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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Parabel-Vierung.
Anhang oder Zugab noch dreyer unterschied-
licher Wege/ nach welchen Franciscus van Schooten/
Prof. Math. zu Leyden/ die Parabel-Vierung
gefunden hat.
Der Erste Weg/

Welcher die Sache vollführet vermittelst der gefundenen
Verhältnis derer Lineen AC und BE.

Es werde gesetzt LC gleich a, so wird LF
oder FC seyn 1/2 a.

CA sey gleich b, und

EB gleich z.

Dieweil nun/ (nach dem dieses also gesetzet
und BF dem Durchmesser AC gleichlauffend ge-
zogen worden/ und also/ Krafft der II. Betr.
in V. auch ein Durchmesser ist) wegen Aehnlich-
keit beyder Dreyekke LCA und LFE, wie LC
[Abbildung] gegen CA, d. i. a gegen b, also LF, d. i. 1/2 a, gegen FE sich verhält; so muß nohtwen-
dig FE gleich seyn 1/2 b. So man nun zu FE setzet EB, d. i. z, so ist die ganze Lini
FB oder CG gleich 1/2 b+z, und derowegen das übrige GA 1/2 b-z.

Darnach/ weil vermög einer Parabolischen Eigenschafft/ CA gegen GA, d. i. b
gegen 1/2 b-z sich verhält/ wie die Vierung LC gegen der Vierung BG oder FC
das ist/ wie aa gegen 1/4aa, oder wie 4 gegen 1: so wird (wann man beyde äusserste und
beyde mittlere durcheinander führet) b gleich 2b-4z; oder/ (so man beyderseits 4z
darzu thut) b+4z gleich 2b; und/ (so man beyderseits b hinweg nimmt) 4z
gleich b; und endlich/ (so man beyderseits durch 4 teihlet) z gleich 1/4 b. Woraus dann
folget/ daß CA viermal so groß sey als EB.

Hierdurch ist nun leicht zu finden die Verhältnis des Dreyekkes EBA gegen dem
Dreyekk LAC. Dann/ weil EB und AC gleichlauffen/ und daher/ wegen Gleich-
heit derer Winkel BEA und LAC, gedachte beyde Dreyekke sich gegen einander ver-
halten wie das Rechtekk aus BE in EA gegen dem Rechtekk aus CA in AL: (wel-
ches aus dem 41sten des I. und 22sten des VI. zu erachten) so werden/ wann für
LE oder EA gesetzet wird c, besagte beyde Dreyekke sich gegen einander verhalten wie
1/4 bc gegen 2bc, d. i. wie 1 gegen 8; also daß folgends das ganze Dreyekk LBA gegen
dem Dreyekk LAC sich verhalten muß/ wie 1 gegen 4.

Gleicher gestalt/ weiln auch das Dreyekk APD gegen dem Dreyekk DAC sich
verhält wie 1 gegen 4, so müssen auch beyde Dreyekke LBA und APD zusammen
gegen dem ganzen Dreyekk LAD sich verhalten wie 1 gegen 4. Und dieses ist/ aus
gleichem Grund/ von allen andern Dreyekken zu verstehen/ welche in denen übrigen Ab-
schnitten fort und fort mögen beschrieben/ oder als beschrieben unendlich hinaus gedacht
werden.

Derowegen/ weil das/ innerhalb der Parabel beschriebene/ grösseste Dreyekk gegen
denen grössesten in beyden folgenden Abschnitten sich verhält/ wie 4 gegen 1; und diese
beyde wieder gegen denen folgenden/ wie 4 gegen 1, und also unendlich fort: so ist of-
fenbar/ daß/ wann das allergrösseste deroselben LAD gesetzet wird zu seyn 3, derer
übrigen aller völlige Summ/ d. i. die ganze Parabel-Fläche LBAPD, seyn müsse 4.
W. Z. W. B.

NB. Des
Q q
Parabel-Vierung.
Anhang oder Zugab noch dreyer unterſchied-
licher Wege/ nach welchen Franciſcus van Schooten/
Prof. Math. zu Leyden/ die Parabel-Vierung
gefunden hat.
Der Erſte Weg/

Welcher die Sache vollfuͤhret vermittelſt der gefundenen
Verhaͤltnis derer Lineen AC und BE.

