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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch von derer Flächen

aber der Lini KL ist N; (Dann/ weil KE und HA gleichlauffend gezogen sind/
so verhält sich wie BE gegen EA, also BK gegen KH; und gleichfalls wie CF
gegen FA, das ist/ BE gegen EA, also CL gegen LH, und folget also/ daß/
wie BK gegen KH, also CL gegen LH sich verhalte/ und daher KL und BC
gleichlauffend seyen; alles aus dem 2ten des VI. B. Welchem nach endlich
(vermög folgender 2. Anmerkung) HND, welche BC halbteihlet/ auch
mitten durch KL streichet.) Dannenhero ist der/ aus beyden Dreyekken BED
und DFC zusammgesetzten/ Grösse ihr Schwäre-Punct in N. Die gleich-
lauffend-seitige Figur AEDF aber hat ihren Schwäre-Punct in M, vermög
obigen X. Lehrsatzes. Derowegen muß die ganze/ aus allen dreyen bemeldten
Stükken zusammgesetzte Figur (nehmlich das ganze Dreyekk ABC) ihren
Schwäre-Punct (vermög der 2. Anmerkung des VIII. Lehrsatzes) in der Lini
MN haben. Es ist aber H für solchen Punct gesetzt worden. Muß derowegen
MN durch H streichen/ welches unmöglich ist/ weil MN und HA gleichlauf-
fen. (Besihe folgende 3. Anmerkung.) So kan demnach der Schwäre-
Punct des Dreyekkes ABC (weil sonsten etwas unmögliches folgete) nicht
ansser der Lini AD seyn. Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkungen.

1. Umb mehrerer Gewißheit willen/ wollen wir/ was Archimedes als offenbar an-
nimmt/ deutlich machen/ und zu förderst beweisen/ daß die beyde Puncten H und L in denen
beyden Dreyekken ABC und DFC gleichförmig gesetzet seyen. Die ganze Sache aber be-
ruhet auf dem Gleichlauffen derer beyden Lineen HA und LF, woraus dann ferner folget/
daß CL gegen LH sich verhalte/ wie CF gegen FA, das ist/ wie CD gegen DB, und also
LD und HB auch gleichlauffend seyen. Welchem nach dann der Winkel LFC dem HAC,
und also der übrige LFD dem übrigen HAD gleich ist/ weil die ganzen Winkel BAC und
DFC gleich waren. So ist auch der Winkel LDC dem HBD, und folgends der übrige
FDL dem übrigen ABH (weil die ganzen ABC und FDC auch gleich waren) wieder
gleich: die lezten Winkel FCL und LCD aber endlich beyden gemein: Woraus dann un-
fehlbar folget (vermög der Anmerkung obiger 6. Forderung) daß die beyde Puncten H
und L gleichförmig gesetzet seyen.

2. Daß fürs andere durch die Lini HD, welche BC halbteihlet/ auch KL halbgeteihlet
werde/ und also KN und LN einander gleich seyen/ wird also wissend: Weil KL und BC
gleichlauffen/ so sind die beyde Dreyekke HLK und HCB, wie auch HLN und HCD,
gleichwinklicht/ vermög des 29sten im I. B. und deswegen verhält sich (Krafft des 4ten
im VI.) wie HL gegen LK, also HC gegen CB, und verwechselt/ wie HL gegen HC,
also LK gegen CB. Gleichfalls wird geschlossen/ daß sich verhalte/ wie HL gegen HC, al-
so LN gegen CD; und dahero (nach dem 11ten des V. B.) LK gegen CB wie LN gegen
CD; und verwechselt/ LK gegen LN, wie CB gegen CD, das ist/ wie ein ganzes gegen
seinem halben. W. Z. B. W.

3. Zum Beschluß des Beweises ist für bekannt genommen/ daß MN und HA gleich-
lauffend seyen/ welches folgender gestalt klar wird: N ist das Mittel von KL, wie erst be-
wiesen worden/ und/ aus gleichem Grund/ M das Mittel von EF; derowegen/ weil EF
und KL (als gegen über stehende Seiten des gleichlauffend-seitigen Vierekkes KF) einan-
der gleich sind/ nach dem 34sten des I. B. so müssen auch MF und NL einander gleich/
und folgends (Krafft des 33sten im I. B.) MN und FL gleichlauffen. Es ist aber auch
HA gleichlauffend mit FL, Laut obiger Vorbereitung/ derohalben müssen auch MN
und HA gleichlauffen/ nach dem 30sten des I. B.

Der XIV. Lehrsatz.

Eines jeden Dreyekkes Gewicht-Mittel ist der jenige Punct/
in welchem die/ aus denen Winkeln auf die Mitte derer gegen-
über stehenden Seiten gezogene/ Lineen zusammen kommen.

Beweiß.

Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen

aber der Lini KL iſt N; (Dann/ weil KE und HA gleichlauffend gezogen ſind/
ſo verhaͤlt ſich wie BE gegen EA, alſo BK gegen KH; und gleichfalls wie CF
gegen FA, das iſt/ BE gegen EA, alſo CL gegen LH, und folget alſo/ daß/
wie BK gegen KH, alſo CL gegen LH ſich verhalte/ und daher KL und BC
gleichlauffend ſeyen; alles aus dem 2ten des VI. B. Welchem nach endlich
(vermoͤg folgender 2. Anmerkung) HND, welche BC halbteihlet/ auch
mitten durch KL ſtreichet.) Dannenhero iſt der/ aus beyden Dreyekken BED
und DFC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe ihr Schwaͤre-Punct in N. Die gleich-
lauffend-ſeitige Figur AEDF aber hat ihren Schwaͤre-Punct in M, vermoͤg
obigen X. Lehrſatzes. Derowegen muß die ganze/ aus allen dreyen bemeldten
Stuͤkken zuſammgeſetzte Figur (nehmlich das ganze Dreyekk ABC) ihren
Schwaͤre-Punct (vermoͤg der 2. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes) in der Lini
MN haben. Es iſt aber H fuͤr ſolchen Punct geſetzt worden. Muß derowegen
MN durch H ſtreichen/ welches unmoͤglich iſt/ weil MN und HA gleichlauf-
fen. (Beſihe folgende 3. Anmerkung.) So kan demnach der Schwaͤre-
Punct des Dreyekkes ABC (weil ſonſten etwas unmoͤgliches folgete) nicht
anſſer der Lini AD ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Umb mehrerer Gewißheit willen/ wollen wir/ was Archimedes als offenbar an-
nimmt/ deutlich machen/ und zu foͤrderſt beweiſen/ daß die beyde Puncten H und L in denen
beyden Dreyekken ABC und DFC gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen. Die ganze Sache aber be-
ruhet auf dem Gleichlauffen derer beyden Lineen HA und LF, woraus dann ferner folget/
daß CL gegen LH ſich verhalte/ wie CF gegen FA, das iſt/ wie CD gegen DB, und alſo
LD und HB auch gleichlauffend ſeyen. Welchem nach dann der Winkel LFC dem HAC,
und alſo der uͤbrige LFD dem uͤbrigen HAD gleich iſt/ weil die ganzen Winkel BAC und
DFC gleich waren. So iſt auch der Winkel LDC dem HBD, und folgends der uͤbrige
FDL dem uͤbrigen ABH (weil die ganzen ABC und FDC auch gleich waren) wieder
gleich: die lezten Winkel FCL und LCD aber endlich beyden gemein: Woraus dann un-
fehlbar folget (vermoͤg der Anmerkung obiger 6. Forderung) daß die beyde Puncten H
und L gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen.

2. Daß fuͤrs andere durch die Lini HD, welche BC halbteihlet/ auch KL halbgeteihlet
werde/ und alſo KN und LN einander gleich ſeyen/ wird alſo wiſſend: Weil KL und BC
gleichlauffen/ ſo ſind die beyde Dreyekke HLK und HCB, wie auch HLN und HCD,
gleichwinklicht/ vermoͤg des 29ſten im I. B. und deswegen verhaͤlt ſich (Krafft des 4ten
im VI.) wie HL gegen LK, alſo HC gegen CB, und verwechſelt/ wie HL gegen HC,
alſo LK gegen CB. Gleichfalls wird geſchloſſen/ daß ſich verhalte/ wie HL gegen HC, al-
ſo LN gegen CD; und dahero (nach dem 11ten des V. B.) LK gegen CB wie LN gegen
CD; und verwechſelt/ LK gegen LN, wie CB gegen CD, das iſt/ wie ein ganzes gegen
ſeinem halben. W. Z. B. W.

3. Zum Beſchluß des Beweiſes iſt fuͤr bekannt genommen/ daß MN und HA gleich-
lauffend ſeyen/ welches folgender geſtalt klar wird: N iſt das Mittel von KL, wie erſt be-
wieſen worden/ und/ aus gleichem Grund/ M das Mittel von EF; derowegen/ weil EF
und KL (als gegen uͤber ſtehende Seiten des gleichlauffend-ſeitigen Vierekkes KF) einan-
der gleich ſind/ nach dem 34ſten des I. B. ſo muͤſſen auch MF und NL einander gleich/
und folgends (Krafft des 33ſten im I. B.) MN und FL gleichlauffen. Es iſt aber auch
HA gleichlauffend mit FL, Laut obiger Vorbereitung/ derohalben muͤſſen auch MN
und HA gleichlauffen/ nach dem 30ſten des I. B.

Der XIV. Lehrſatz.

Eines jeden Dreyekkes Gewicht-Mittel iſt der jenige Punct/
in welchem die/ aus denen Winkeln auf die Mitte derer gegen-
uͤber ſtehenden Seiten gezogene/ Lineen zuſammen kommen.

Beweiß.

