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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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wiederumb nach Belieben/ eine andere gleichlauffende/ bd, geführet wird/ welche beyde Un-
berührende in e und f durchschneidet; daß alsdann das Rechtekk aus eb in bf, oder aus fd
in de, so wol der Vierung von gc als auch der Vierung von gp gleich sey: also daß schließ-
lichen beyde Vierungen gc und gp, und folgends auch die Lineen gc und gp einander gleich
seyn müssen. Welches dann anderst nichts ist/ als daß jede gerade/ von einer Hyperbel auf die
andere durch den Mittelpunct gezogene/ Lini in gedachtem Mittelpunct halbgeteihlet werde.

2. Folge.

So erhellet anch/ daß einer jeden/ durch eine oder durch entgegen-gesetzte Hyperbolen
gezogenen/ geraden Lini Stükke oder Teihle/ so zwischen der Hyperbel und denen Unberühren-
den begriffen sind/ einander gleich seyen. Dann/ so man nach Belieben ziehet bd, welche die
Unberührende betreffen in e und f, dieweil (vermög dieser fünften Betrachtung und
des 16den im VI.) bf gegen df sich verhält/ wie de gegen be, so wird auch zerteihlet
(oder/ in entgegen-gesetzten Hyperbolen/ zusammgesetzet) bd gegen df, wie db, das ist/ eben
dieselbe bd, gegen be sich verhalten/ Krafft des 17. und 18den im V. und also (vermög
des 9ten im selben B.) fd und be, wie auch folgends/ bf und de einander gleich seyn.

3. Folge.

Daher auch zugleich gewiß wird/ daß die jenige gerade Lini/ welche zwey Puncten/ ent-
weder in einer oder in zweyen entgegen-gesetzten Hyperbolen/ zusammenziehet/ sonsten mit ih-
rer Puncten keinem in der Hyperbel sey. Dann/ wann ausser d und b noch ein anderer Punct
der Lini db, zum Exempel x, in der Hyperbel wäre/ so müste (vermög vorhergehender
2. Folge) xf dem be, das ist/ dem df, nehmlich das Teihl seinem ganzen/ gleich seyn: Wel-
ches aber ungereimt ist.

4. Folge.

Leichtlich aber ist zu sehen/ daß auch umbgekehrt die Waarheit gegenwärtiger Betrach-
tung gewiß sey: daß nehmlich bey so beschaffenen Sachen/ und wann die Rechtekke aus eb
in bf und aus gc in ch einander gleich sind/ und ein Punct von denen beyden b und c in der
Hyperbel ist/ auch der andere in eben derselben/ oder in der entgegen-gesetzten Hyperbel sey/
deren unberührende Lineen ae und af sind. Dann daher/ weil die Rechtekke ebf und gch
einander gleich sind/ wird bewiesen werden/ daß auch die Rechtekke aib und akc einander
gleich seyen/ allermassen wie oben dessen Wiederkehr erwiesen worden. Derowegen/ wann
der Punct b in der Hyperbel ist/ wird auch der Punct in eben derselben/ oder in der entgegen-
gesetzten Hyperbel seyn/ vermög obiger dritten Betrachtung. Eben dieses aber soll auch
von zweyen Puncten in einer Lini/ wie b und d, gesagt seyn. Ja eben dasselbe folget auch
von solchen zweyen Puncten in einer Lini/ wann gesetzet ist/ daß sie gleichweit von denen un-
berührenden Lineen stehen. Dann/ wann be und df gleich sind/ und man beyderseits darzu
nimmet bd, oder in entgegen-gesetzten Hyperbolen bf und de, so wird das Rechtekk ebf
dem Rechtekk fde gleich seyn.