Es werde geſetzt LC gleich a, ſo wird LF
oder FC ſeyn ½ a.

CA ſey gleich b, und

EB gleich z.

Dieweil nun/ (nach dem dieſes alſo geſetzet
und BF dem Durchmeſſer AC gleichlauffend ge-
zogen worden/ und alſo/ Krafft der II. Betr.
in V. auch ein Durchmeſſer iſt) wegen Aehnlich-
keit beyder Dreyekke LCA und LFE, wie LC
[Abbildung] gegen CA, d. i. a gegen b, alſo LF, d. i. ½ a, gegen FE ſich verhaͤlt; ſo muß nohtwen-
dig FE gleich ſeyn ½ b. So man nun zu FE ſetzet EB, d. i. z, ſo iſt die ganze Lini
FB oder CG gleich ½ b+z, und derowegen das uͤbrige GA ½ b-z.

Darnach/ weil vermoͤg einer Paraboliſchen Eigenſchafft/ CA gegen GA, d. i. b
gegen ½ b-z ſich verhaͤlt/ wie die Vierung LC gegen der Vierung BG oder FC
das iſt/ wie aa gegen ¼aa, oder wie 4 gegen 1: ſo wird (wann man beyde aͤuſſerſte und
beyde mittlere durcheinander fuͤhret) b gleich 2b-4z; oder/ (ſo man beyderſeits 4z
darzu thut) b+4z gleich 2b; und/ (ſo man beyderſeits b hinweg nimmt) 4z
gleich b; und endlich/ (ſo man beyderſeits durch 4 teihlet) z gleich ¼ b. Woraus dann
folget/ daß CA viermal ſo groß ſey als EB.

Hierdurch iſt nun leicht zu finden die Verhaͤltnis des Dreyekkes EBA gegen dem
Dreyekk LAC. Dann/ weil EB und AC gleichlauffen/ und daher/ wegen Gleich-
heit derer Winkel BEA und LAC, gedachte beyde Dreyekke ſich gegen einander ver-
halten wie das Rechtekk aus BE in EA gegen dem Rechtekk aus CA in AL: (wel-
ches aus dem 41ſten des I. und 22ſten des VI. zu erachten) ſo werden/ wann fuͤr
LE oder EA geſetzet wird c, beſagte beyde Dreyekke ſich gegen einander verhalten wie
¼ bc gegen 2bc, d. i. wie 1 gegen 8; alſo daß folgends das ganze Dreyekk LBA gegen
dem Dreyekk LAC ſich verhalten muß/ wie 1 gegen 4.

Gleicher geſtalt/ weiln auch das Dreyekk APD gegen dem Dreyekk DAC ſich
verhaͤlt wie 1 gegen 4, ſo muͤſſen auch beyde Dreyekke LBA und APD zuſammen
gegen dem ganzen Dreyekk LAD ſich verhalten wie 1 gegen 4. Und dieſes iſt/ aus
gleichem Grund/ von allen andern Dreyekken zu verſtehen/ welche in denen uͤbrigen Ab-
ſchnitten fort und fort moͤgen beſchrieben/ oder als beſchrieben unendlich hinaus gedacht
werden.

Derowegen/ weil das/ innerhalb der Parabel beſchriebene/ groͤſſeſte Dreyekk gegen
denen groͤſſeſten in beyden folgenden Abſchnitten ſich verhaͤlt/ wie 4 gegen 1; und dieſe
beyde wieder gegen denen folgenden/ wie 4 gegen 1, und alſo unendlich fort: ſo iſt of-
fenbar/ daß/ wann das allergroͤſſeſte deroſelben LAD geſetzet wird zu ſeyn 3, derer
uͤbrigen aller voͤllige Summ/ d. i. die ganze Parabel-Flaͤche LBAPD, ſeyn muͤſſe 4.
W. Z. W. B.

