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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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oder gleiche Winkel sind/ und also/ so man den gemeinen Winkel hbi entweder (in der II. F.)
darzu/ oder (wie in der III. und IV.) darvon thut/ der Winkel dbh dem Winkel ibg, das
ist (vermög des 29sten im I.) dem Winkel bgk, gleich wird; und aber auch (aus gleicher
Ursach) der Winkel dbi; das ist/ bdh dem Winkel bgk gleich ist; so werden (Laut
des 32sten im I. B.) die beyde Dreyekke bdh und bkg gleichwinklicht seyn/ und dannen-
hero (Krafft des 4ten im VI.) wie bd gegen dh oder bi, das ist (vermög des 34sten
im I.) gegen gk, also gk gegen kb sich verhalten; und folgends/ wie oben/ (Laut des
17den im VI.) die Vierung von gk dem Rechtekk aus bd in bk gleich seyn. Welches
zu beweisen war.

Aus welchem Beweiß dann schließlichen erscheinet/ daß die oberklärter
massen beschriebene krumme Lini eben die jenige sey/ welche von denen Alten
eine Parabel (zu teutsch/ eine vergleichende Kegel-Lini) genennet worden;
und daß folgends der Punct b ihr Scheitelpunct/ die bewegliche Lini im
ersten Stand/ nehmlich dk, ihr Durchmesser oder (wann der bewegliche
Winkel gerad ist) Achse; die Zwischenweite bd der Mitmesser (parameter
oder der Alten so genanntes Latus rectum, welches ein Stükk vom Durch-
messer oder von der Achse ist) und endlich die mit ac gleichlauffende Lineen
gk, &c. eben die jenige seyen/ welche bey denen Alten die Ordentlich-gezo-
gene (ordinatim applicatae) geheissen haben: welche alte Nahmen dann sie
auch deswegen ferner haben und behalten sollen.

1. Folge.

Weil pg und hg einander allezeit nur in dem einigen Punct g durchschneiden/ so ist of-
fenbar/ daß alle mit dem Durchmesser gleichlauffende Lineen die Parabel nur in einem eini-
gen Punct betreffen.

2. Folge.

Und weil/ je weiter die bewegliche Lini hg von dem Scheitelpunct b sich entfernet/ der
Winkel gbi immer grösser wird/ erhellet/ daß jede/ von dem Scheitelpunct zu einem jeden
andern Punct der Parabel gezogene/ Lini (wie zum Exempel bg) ganz innerhalb der Parabel/
ihre Verlängerung/ gr, aber ausserhalb derselben falle.

3. Folge.

Es erscheinet über dieses/ daß der Winkel gbk zwar immer fort und fort enger/ und klei-
ner als jeder fürgegebener geradlinischer Winkel werden; der Schenkel bg aber dannoch nim-
mermehr gar auf die Lini bk kommen/ viel weniger über dieselbe hinüber schreiten könne.
Dann wann dieses geschehen solte/ so müsten (weil die Winkel hbg und hdb einander gleich
sind) bh und ef (vermög des 29sten im I. B.) einsten gleichlauffend werden; die doch
(Krafft obiger Zubereitung) einander fort und fort durchschneiden müssen.

4. Folge.

Jst dannenhero gewiß/ daß alle gerade Lineen/ welche einer Parabel Durchmesser oder
Achse durchschneiden/ endlich (wann sie verlängert werden) die Parabel betreffen müssen.
Dann es durchschneide/ zum Exempel/ (in obiger I. und III. F.) die Lini kx den Durchmesser
bkm, bg aber durchschneide die Parabel (nach vorhergehender 3. Folge) also in g, daß
der Winkel gbk kleiner sey als der gegebene Winkel mkx; Welchem nach (weil kbg und
bkg kleiner als zwey gerade Winkel sind) die verlängerte Lini kx auf die verlängerte bg
nohtwendig treffen wird/ vermög des 13den Grundsatzes im I. B. Solches wird nun ge-
schehen entweder zwischen b und g, in welchem Fall dann (weil nach der 2. Folge bg ganz
innerhalb der Parabel ist) die verlängerte kx endlich auch die krumme Lini bg betreffen
muß; oder aber in dem Punct g selbsten/ und also abermal in der Parabel; oder endlich in
der Verlängerung gr, da dann kx nohtwendig zuvor durch die Parabel streichen muß/ weil
(Krafft der 2. Folge) gr ganz ausserhalb der Parabel fället.

5. Folge.

So ist auch offenbar/ daß alle ordentlich-gezogene/ die Parabel beyderseits betreffende/
Lineen von der Achse oder dem Durchmesser halbgeteihlet werden. Als zum Exempel/ wann

nmo

oder gleiche Winkel ſind/ und alſo/ ſo man den gemeinen Winkel hbi entweder (in der II. F.)
darzu/ oder (wie in der III. und IV.) darvon thut/ der Winkel dbh dem Winkel ibg, das
iſt (vermoͤg des 29ſten im I.) dem Winkel bgk, gleich wird; und aber auch (aus gleicher
Urſach) der Winkel dbi; das iſt/ bdh dem Winkel bgk gleich iſt; ſo werden (Laut
des 32ſten im I. B.) die beyde Dreyekke bdh und bkg gleichwinklicht ſeyn/ und dannen-
hero (Krafft des 4ten im VI.) wie bd gegen dh oder bi, das iſt (vermoͤg des 34ſten
im I.) gegen gk, alſo gk gegen kb ſich verhalten; und folgends/ wie oben/ (Laut des
17den im VI.) die Vierung von gk dem Rechtekk aus bd in bk gleich ſeyn. Welches
zu beweiſen war.