5. Folge.

Es erhellet auch/ daß die jenige/ aus dem Mittelpunct lauffende/ Lini/ welche eine/ ent-
weder nur in einer/ oder in entgegen-gesetzten Hyperbolen/ gezogene/ halbteihlet/ auch alle/
dieser gleichlauffende/ halbteihle. Zum Exempel/ wann an die Lini cp halbteihlet/ mit
welcher bd gleich-lauffet/ und man denen beyden gleichen Lineen np und nc die beyde/ auch
gleiche/ ph und cg entweder zusetzet (wie in I. F.) oder benimmet (wie in II. F.) so werden
nh und ng, und also auch (Krafft des 2. im VI. B.) oe, of, und noch weiter (so
man abermal die beyde gleiche be, df darzu oder davon thut) auch ob und od, einander
gleich seyn.

Es werden aber solche/ aus dem Mittelpunct durch die Hyperbel ge-
zogene Lineen (wie ao in der I. F.) eingefangene Durchmesser (interceptae
diametri) oder schlechter dings Durchmesser: die aber/ welche aus dem
Mittelpunct zwischen zweyen entgegen-gesetzten Hyperbolen gezogen sind
(wie ao in der II. F.) die andern Durchmesser: die/ von ihnen halbgeteihlte/
gleichlauffende aber Ordentlich-gezogene genennet. Und wann diese Or-
dentlich-gezogene von denen Durchmessern winkelrecht durchschnitten wer-

den/

wiederumb nach Belieben/ eine andere gleichlauffende/ bd, gefuͤhret wird/ welche beyde Un-
beruͤhrende in e und f durchſchneidet; daß alsdann das Rechtekk aus eb in bf, oder aus fd
in de, ſo wol der Vierung von gc als auch der Vierung von gp gleich ſey: alſo daß ſchließ-
lichen beyde Vierungen gc und gp, und folgends auch die Lineen gc und gp einander gleich
ſeyn muͤſſen. Welches dann anderſt nichts iſt/ als daß jede gerade/ von einer Hyperbel auf die
andere durch den Mittelpunct gezogene/ Lini in gedachtem Mittelpunct halbgeteihlet werde.

2. Folge.

So erhellet anch/ daß einer jeden/ durch eine oder durch entgegen-geſetzte Hyperbolen
gezogenen/ geraden Lini Stuͤkke oder Teihle/ ſo zwiſchen der Hyperbel und denen Unberuͤhren-
den begriffen ſind/ einander gleich ſeyen. Dann/ ſo man nach Belieben ziehet bd, welche die
Unberuͤhrende betreffen in e und f, dieweil (vermoͤg dieſer fuͤnften Betrachtung und
des 16den im VI.) bf gegen df ſich verhaͤlt/ wie de gegen be, ſo wird auch zerteihlet
(oder/ in entgegen-geſetzten Hyperbolen/ zuſammgeſetzet) bd gegen df, wie db, das iſt/ eben
dieſelbe bd, gegen be ſich verhalten/ Krafft des 17. und 18den im V. und alſo (vermoͤg
des 9ten im ſelben B.) fd und be, wie auch folgends/ bf und de einander gleich ſeyn.

3. Folge.

Daher auch zugleich gewiß wird/ daß die jenige gerade Lini/ welche zwey Puncten/ ent-
weder in einer oder in zweyen entgegen-geſetzten Hyperbolen/ zuſammenziehet/ ſonſten mit ih-
rer Puncten keinem in der Hyperbel ſey. Dann/ wann auſſer d und b noch ein anderer Punct
der Lini db, zum Exempel x, in der Hyperbel waͤre/ ſo muͤſte (vermoͤg vorhergehender
2. Folge) xf dem be, das iſt/ dem df, nehmlich das Teihl ſeinem ganzen/ gleich ſeyn: Wel-
ches aber ungereimt iſt.

