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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch von derer Flächen
im VI. B. so verhält sich auch das ganze Dreyekk ABC gegen allen beyder-
seits stehenden kleinen Dreyekken zusammen/ wie CA gegen AM, nach dem
12ten des V. B. Nun aber CA gegen AM eine grössere Verhältnis als UR
gegen RH, (dann CA gegen AM verhält sich wie UR gegen RP, Krafft nach-
gesetzter 4. Anmerkung; UR aber hat gegen RP eine grössere Verhältnis als
gegen RH, vermög des 8ten im V. B.) Derowegen hat auch das Dreyekk
ABC, und folgends/ zerteihlet/ auch die gleichlauffend-seitige Vierekke MN,
TX, FO zusammen/ gegen besagten übrigen Dreyekken eine grössere Verhält-
nis als UR gegen RH, nach dem 17den des V. B. Solche grössere Verhält-
nis aber sey/ zum Exempel/ die jenige/ welche da hat QH gegen HR. Welchem
nach dann wir nun haben eine Grösse ABC, deren Schwäre-Punct (Krafft
obigen Satzes) ist H, und von welcher ist hinweg genommen die/ aus obbe-
rührten gleichlauffend-seitigen Figuren zusammgesetzte Grösse/ deren Schwäre-
Punct ist R. Muß derowegen (Krafft obigen VIII. Lehrsatzes) die übrige/
aus denen beyderseits übrigen Dreyekken zusammgesetzte/ Grösse ihren Schwäre-
Punct in der verlängerten Lini RH, und zwar in dem Punct/ welcher solche Ver-
längerung also abschneidet/ daß sie gegen RH sich eben so verhalte/ wie die ab-
genommene Grösse der übrigen; nehmlich (vermög vorbesagtens) in dem
Punct Q. Solches aber ist unmöglich. Dann/ wann man durch Q eine mit
AD gleichlauffende Lini ziehet/ so ist offenbar/ daß alle Teihle der übrigen
Grösse auf eine Seite/ nehmlich disseits/ kein einiger aber jenseit des Puncten Q
falle/ daß es also unmöglich ihr Schwäre-Punct oder Gewicht-Mittel seyn
kan/ vermög obiger 8. Forderung. Dieweil nun etwas unmöglichs folget/
wann man des ganzen Dreyekkes ABC Gewicht-Mittel ausser der Lini AD
setzet/ so muß solches nohtwendig in besagter Lini seyn; Welches hat sollen be-
wiesen werden.

Anmerkungen.

1. Daß EF, GK, LM, &c. mit BC gleichlauffen/ erweiset Eutokius also: Dieweil
BO und CZ (vermög obiger Vorbereitung) wie auch BD und CD, einander gleich sind/
so verhält sich/ wie BD gegen BO, also CD gegen CZ, und zerteihlet/ wie DO gegen OB,
also DZ gegen ZG, Krafft des 17den im V. B. Nun aber (weil OE mit DA gleichlauf-
fend ist) verhält sich wie DO gegen OB, also AE gegen EB, und gleichfalls/ wie DZ gegen
ZC, also AF gegen FC, nach dem 2ten des VI. B. Derowegen verhält sich auch (ver-
mög des 11ten im V. B.) wie AE gegen EB, also AF gegen FC, und ist daher nohtwen-
dig EF gleichlauffend mit BC, Krafft des andern Teihls des 2ten im VI. B. Eben die-
ses nun wird auch von denen andern auf gleiche Weise erwiesen.

2. Schliesset Archimedes/ weil die Vierekke MN, KX, FO, jedes absonderlich sei-
nen Schwäre-Punct auf der Lini SD hat/ so müsse auch die/ aus allen zusammgesetzte/ Figur
ihren Schwäre-Punct in der Lini SD haben; Welches dann/ für sich selbsten zwar bekannt/
jedennoch folgender Gestalt kan erzwungen werden: Weilen die Lini ST durch beyder unglei-
cher Grössen MN und KX ihre Schwäre-Puncten gehet/ so folget/ daß/ wann gedachte Li-
ni ST (zum Exempel in I) also geteihlet wird/ daß SI gegen IT sich verhält/ wie KX gegen
MN, alsdann besagter Punct I der/ aus beyden zusammgesetzten Grösse MX ihr Schwäre-
Punct sey/ und also in die Lini ST falle/ vermög obiger VI. und VII. Lehrsätze. Glei-
ches wird erwiesen von der ganzen Grösse MO, wann MX und FO als zwey ungleiche Grös-
sen gegen einander gehalten werden.

