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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis

NB. Des allerletzten Schlusses Grund/ welchen van Schooten absonderlich an
einem andern Ort behandelt/ müssen wir noch/ aufs kürzeste als möglich/ erläutern-
Derselbe ist nun dieser Satz:

Wann etliche gleichverhaltende Dinge ordentlich auf einander fol-
gen/ so verhält sich das erste gegen dem andern/ wie die Summe aller
miteinander ohne das letzte/ gegen der ganzen Summ ohne das erste.

Das ist/ wann eine Reihe ist a, ea, e3a, e4a, &c. so verhält sich wie a gegen ea, also
a+ea+e3a gegen ea+e3a+e4a. Dessen Waarheit dann vor Augen ligt/ wann
man nur die beyde letztere und beyde mittlere in einander führet.

Daher ist klar und leicht/ wann in einer solchen Verhältnis-Reihe das erste/ andere
und lezte bekannt ist/ die ganze Summa aller miteinander zu finden. Dann/ wann das
erste ist a, das andere b, und das lezte c, und gesuchet wird die völlige Summ aller übri-
gen sambt diesen/ welche indessen z heissen soll: so verhält sich/ Laut erstbesagtens/ a
gegen b, wie z-c gegen z-a; und wird also (wann man beyde äussere und beyde
mittlere durcheinander führet) az-aa gleich bz-bc.

Wann nun a grösser zu seyn gesetzt wird als b, und also die gleichverhaltende Dinge in
einer unendlichen Verhältnis-Reihe unendlich-kleiner und kleiner werden; so wird end-
lich [wo man anderst hier endlich sagen darf] c gleich o: und daher bc aufgehoben oder
nichts: also daß in solchem Fall/ der vorigen Vergleichung nach/ seyn wird/
az-aa gleich bz.
Oder so man beyderseits aa darzu setzet/
az gleich aa+bz;
Oder so man beyderseits bz hinweg nimmt/
az-bz gleich aa;
Und endlich/ so man beyderseits durch a-b teihlet/
z gleich Welches so viel gesagt ist:

Wann/ in erstgesetztem Fall/ welcher auch in obigem Schluß sich
ereignet/ das erste mit sich selbst vervielfältiget/ und das kommende
durch den Rest des ersten über das andere geteihlet wird/ so kombt
heraus die Summa aller gleichverhaltenden miteinander.

Dieweil nun in obigem Schluß/ das erste gleichverhaltende ist 3, und die Verhält-
nis unterwerts vierfach ist/ so muß das andere seyn 3/4, und der Rest des ersten über das an-
dere 21/4. Das erste aber mit sich selbst vervielfältiget/ gibt 9. So ich nun 9 mit 21/4
teihle/ kombt heraus 4: Daß also/ wann das Dreyekk LAD 3 ist/ die ganze Parabel-
Fläche LBAPD 4 seyn muß.

Und dieses ist also/ dem Jnnhalt und der Sache selbsten nach/ eben der Weg/
durch welchen Archimedes im lezten Teihl seines Buchs die Parabel-Vierung ge-
funden hat.


Der
Archimedis

NB. Des allerletzten Schluſſes Grund/ welchen van Schooten abſonderlich an
einem andern Ort behandelt/ muͤſſen wir noch/ aufs kuͤrzeſte als moͤglich/ erlaͤutern-
Derſelbe iſt nun dieſer Satz:

Wann etliche gleichverhaltende Dinge ordentlich auf einander fol-
gen/ ſo verhaͤlt ſich das erſte gegen dem andern/ wie die Summe aller
miteinander ohne das letzte/ gegen der ganzen Summ ohne das erſte.

Das iſt/ wann eine Reihe iſt a, ea, e3a, e4a, &c. ſo verhaͤlt ſich wie a gegen ea, alſo
a+ea+e3a gegen ea+e3a+e4a. Deſſen Waarheit dann vor Augen ligt/ wann
man nur die beyde letztere und beyde mittlere in einander fuͤhret.

Daher iſt klar und leicht/ wann in einer ſolchen Verhaͤltnis-Reihe das erſte/ andere
und lezte bekannt iſt/ die ganze Summa aller miteinander zu finden. Dann/ wann das
erſte iſt a, das andere b, und das lezte c, und geſuchet wird die voͤllige Summ aller uͤbri-
gen ſambt dieſen/ welche indeſſen z heiſſen ſoll: ſo verhaͤlt ſich/ Laut erſtbeſagtens/ a
gegen b, wie z-c gegen z-a; und wird alſo (wann man beyde aͤuſſere und beyde
mittlere durcheinander fuͤhret) az-aa gleich bz-bc.