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[248/0276] Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen aber der Lini KL iſt N; (Dann/ weil KE und HA gleichlauffend gezogen ſind/ ſo verhaͤlt ſich wie BE gegen EA, alſo BK gegen KH; und gleichfalls wie CF gegen FA, das iſt/ BE gegen EA, alſo CL gegen LH, und folget alſo/ daß/ wie BK gegen KH, alſo CL gegen LH ſich verhalte/ und daher KL und BC gleichlauffend ſeyen; alles aus dem 2ten des VI. B. Welchem nach endlich (vermoͤg folgender 2. Anmerkung) HND, welche BC halbteihlet/ auch mitten durch KL ſtreichet.) Dannenhero iſt der/ aus beyden Dreyekken BED und DFC zuſammgeſetzten/ Groͤſſe ihr Schwaͤre-Punct in N. Die gleich- lauffend-ſeitige Figur AEDF aber hat ihren Schwaͤre-Punct in M, vermoͤg obigen X. Lehrſatzes. Derowegen muß die ganze/ aus allen dreyen bemeldten Stuͤkken zuſammgeſetzte Figur (nehmlich das ganze Dreyekk ABC) ihren Schwaͤre-Punct (vermoͤg der 2. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes) in der Lini MN haben. Es iſt aber H fuͤr ſolchen Punct geſetzt worden. Muß derowegen MN durch H ſtreichen/ welches unmoͤglich iſt/ weil MN und HA gleichlauf- fen. (Beſihe folgende 3. Anmerkung.) So kan demnach der Schwaͤre- Punct des Dreyekkes ABC (weil ſonſten etwas unmoͤgliches folgete) nicht anſſer der Lini AD ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. 1. Umb mehrerer Gewißheit willen/ wollen wir/ was Archimedes als offenbar an- nimmt/ deutlich machen/ und zu foͤrderſt beweiſen/ daß die beyde Puncten H und L in denen beyden Dreyekken ABC und DFC gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen. Die ganze Sache aber be- ruhet auf dem Gleichlauffen derer beyden Lineen HA und LF, woraus dann ferner folget/ daß CL gegen LH ſich verhalte/ wie CF gegen FA, das iſt/ wie CD gegen DB, und alſo LD und HB auch gleichlauffend ſeyen. Welchem nach dann der Winkel LFC dem HAC, und alſo der uͤbrige LFD dem uͤbrigen HAD gleich iſt/ weil die ganzen Winkel BAC und DFC gleich waren. So iſt auch der Winkel LDC dem HBD, und folgends der uͤbrige FDL dem uͤbrigen ABH (weil die ganzen ABC und FDC auch gleich waren) wieder gleich: die lezten Winkel FCL und LCD aber endlich beyden gemein: Woraus dann un- fehlbar folget (vermoͤg der Anmerkung obiger 6. Forderung) daß die beyde Puncten H und L gleichfoͤrmig geſetzet ſeyen. 2. Daß fuͤrs andere durch die Lini HD, welche BC halbteihlet/ auch KL halbgeteihlet werde/ und alſo KN und LN einander gleich ſeyen/ wird alſo wiſſend: Weil KL und BC gleichlauffen/ ſo ſind die beyde Dreyekke HLK und HCB, wie auch HLN und HCD, gleichwinklicht/ vermoͤg des 29ſten im I. B. und deswegen verhaͤlt ſich (Krafft des 4ten im VI.) wie HL gegen LK, alſo HC gegen CB, und verwechſelt/ wie HL gegen HC, alſo LK gegen CB. Gleichfalls wird geſchloſſen/ daß ſich verhalte/ wie HL gegen HC, al- ſo LN gegen CD; und dahero (nach dem 11ten des V. B.) LK gegen CB wie LN gegen CD; und verwechſelt/ LK gegen LN, wie CB gegen CD, das iſt/ wie ein ganzes gegen ſeinem halben. W. Z. B. W. 3. Zum Beſchluß des Beweiſes iſt fuͤr bekannt genommen/ daß MN und HA gleich- lauffend ſeyen/ welches folgender geſtalt klar wird: N iſt das Mittel von KL, wie erſt be- wieſen worden/ und/ aus gleichem Grund/ M das Mittel von EF; derowegen/ weil EF und KL (als gegen uͤber ſtehende Seiten des gleichlauffend-ſeitigen Vierekkes KF) einan- der gleich ſind/ nach dem 34ſten des I. B. ſo muͤſſen auch MF und NL einander gleich/ und folgends (Krafft des 33ſten im I. B.) MN und FL gleichlauffen. Es iſt aber auch HA gleichlauffend mit FL, Laut obiger Vorbereitung/ derohalben muͤſſen auch MN und HA gleichlauffen/ nach dem 30ſten des I. B. Der XIV. Lehrſatz. Eines jeden Dreyekkes Gewicht-Mittel iſt der jenige Punct/ in welchem die/ aus denen Winkeln auf die Mitte derer gegen- uͤber ſtehenden Seiten gezogene/ Lineen zuſammen kommen. Beweiß.

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 248. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/276>, abgerufen am 11.05.2024.

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