das Rechtekk aus km in ia oder ab) gegen der Vierung bm, d.i.
(Krafft der I. Betr. in V.) gegen dem Rechtekk aus ac in ab. Nun verhaͤlt ſich aber das
Rechtekk aus km in ab gegen dem Rechtekk aus ac in ab, wie km gegen ac, nach dem
1ſten im VI. Derowegen verhaͤlt ſich auch die Vierung ho gegen der Vierung he, wie
km gegen ac; Welches zu beweiſen war.

Der V. Lehrſatz.

Eine jede/ von einem ſpitzwinklichten Kegelſchnitt (einer ablan-
gen Rundung) begriffene Flaͤche verhaͤlt ſich gegen einer/ von ihrem
groͤſſeſten Durchmeſſer beſchriebenen/ Scheibe/ wie ihr kleineſter
Durchmeſſer gegen beſagtem groͤſſeſten.

Erlaͤuterung.
[Abbildung]

Es ſey eine ablange Rund-Flaͤche AB
CD, und deroſelben groͤſſeſter Durchmeſſer
AC, der kleineſte aber BD. Von AC ſey
ferner beſchrieben eine Scheibe AECF.
Soll nun erwieſen werden/ daß die ablange
Rund-Flaͤche ABCD gegen der Scheibe
AECF ſich verhalte/ wie BD gegen AC
oder EF: Oder (welches gleich viel iſt)
wann umb einen Durchmeſſer/ als Z, eine
Scheibe beſchrieben wuͤrde/ die ſich gegen
der Scheibe AECF verhielte/ wie BD ge-
gen EF (nach Anleitung des 20ſten im VI.
und des 2ten im XII.) daß ſolche Scheibe Z der ablangen Rund-Flaͤche AB
CD gleich ſey.

Beweiß.

Dann ſo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei-
ner ſeyn. Man ſetze erſtlich/ die Scheibe Z ſey groͤſſer/ als gedachte ablange
Flaͤche/ und werde in derſelben in Gedanken beſchrieben ein gleichſeitiges Viel-
ekke/ alſo daß die uͤbrigen Abſchnittlein der Scheibe miteinander kleiner ſeyen
dann der Uberreſt ſolcher Scheibe uͤber die ablange Flaͤche/ und folgends das
Vielekk annoch groͤſſer als ofterwaͤhnte Rund-Flaͤche/ nach der andern Folge
des V. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule. Nachmals
verzeichne maninnerhalb der Scheibe AECF eben dergleichen/ d.i. dem vori-

gen
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[332/0360] Archimedes von denen Kegel- und Parabel ham, vermittelſt zweyer Lineen bm, &c. und ho, &c. zwey Stuͤkke abgeſchnitten/ und aus dem Endpunct der einen Lini ho auf ihren Durchmeſſer die Lini he mit der andern abſchneidenden gleichlauffend gezogen/ ꝛc. Beweiß. Vermoͤg obangezogener II. Betrachtung in V. und ihrer Folgen/ iſt ia gleich ab, und verhaͤlt ſich wie ia gegen im, alſo im gegen km. Nun iſt/ wegen Gleichlauffung derer Li- neen im und ho, wie auch he, bm, und aq, offenbar/ daß die Dreyekke ohe und mrq einander aͤhnlich/ mrq aber und ari (wegen Gleichheit zweyer Seiten ai und qm, d.i. ab) nach allen Winkeln und Seiten auch einander gleich ſeyen. Welchem nach wir folgenden Schluß machen: Wie ſich verhaͤlt ho gegen he, ſo verhaͤlt ſich mr gegen rq oder ra, und (nach dem 15den des V. B.) wie mi gegen aq, d.i. bm. Derowegen verhaͤlt ſich auch (Krafft des 20ſten im VI.) die Vierung ho gegen der Vierung he, wie die Vierung im (d.i. wegen gleicher ordentlicher Verhaͤltnis derer Lineen ia, im, und km, und/ Krafft des 17den im VI. das Rechtekk aus km in ia oder ab) gegen der Vierung bm, d.i. (Krafft der I. Betr. in V.) gegen dem Rechtekk aus ac in ab. Nun verhaͤlt ſich aber das Rechtekk aus km in ab gegen dem Rechtekk aus ac in ab, wie km gegen ac, nach dem 1ſten im VI. Derowegen verhaͤlt ſich auch die Vierung ho gegen der Vierung he, wie km gegen ac; Welches zu beweiſen war. Der V. Lehrſatz. Eine jede/ von einem ſpitzwinklichten Kegelſchnitt (einer ablan- gen Rundung) begriffene Flaͤche verhaͤlt ſich gegen einer/ von ihrem groͤſſeſten Durchmeſſer beſchriebenen/ Scheibe/ wie ihr kleineſter Durchmeſſer gegen beſagtem groͤſſeſten. Erlaͤuterung. [Abbildung] Es ſey eine ablange Rund-Flaͤche AB CD, und deroſelben groͤſſeſter Durchmeſſer AC, der kleineſte aber BD. Von AC ſey ferner beſchrieben eine Scheibe AECF. Soll nun erwieſen werden/ daß die ablange Rund-Flaͤche ABCD gegen der Scheibe AECF ſich verhalte/ wie BD gegen AC oder EF: Oder (welches gleich viel iſt) wann umb einen Durchmeſſer/ als Z, eine Scheibe beſchrieben wuͤrde/ die ſich gegen der Scheibe AECF verhielte/ wie BD ge- gen EF (nach Anleitung des 20ſten im VI. und des 2ten im XII.) daß ſolche Scheibe Z der ablangen Rund-Flaͤche AB CD gleich ſey. Beweiß. Dann ſo ſie derſelben nicht gleich iſt/ ſo muß ſie entweder groͤſſer oder klei- ner ſeyn. Man ſetze erſtlich/ die Scheibe Z ſey groͤſſer/ als gedachte ablange Flaͤche/ und werde in derſelben in Gedanken beſchrieben ein gleichſeitiges Viel- ekke/ alſo daß die uͤbrigen Abſchnittlein der Scheibe miteinander kleiner ſeyen dann der Uberreſt ſolcher Scheibe uͤber die ablange Flaͤche/ und folgends das Vielekk annoch groͤſſer als ofterwaͤhnte Rund-Flaͤche/ nach der andern Folge des V. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule. Nachmals verzeichne maninnerhalb der Scheibe AECF eben dergleichen/ d.i. dem vori- gen

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 332. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/360>, abgerufen am 26.05.2024.