Wann nun a groͤſſer zu ſeyn geſetzt wird als b, und alſo die gleichverhaltende Dinge in
einer unendlichen Verhaͤltnis-Reihe unendlich-kleiner und kleiner werden; ſo wird end-
lich [wo man anderſt hier endlich ſagen darf] c gleich o: und daher bc aufgehoben oder
nichts: alſo daß in ſolchem Fall/ der vorigen Vergleichung nach/ ſeyn wird/
az-aa gleich bz.
Oder ſo man beyderſeits aa darzu ſetzet/
az gleich aa+bz;
Oder ſo man beyderſeits bz hinweg nimmt/
az-bz gleich aa;
Und endlich/ ſo man beyderſeits durch a-b teihlet/
z gleich Welches ſo viel geſagt iſt:

Wann/ in erſtgeſetztem Fall/ welcher auch in obigem Schluß ſich
ereignet/ das erſte mit ſich ſelbſt vervielfaͤltiget/ und das kommende
durch den Reſt des erſten uͤber das andere geteihlet wird/ ſo kombt
heraus die Summa aller gleichverhaltenden miteinander.

Dieweil nun in obigem Schluß/ das erſte gleichverhaltende iſt 3, und die Verhaͤlt-
nis unterwerts vierfach iſt/ ſo muß das andere ſeyn ¾, und der Reſt des erſten uͤber das an-
dere 2¼. Das erſte aber mit ſich ſelbſt vervielfaͤltiget/ gibt 9. So ich nun 9 mit 2¼
teihle/ kombt heraus 4: Daß alſo/ wann das Dreyekk LAD 3 iſt/ die ganze Parabel-
Flaͤche LBAPD 4 ſeyn muß.

Und dieſes iſt alſo/ dem Jnnhalt und der Sache ſelbſten nach/ eben der Weg/
durch welchen Archimedes im lezten Teihl ſeines Buchs die Parabel-Vierung ge-
funden hat.


Der
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[306/0334] Archimedis NB. Des allerletzten Schluſſes Grund/ welchen van Schooten abſonderlich an einem andern Ort behandelt/ muͤſſen wir noch/ aufs kuͤrzeſte als moͤglich/ erlaͤutern- Derſelbe iſt nun dieſer Satz: Wann etliche gleichverhaltende Dinge ordentlich auf einander fol- gen/ ſo verhaͤlt ſich das erſte gegen dem andern/ wie die Summe aller miteinander ohne das letzte/ gegen der ganzen Summ ohne das erſte. Das iſt/ wann eine Reihe iſt a, ea, e3a, e4a, &c. ſo verhaͤlt ſich wie a gegen ea, alſo a+ea+e3a gegen ea+e3a+e4a. Deſſen Waarheit dann vor Augen ligt/ wann man nur die beyde letztere und beyde mittlere in einander fuͤhret. Daher iſt klar und leicht/ wann in einer ſolchen Verhaͤltnis-Reihe das erſte/ andere und lezte bekannt iſt/ die ganze Summa aller miteinander zu finden. Dann/ wann das erſte iſt a, das andere b, und das lezte c, und geſuchet wird die voͤllige Summ aller uͤbri- gen ſambt dieſen/ welche indeſſen z heiſſen ſoll: ſo verhaͤlt ſich/ Laut erſtbeſagtens/ a gegen b, wie z-c gegen z-a; und wird alſo (wann man beyde aͤuſſere und beyde mittlere durcheinander fuͤhret) az-aa gleich bz-bc. Wann nun a groͤſſer zu ſeyn geſetzt wird als b, und alſo die gleichverhaltende Dinge in einer unendlichen Verhaͤltnis-Reihe unendlich-kleiner und kleiner werden; ſo wird end- lich [wo man anderſt hier endlich ſagen darf] c gleich o: und daher bc aufgehoben oder nichts: alſo daß in ſolchem Fall/ der vorigen Vergleichung nach/ ſeyn wird/ az-aa gleich bz. Oder ſo man beyderſeits aa darzu ſetzet/ az gleich aa+bz; Oder ſo man beyderſeits bz hinweg nimmt/ az-bz gleich aa; Und endlich/ ſo man beyderſeits durch a-b teihlet/ z gleich [FORMEL] Welches ſo viel geſagt iſt: Wann/ in erſtgeſetztem Fall/ welcher auch in obigem Schluß ſich ereignet/ das erſte mit ſich ſelbſt vervielfaͤltiget/ und das kommende durch den Reſt des erſten uͤber das andere geteihlet wird/ ſo kombt heraus die Summa aller gleichverhaltenden miteinander. Dieweil nun in obigem Schluß/ das erſte gleichverhaltende iſt 3, und die Verhaͤlt- nis unterwerts vierfach iſt/ ſo muß das andere ſeyn ¾, und der Reſt des erſten uͤber das an- dere 2¼. Das erſte aber mit ſich ſelbſt vervielfaͤltiget/ gibt 9. So ich nun 9 mit 2¼ teihle/ kombt heraus 4: Daß alſo/ wann das Dreyekk LAD 3 iſt/ die ganze Parabel- Flaͤche LBAPD 4 ſeyn muß. Und dieſes iſt alſo/ dem Jnnhalt und der Sache ſelbſten nach/ eben der Weg/ durch welchen Archimedes im lezten Teihl ſeines Buchs die Parabel-Vierung ge- funden hat. Der

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 306. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/334>, abgerufen am 12.05.2024.