3. Drittens setzt Archimedes/ das Dreyekk ADC verhalte sich gegen die kleine Drey-
ekke AM, MK, KF, FC, &c. zusammen/ wie CA gegen AM; Welches wir also klar ma-
chen: Weil alle Teihle der Lini DC einander gleich/ und die ausrechten Lineen ZF, &c. gleich-
lauffend sind/ vermög obiger Vorbereitung/ so müssen auch FC, KF, MK, AM einander
gleich seyn/ vermög des 2ten im VI. Gleicher Weise müssen/ wegen Gleichlauffung derer

Lineen

Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen
im VI. B. ſo verhaͤlt ſich auch das ganze Dreyekk ABC gegen allen beyder-
ſeits ſtehenden kleinen Dreyekken zuſammen/ wie CA gegen AM, nach dem
12ten des V. B. Nun aber CA gegen AM eine groͤſſere Verhaͤltnis als UR
gegen RH, (dann CA gegen AM verhaͤlt ſich wie UR gegen RP, Krafft nach-
geſetzter 4. Anmerkung; UR aber hat gegen RP eine groͤſſere Verhaͤltnis als
gegen RH, vermoͤg des 8ten im V. B.) Derowegen hat auch das Dreyekk
ABC, und folgends/ zerteihlet/ auch die gleichlauffend-ſeitige Vierekke MN,
TX, FO zuſammen/ gegen beſagten uͤbrigen Dreyekken eine groͤſſere Verhaͤlt-
nis als UR gegen RH, nach dem 17den des V. B. Solche groͤſſere Verhaͤlt-
nis aber ſey/ zum Exempel/ die jenige/ welche da hat QH gegen HR. Welchem
nach dann wir nun haben eine Groͤſſe ABC, deren Schwaͤre-Punct (Krafft
obigen Satzes) iſt H, und von welcher iſt hinweg genommen die/ aus obbe-
ruͤhrten gleichlauffend-ſeitigen Figuren zuſammgeſetzte Groͤſſe/ deren Schwaͤre-
Punct iſt R. Muß derowegen (Krafft obigen VIII. Lehrſatzes) die uͤbrige/
aus denen beyderſeits uͤbrigen Dreyekken zuſam̃geſetzte/ Groͤſſe ihren Schwaͤre-
Punct in der verlaͤngerten Lini RH, und zwar in dem Punct/ welcher ſolche Ver-
laͤngerung alſo abſchneidet/ daß ſie gegen RH ſich eben ſo verhalte/ wie die ab-
genommene Groͤſſe der uͤbrigen; nehmlich (vermoͤg vorbeſagtens) in dem
Punct Q. Solches aber iſt unmoͤglich. Dann/ wann man durch Q eine mit
AD gleichlauffende Lini ziehet/ ſo iſt offenbar/ daß alle Teihle der uͤbrigen
Groͤſſe auf eine Seite/ nehmlich diſſeits/ kein einiger aber jenſeit des Puncten Q
falle/ daß es alſo unmoͤglich ihr Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn
kan/ vermoͤg obiger 8. Forderung. Dieweil nun etwas unmoͤglichs folget/
wann man des ganzen Dreyekkes ABC Gewicht-Mittel auſſer der Lini AD
ſetzet/ ſo muß ſolches nohtwendig in beſagter Lini ſeyn; Welches hat ſollen be-
wieſen werden.

Anmerkungen.