4. Folge.

Leichtlich aber iſt zu ſehen/ daß auch umbgekehrt die Waarheit gegenwaͤrtiger Betrach-
tung gewiß ſey: daß nehmlich bey ſo beſchaffenen Sachen/ und wann die Rechtekke aus eb
in bf und aus gc in ch einander gleich ſind/ und ein Punct von denen beyden b und c in der
Hyperbel iſt/ auch der andere in eben derſelben/ oder in der entgegen-geſetzten Hyperbel ſey/
deren unberuͤhrende Lineen ae und af ſind. Dann daher/ weil die Rechtekke ebf und gch
einander gleich ſind/ wird bewieſen werden/ daß auch die Rechtekke aib und akc einander
gleich ſeyen/ allermaſſen wie oben deſſen Wiederkehr erwieſen worden. Derowegen/ wann
der Punct b in der Hyperbel iſt/ wird auch der Punct in eben derſelben/ oder in der entgegen-
geſetzten Hyperbel ſeyn/ vermoͤg obiger dritten Betrachtung. Eben dieſes aber ſoll auch
von zweyen Puncten in einer Lini/ wie b und d, geſagt ſeyn. Ja eben daſſelbe folget auch
von ſolchen zweyen Puncten in einer Lini/ wann geſetzet iſt/ daß ſie gleichweit von denen un-
beruͤhrenden Lineen ſtehen. Dann/ wann be und df gleich ſind/ und man beyderſeits darzu
nimmet bd, oder in entgegen-geſetzten Hyperbolen bf und de, ſo wird das Rechtekk ebf
dem Rechtekk fde gleich ſeyn.

5. Folge.

Es erhellet auch/ daß die jenige/ aus dem Mittelpunct lauffende/ Lini/ welche eine/ ent-
weder nur in einer/ oder in entgegen-geſetzten Hyperbolen/ gezogene/ halbteihlet/ auch alle/
dieſer gleichlauffende/ halbteihle. Zum Exempel/ wann an die Lini cp halbteihlet/ mit
welcher bd gleich-lauffet/ und man denen beyden gleichen Lineen np und nc die beyde/ auch
gleiche/ ph und cg entweder zuſetzet (wie in I. F.) oder benimmet (wie in II. F.) ſo werden
nh und ng, und alſo auch (Krafft des 2. im VI. B.) oe, of, und noch weiter (ſo
man abermal die beyde gleiche be, df darzu oder davon thut) auch ob und od, einander
gleich ſeyn.

Es werden aber ſolche/ aus dem Mittelpunct durch die Hyperbel ge-
zogene Lineen (wie ao in der I. F.) eingefangene Durchmeſſer (interceptæ
diametri) oder ſchlechter dings Durchmeſſer: die aber/ welche aus dem
Mittelpunct zwiſchen zweyen entgegen-geſetzten Hyperbolen gezogen ſind
(wie ao in der II. F.) die andern Durchmeſſer: die/ von ihnen halbgeteihlte/
gleichlauffende aber Ordentlich-gezogene genennet. Und wann dieſe Or-
dentlich-gezogene von denen Durchmeſſern winkelrecht durchſchnitten wer-