NB. Des
Q q
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[305/0333] Parabel-Vierung. Anhang oder Zugab noch dreyer unterſchied- licher Wege/ nach welchen Franciſcus van Schooten/ Prof. Math. zu Leyden/ die Parabel-Vierung gefunden hat. Der Erſte Weg/ Welcher die Sache vollfuͤhret vermittelſt der gefundenen Verhaͤltnis derer Lineen AC und BE. Es werde geſetzt LC gleich a, ſo wird LF oder FC ſeyn ½ a. CA ſey gleich b, und EB gleich z. Dieweil nun/ (nach dem dieſes alſo geſetzet und BF dem Durchmeſſer AC gleichlauffend ge- zogen worden/ und alſo/ Krafft der II. Betr. in V. auch ein Durchmeſſer iſt) wegen Aehnlich- keit beyder Dreyekke LCA und LFE, wie LC [Abbildung] gegen CA, d. i. a gegen b, alſo LF, d. i. ½ a, gegen FE ſich verhaͤlt; ſo muß nohtwen- dig FE gleich ſeyn ½ b. So man nun zu FE ſetzet EB, d. i. z, ſo iſt die ganze Lini FB oder CG gleich ½ b+z, und derowegen das uͤbrige GA ½ b-z. Darnach/ weil vermoͤg einer Paraboliſchen Eigenſchafft/ CA gegen GA, d. i. b gegen ½ b-z ſich verhaͤlt/ wie die Vierung LC gegen der Vierung BG oder FC das iſt/ wie aa gegen ¼aa, oder wie 4 gegen 1: ſo wird (wann man beyde aͤuſſerſte und beyde mittlere durcheinander fuͤhret) b gleich 2b-4z; oder/ (ſo man beyderſeits 4z darzu thut) b+4z gleich 2b; und/ (ſo man beyderſeits b hinweg nimmt) 4z gleich b; und endlich/ (ſo man beyderſeits durch 4 teihlet) z gleich ¼ b. Woraus dann folget/ daß CA viermal ſo groß ſey als EB. Hierdurch iſt nun leicht zu finden die Verhaͤltnis des Dreyekkes EBA gegen dem Dreyekk LAC. Dann/ weil EB und AC gleichlauffen/ und daher/ wegen Gleich- heit derer Winkel BEA und LAC, gedachte beyde Dreyekke ſich gegen einander ver- halten wie das Rechtekk aus BE in EA gegen dem Rechtekk aus CA in AL: (wel- ches aus dem 41ſten des I. und 22ſten des VI. zu erachten) ſo werden/ wann fuͤr LE oder EA geſetzet wird c, beſagte beyde Dreyekke ſich gegen einander verhalten wie ¼ bc gegen 2bc, d. i. wie 1 gegen 8; alſo daß folgends das ganze Dreyekk LBA gegen dem Dreyekk LAC ſich verhalten muß/ wie 1 gegen 4. Gleicher geſtalt/ weiln auch das Dreyekk APD gegen dem Dreyekk DAC ſich verhaͤlt wie 1 gegen 4, ſo muͤſſen auch beyde Dreyekke LBA und APD zuſammen gegen dem ganzen Dreyekk LAD ſich verhalten wie 1 gegen 4. Und dieſes iſt/ aus gleichem Grund/ von allen andern Dreyekken zu verſtehen/ welche in denen uͤbrigen Ab- ſchnitten fort und fort moͤgen beſchrieben/ oder als beſchrieben unendlich hinaus gedacht werden. Derowegen/ weil das/ innerhalb der Parabel beſchriebene/ groͤſſeſte Dreyekk gegen denen groͤſſeſten in beyden folgenden Abſchnitten ſich verhaͤlt/ wie 4 gegen 1; und dieſe beyde wieder gegen denen folgenden/ wie 4 gegen 1, und alſo unendlich fort: ſo iſt of- fenbar/ daß/ wann das allergroͤſſeſte deroſelben LAD geſetzet wird zu ſeyn 3, derer uͤbrigen aller voͤllige Summ/ d. i. die ganze Parabel-Flaͤche LBAPD, ſeyn muͤſſe 4. W. Z. W. B. NB. Des Q q

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 305. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/333>, abgerufen am 12.05.2024.