1. Daß EF, GK, LM, &c. mit BC gleichlauffen/ erweiſet Eutokius alſo: Dieweil
BO und CZ (vermoͤg obiger Vorbereitung) wie auch BD und CD, einander gleich ſind/
ſo verhaͤlt ſich/ wie BD gegen BO, alſo CD gegen CZ, und zerteihlet/ wie DO gegen OB,
alſo DZ gegen ZG, Krafft des 17den im V. B. Nun aber (weil OE mit DA gleichlauf-
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moͤg des 11ten im V. B.) wie AE gegen EB, alſo AF gegen FC, und iſt daher nohtwen-
dig EF gleichlauffend mit BC, Krafft des andern Teihls des 2ten im VI. B. Eben die-
ſes nun wird auch von denen andern auf gleiche Weiſe erwieſen.

2. Schlieſſet Archimedes/ weil die Vierekke MN, KX, FO, jedes abſonderlich ſei-
nen Schwaͤre-Punct auf der Lini SD hat/ ſo muͤſſe auch die/ aus allen zuſammgeſetzte/ Figur
ihren Schwaͤre-Punct in der Lini SD haben; Welches dann/ fuͤr ſich ſelbſten zwar bekannt/
jedennoch folgender Geſtalt kan erzwungen werden: Weilen die Lini ST durch beyder unglei-
cher Groͤſſen MN und KX ihre Schwaͤre-Puncten gehet/ ſo folget/ daß/ wann gedachte Li-
ni ST (zum Exempel in I) alſo geteihlet wird/ daß SI gegen IT ſich verhaͤlt/ wie KX gegen
MN, alsdann beſagter Punct I der/ aus beyden zuſammgeſetzten Groͤſſe MX ihr Schwaͤre-
Punct ſey/ und alſo in die Lini ST falle/ vermoͤg obiger VI. und VII. Lehrſaͤtze. Glei-
ches wird erwieſen von der ganzen Groͤſſe MO, wann MX und FO als zwey ungleiche Groͤſ-
ſen gegen einander gehalten werden.

