Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

derer Kegel-Lineen die jenige Puncten/ in welchen ſich die Durchmeſſer enden.) So wir nun
ziehen AB und BC, ſo entſtehet das Dreyekk ABC, welches mit der Parabel-Flaͤche einer-
ley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat/ nehmlich die jenige Lini/ welche aus B auf AC ſenk-
recht herunter faͤllet. Wann wir nun ferner aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte
AEB und BFC, nehmlich aus E und F, die/ mit BD gleichlauffende/ Lineen EG und FO,
ziehen/ ſo werden dieſelbe gemeldter Achſchnitte ihre Durchmeſſer ſeyn. (Dann es iſt von der
Parabel erwieſen/ daß alle/ mit ihrem Durchmeſſer gleichlauffend-gezogene/ Lineen auch
Durchmeſſer ſeyen. Beſihe unſere obige zweyte Betrachtung in V.) So ſind nun E
und F die Scheitelpuncten beyder Abſchnitte AEB und BFC, und die durch E und F gezo-
gene beruͤhrende Lineen gleichlauffend mit AB und BC. Soll nun bewieſen werden/ daß auch
die Lini ELF mit ADC gleichlauffe/ und von BD in zwey gleiche Teihle/ EL und LF, ge-
teihlet werde. Dieweil dann EH und FK (nehmlich die verlängerten EG und FO) ſo wol
dem Durchmeſſer BD, als eine der andern ſelbſt/ gleichlauffend ſind/ und einander gleich (Be-
ſihe folgende 2. Anmerkung) ſo verhaͤlt ſich wie BG gegen GA, alſo DH gegen HA,
vermoͤg des 2ten im VI. B. Es iſt aber BG dem GA gleich (dann der Durchmeſſer
EG teihlet alle/ mit der aͤuſſern beruͤhrenden gleichlauffende/ in zwey gleiche Teihle; Laut
der Erſten Betrachtung 5ter Folge in V.) Derowegen iſt auch DH dem HA gleich;
und/ durch gleichen Schluß auch DK dem KC. Nun iſt aber auch die ganze DA der ganzen
DC gleich. Weswegen dann auch ihre Helften/ DH und DK, und (weil EH und FK
gleich ſind) auch LE und LF ſo wol unter ſich als denen vorigen/ gleich ſeyn/ wie auch die
ganze EF mit AC gleich lauffen muͤſſen/ alles aus dem 33ſten des I. B. Alſo daß nun-
mehr ein Teihl des obigen Archimediſchen Satzes bewieſen iſt. Gleicher Weiſe/ wann man
in die Abſchnitte APE, ETB, BQF, FSC, obbeſagter Weiſe Dreyekke verzeichnet/ und
aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte die Lineen PS, TV, QW, SL, mit BD gleich-
lauffend ziehet/ ſo folget/ daß TQ und PS mit AC gleichlauffen/ und von dem Durchmeſſer
BD halbgeteihlet werden. Jſt alſo noch zu beweiſen/ daß hingegen dieſe gleichlauffende Li-
neen/ TQ, EF, PS, den Durchmeſſer BD alſo teihlen/ daß/ wann BA eins iſt/ AL drey/
LD fuͤnf/ und DD ſieben ſey. Dann weil aus obbewieſenem klar iſt/ daß AD doppelt ſo
groß ſey als DH, d. i. als EL, ſo muß die Vierung von AD viermal ſo groß ſeyn als die Vie-
rung von EL, vermoͤg des 20ſten im VI. B. Nun aber verhaͤlt ſich/ wie die Vierung AD
gegen der Vierung EL, alſo BD gegen BL (Beſihe der Erſten Betr. 7de Folge in V.)
Derowegen iſt BD viermal ſo groß als BL, und folgends/ LD dreymal ſo groß als BL, d. i.
wann BL eins iſt/ ſo muß LD drey ſeyn; oder wann BL viere zu ſeyn geſetzet wird/ ſo muß
LD zwoͤlfe ſeyn. Gleicher Weiſe/ weil EN und NB, und folgends EF und FL gleich ſind/
d. i. EL zweymal ſo groß iſt als FL, d. i. als TA, ſo iſt die Vierung EL viermal ſo groß als
die Vierung TA, und alſo BL viermal ſo groß als BA. Derohalben wann BA eins iſt/
muß BL viere/ und AL dreye ſeyn. Wiederumb wird aus gleichem Grund bewieſen/ daß/
weil AM und ME gleich ſind/ daß auch AS und SH, und folgends auch HV und VD (alle
vier nehmlich einander) gleich ſeyen/ und daher AD gegen PD ſich verhalte/ wie 4 gegen 3;
und die Vierung AD gegen der Vierung PD, wie 16 gegen 9. Weswegen dann abermal
BD gegen BD ſich verhaͤlt/ wie 16 gegen 9, alſo daß/ wann BD 9 iſt/ das uͤbrige DD 7 ſeyn
muß. Nun dann aus dem vorhergehenden bekannt iſt/ daß/ wann BD 16 iſt/ alsdann BA
eins/ AL dreye/ LD zwoͤlfe und DD ſiebene ſey; ſo muß nohtwendig (wann DD von LD
wegkommet) das uͤbrige LD fuͤnfe ſeyn. Alſo daß nunmehr offenbar iſt/ wie der Durch-
meſſer BD durch die Lineen TQ, EF, PS, nach der Verhaͤltnis derer von eins an ordentlich
folgenden ungeraden Zahlen/ 3, 5, 7, &c. zerteihlet werde: gleich wie im Gegenteihl zugleich
erhellet/ daß die Quehr-Lineen TA, EL, PD, AD, von dem Durchmeſſer nach denen von
eins an ordentlich folgenden Zahlen (keine ausgelaſſen) geteihlet werden. Dann wie TA
eins iſt/ ſo iſt EL zwey/ PD drey/ AD vier/ ꝛc. wie aus dem Aufriß genugſam zu erſehen iſt.

2. Jn dieſem Beweiß Eutokii (den wir aber hin und wieder erlaͤutert haben) iſt dieſes
noch nicht gewiß gemachet/ daß die Lineen EH und FK einander gleich ſeyen. Eutokius be-
ruffet ſich zwar auf das 6. der Buͤcher Apollonii von denen Kegel-Lineen. Weilen aber ge-
dachte Buͤcher nicht ein jeder zur Hand hat/ wollen wir ſolches folgender Geſtalt beweiſen:
Weilen die Lini EF noch nicht bewieſen iſt mit AC gleichlauffend zu ſeyn/ ſondern ſolcher Be-
weiß eben auf gegenwaͤrtigem Satz beruhet/ den wir zu bekraͤftigen fuͤr uns haben/ ſo wollen
wir uns indeſſen einbilden/ daß ſonſt eine Lini aus F auf BD, mit AC gleichlauffend/ gezogen
ſey/ die wir auch FL nennen moͤgen. Welchem nach ſich verhaͤlt wie BD gegen BL (d. i. BC

gegen