den/
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[207/0235] wiederumb nach Belieben/ eine andere gleichlauffende/ bd, gefuͤhret wird/ welche beyde Un- beruͤhrende in e und f durchſchneidet; daß alsdann das Rechtekk aus eb in bf, oder aus fd in de, ſo wol der Vierung von gc als auch der Vierung von gp gleich ſey: alſo daß ſchließ- lichen beyde Vierungen gc und gp, und folgends auch die Lineen gc und gp einander gleich ſeyn muͤſſen. Welches dann anderſt nichts iſt/ als daß jede gerade/ von einer Hyperbel auf die andere durch den Mittelpunct gezogene/ Lini in gedachtem Mittelpunct halbgeteihlet werde. 2. Folge. So erhellet anch/ daß einer jeden/ durch eine oder durch entgegen-geſetzte Hyperbolen gezogenen/ geraden Lini Stuͤkke oder Teihle/ ſo zwiſchen der Hyperbel und denen Unberuͤhren- den begriffen ſind/ einander gleich ſeyen. Dann/ ſo man nach Belieben ziehet bd, welche die Unberuͤhrende betreffen in e und f, dieweil (vermoͤg dieſer fuͤnften Betrachtung und des 16den im VI.) bf gegen df ſich verhaͤlt/ wie de gegen be, ſo wird auch zerteihlet (oder/ in entgegen-geſetzten Hyperbolen/ zuſammgeſetzet) bd gegen df, wie db, das iſt/ eben dieſelbe bd, gegen be ſich verhalten/ Krafft des 17. und 18den im V. und alſo (vermoͤg des 9ten im ſelben B.) fd und be, wie auch folgends/ bf und de einander gleich ſeyn. 3. Folge. Daher auch zugleich gewiß wird/ daß die jenige gerade Lini/ welche zwey Puncten/ ent- weder in einer oder in zweyen entgegen-geſetzten Hyperbolen/ zuſammenziehet/ ſonſten mit ih- rer Puncten keinem in der Hyperbel ſey. Dann/ wann auſſer d und b noch ein anderer Punct der Lini db, zum Exempel x, in der Hyperbel waͤre/ ſo muͤſte (vermoͤg vorhergehender 2. Folge) xf dem be, das iſt/ dem df, nehmlich das Teihl ſeinem ganzen/ gleich ſeyn: Wel- ches aber ungereimt iſt. 4. Folge. Leichtlich aber iſt zu ſehen/ daß auch umbgekehrt die Waarheit gegenwaͤrtiger Betrach- tung gewiß ſey: daß nehmlich bey ſo beſchaffenen Sachen/ und wann die Rechtekke aus eb in bf und aus gc in ch einander gleich ſind/ und ein Punct von denen beyden b und c in der Hyperbel iſt/ auch der andere in eben derſelben/ oder in der entgegen-geſetzten Hyperbel ſey/ deren unberuͤhrende Lineen ae und af ſind. Dann daher/ weil die Rechtekke ebf und gch einander gleich ſind/ wird bewieſen werden/ daß auch die Rechtekke aib und akc einander gleich ſeyen/ allermaſſen wie oben deſſen Wiederkehr erwieſen worden. Derowegen/ wann der Punct b in der Hyperbel iſt/ wird auch der Punct in eben derſelben/ oder in der entgegen- geſetzten Hyperbel ſeyn/ vermoͤg obiger dritten Betrachtung. Eben dieſes aber ſoll auch von zweyen Puncten in einer Lini/ wie b und d, geſagt ſeyn. Ja eben daſſelbe folget auch von ſolchen zweyen Puncten in einer Lini/ wann geſetzet iſt/ daß ſie gleichweit von denen un- beruͤhrenden Lineen ſtehen. Dann/ wann be und df gleich ſind/ und man beyderſeits darzu nimmet bd, oder in entgegen-geſetzten Hyperbolen bf und de, ſo wird das Rechtekk ebf dem Rechtekk fde gleich ſeyn. 5. Folge. Es erhellet auch/ daß die jenige/ aus dem Mittelpunct lauffende/ Lini/ welche eine/ ent- weder nur in einer/ oder in entgegen-geſetzten Hyperbolen/ gezogene/ halbteihlet/ auch alle/ dieſer gleichlauffende/ halbteihle. Zum Exempel/ wann an die Lini cp halbteihlet/ mit welcher bd gleich-lauffet/ und man denen beyden gleichen Lineen np und nc die beyde/ auch gleiche/ ph und cg entweder zuſetzet (wie in I. F.) oder benimmet (wie in II. F.) ſo werden nh und ng, und alſo auch (Krafft des 2. im VI. B.) oe, of, und noch weiter (ſo man abermal die beyde gleiche be, df darzu oder davon thut) auch ob und od, einander gleich ſeyn. Es werden aber ſolche/ aus dem Mittelpunct durch die Hyperbel ge- zogene Lineen (wie ao in der I. F.) eingefangene Durchmeſſer (interceptæ diametri) oder ſchlechter dings Durchmeſſer: die aber/ welche aus dem Mittelpunct zwiſchen zweyen entgegen-geſetzten Hyperbolen gezogen ſind (wie ao in der II. F.) die andern Durchmeſſer: die/ von ihnen halbgeteihlte/ gleichlauffende aber Ordentlich-gezogene genennet. Und wann dieſe Or- dentlich-gezogene von denen Durchmeſſern winkelrecht durchſchnitten wer- den/

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 207. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/235>, abgerufen am 05.05.2024.