3. Drittens ſetzt Archimedes/ das Dreyekk ADC verhalte ſich gegen die kleine Drey-
ekke AM, MK, KF, FC, &c. zuſammen/ wie CA gegen AM; Welches wir alſo klar ma-
chen: Weil alle Teihle der Lini DC einander gleich/ und die auſrechten Lineen ZF, &c. gleich-
lauffend ſind/ vermoͤg obiger Vorbereitung/ ſo muͤſſen auch FC, KF, MK, AM einander
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[246/0274] Archimedis Erſtes Buch von derer Flaͤchen im VI. B. ſo verhaͤlt ſich auch das ganze Dreyekk ABC gegen allen beyder- ſeits ſtehenden kleinen Dreyekken zuſammen/ wie CA gegen AM, nach dem 12ten des V. B. Nun aber CA gegen AM eine groͤſſere Verhaͤltnis als UR gegen RH, (dann CA gegen AM verhaͤlt ſich wie UR gegen RP, Krafft nach- geſetzter 4. Anmerkung; UR aber hat gegen RP eine groͤſſere Verhaͤltnis als gegen RH, vermoͤg des 8ten im V. B.) Derowegen hat auch das Dreyekk ABC, und folgends/ zerteihlet/ auch die gleichlauffend-ſeitige Vierekke MN, TX, FO zuſammen/ gegen beſagten uͤbrigen Dreyekken eine groͤſſere Verhaͤlt- nis als UR gegen RH, nach dem 17den des V. B. Solche groͤſſere Verhaͤlt- nis aber ſey/ zum Exempel/ die jenige/ welche da hat QH gegen HR. Welchem nach dann wir nun haben eine Groͤſſe ABC, deren Schwaͤre-Punct (Krafft obigen Satzes) iſt H, und von welcher iſt hinweg genommen die/ aus obbe- ruͤhrten gleichlauffend-ſeitigen Figuren zuſammgeſetzte Groͤſſe/ deren Schwaͤre- Punct iſt R. Muß derowegen (Krafft obigen VIII. Lehrſatzes) die uͤbrige/ aus denen beyderſeits uͤbrigen Dreyekken zuſam̃geſetzte/ Groͤſſe ihren Schwaͤre- Punct in der verlaͤngerten Lini RH, und zwar in dem Punct/ welcher ſolche Ver- laͤngerung alſo abſchneidet/ daß ſie gegen RH ſich eben ſo verhalte/ wie die ab- genommene Groͤſſe der uͤbrigen; nehmlich (vermoͤg vorbeſagtens) in dem Punct Q. Solches aber iſt unmoͤglich. Dann/ wann man durch Q eine mit AD gleichlauffende Lini ziehet/ ſo iſt offenbar/ daß alle Teihle der uͤbrigen Groͤſſe auf eine Seite/ nehmlich diſſeits/ kein einiger aber jenſeit des Puncten Q falle/ daß es alſo unmoͤglich ihr Schwaͤre-Punct oder Gewicht-Mittel ſeyn kan/ vermoͤg obiger 8. Forderung. Dieweil nun etwas unmoͤglichs folget/ wann man des ganzen Dreyekkes ABC Gewicht-Mittel auſſer der Lini AD ſetzet/ ſo muß ſolches nohtwendig in beſagter Lini ſeyn; Welches hat ſollen be- wieſen werden. Anmerkungen. 1. Daß EF, GK, LM, &c. mit BC gleichlauffen/ erweiſet Eutokius alſo: Dieweil BO und CZ (vermoͤg obiger Vorbereitung) wie auch BD und CD, einander gleich ſind/ ſo verhaͤlt ſich/ wie BD gegen BO, alſo CD gegen CZ, und zerteihlet/ wie DO gegen OB, alſo DZ gegen ZG, Krafft des 17den im V. B. Nun aber (weil OE mit DA gleichlauf- fend iſt) verhaͤlt ſich wie DO gegen OB, alſo AE gegen EB, und gleichfalls/ wie DZ gegen ZC, alſo AF gegen FC, nach dem 2ten des VI. B. Derowegen verhaͤlt ſich auch (ver- moͤg des 11ten im V. B.) wie AE gegen EB, alſo AF gegen FC, und iſt daher nohtwen- dig EF gleichlauffend mit BC, Krafft des andern Teihls des 2ten im VI. B. Eben die- ſes nun wird auch von denen andern auf gleiche Weiſe erwieſen. 2. Schlieſſet Archimedes/ weil die Vierekke MN, KX, FO, jedes abſonderlich ſei- nen Schwaͤre-Punct auf der Lini SD hat/ ſo muͤſſe auch die/ aus allen zuſammgeſetzte/ Figur ihren Schwaͤre-Punct in der Lini SD haben; Welches dann/ fuͤr ſich ſelbſten zwar bekannt/ jedennoch folgender Geſtalt kan erzwungen werden: Weilen die Lini ST durch beyder unglei- cher Groͤſſen MN und KX ihre Schwaͤre-Puncten gehet/ ſo folget/ daß/ wann gedachte Li- ni ST (zum Exempel in I) alſo geteihlet wird/ daß SI gegen IT ſich verhaͤlt/ wie KX gegen MN, alsdann beſagter Punct I der/ aus beyden zuſammgeſetzten Groͤſſe MX ihr Schwaͤre- Punct ſey/ und alſo in die Lini ST falle/ vermoͤg obiger VI. und VII. Lehrſaͤtze. Glei- ches wird erwieſen von der ganzen Groͤſſe MO, wann MX und FO als zwey ungleiche Groͤſ- ſen gegen einander gehalten werden. 3. Drittens ſetzt Archimedes/ das Dreyekk ADC verhalte ſich gegen die kleine Drey- ekke AM, MK, KF, FC, &c. zuſammen/ wie CA gegen AM; Welches wir alſo klar ma- chen: Weil alle Teihle der Lini DC einander gleich/ und die auſrechten Lineen ZF, &c. gleich- lauffend ſind/ vermoͤg obiger Vorbereitung/ ſo muͤſſen auch FC, KF, MK, AM einander gleich ſeyn/ vermoͤg des 2ten im VI. Gleicher Weiſe muͤſſen/ wegen Gleichlauffung derer Lineen

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 246. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/274>, abgerufen am 11.05.2024.