Aus welchem Beweiß dann ſchließlichen erſcheinet/ daß die oberklaͤrter
maſſen beſchriebene krumme Lini eben die jenige ſey/ welche von denen Alten
eine Parabel (zu teutſch/ eine vergleichende Kegel-Lini) genennet worden;
und daß folgends der Punct b ihr Scheitelpunct/ die bewegliche Lini im
erſten Stand/ nehmlich dk, ihr Durchmeſſer oder (wann der bewegliche
Winkel gerad iſt) Achſe; die Zwiſchenweite bd der Mitmeſſer (parameter
oder der Alten ſo genanntes Latus rectum, welches ein Stuͤkk vom Durch-
meſſer oder von der Achſe iſt) und endlich die mit ac gleichlauffende Lineen
gk, &c. eben die jenige ſeyen/ welche bey denen Alten die Ordentlich-gezo-
gene (ordinatim applicatæ) geheiſſen haben: welche alte Nahmen dann ſie
auch deswegen ferner haben und behalten ſollen.

1. Folge.

Weil pg und hg einander allezeit nur in dem einigen Punct g durchſchneiden/ ſo iſt of-
fenbar/ daß alle mit dem Durchmeſſer gleichlauffende Lineen die Parabel nur in einem eini-
gen Punct betreffen.

2. Folge.

Und weil/ je weiter die bewegliche Lini hg von dem Scheitelpunct b ſich entfernet/ der
Winkel gbi immer groͤſſer wird/ erhellet/ daß jede/ von dem Scheitelpunct zu einem jeden
andern Punct der Parabel gezogene/ Lini (wie zum Exempel bg) ganz innerhalb der Parabel/
ihre Verlaͤngerung/ gr, aber auſſerhalb derſelben falle.

3. Folge.

Es erſcheinet uͤber dieſes/ daß der Winkel gbk zwar immer fort und fort enger/ und klei-
ner als jeder fuͤrgegebener geradliniſcher Winkel werden; der Schenkel bg aber dannoch nim-
mermehr gar auf die Lini bk kommen/ viel weniger uͤber dieſelbe hinuͤber ſchreiten koͤnne.
Dann wann dieſes geſchehen ſolte/ ſo muͤſten (weil die Winkel hbg und hdb einander gleich
ſind) bh und ef (vermoͤg des 29ſten im I. B.) einſten gleichlauffend werden; die doch
(Krafft obiger Zubereitung) einander fort und fort durchſchneiden muͤſſen.

4. Folge.

Jſt dannenhero gewiß/ daß alle gerade Lineen/ welche einer Parabel Durchmeſſer oder
Achſe durchſchneiden/ endlich (wann ſie verlaͤngert werden) die Parabel betreffen muͤſſen.
Dann es durchſchneide/ zum Exempel/ (in obiger I. und III. F.) die Lini kx den Durchmeſſer
bkm, bg aber durchſchneide die Parabel (nach vorhergehender 3. Folge) alſo in g, daß
der Winkel gbk kleiner ſey als der gegebene Winkel mkx; Welchem nach (weil kbg und
bkg kleiner als zwey gerade Winkel ſind) die verlaͤngerte Lini kx auf die verlaͤngerte bg
nohtwendig treffen wird/ vermoͤg des 13den Grundſatzes im I. B. Solches wird nun ge-
ſchehen entweder zwiſchen b und g, in welchem Fall dann (weil nach der 2. Folge bg ganz
innerhalb der Parabel iſt) die verlaͤngerte kx endlich auch die krumme Lini bg betreffen
muß; oder aber in dem Punct g ſelbſten/ und alſo abermal in der Parabel; oder endlich in
der Verlaͤngerung gr, da dann kx nohtwendig zuvor durch die Parabel ſtreichen muß/ weil
(Krafft der 2. Folge) gr ganz auſſerhalb der Parabel faͤllet.

5. Folge.

So iſt auch offenbar/ daß alle ordentlich-gezogene/ die Parabel beyderſeits betreffende/
Lineen von der Achſe oder dem Durchmeſſer halbgeteihlet werden. Als zum Exempel/ wann

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[198/0226] oder gleiche Winkel ſind/ und alſo/ ſo man den gemeinen Winkel hbi entweder (in der II. F.) darzu/ oder (wie in der III. und IV.) darvon thut/ der Winkel dbh dem Winkel ibg, das iſt (vermoͤg des 29ſten im I.) dem Winkel bgk, gleich wird; und aber auch (aus gleicher Urſach) der Winkel dbi; das iſt/ bdh dem Winkel bgk gleich iſt; ſo werden (Laut des 32ſten im I. B.) die beyde Dreyekke bdh und bkg gleichwinklicht ſeyn/ und dannen- hero (Krafft des 4ten im VI.) wie bd gegen dh oder bi, das iſt (vermoͤg des 34ſten im I.) gegen gk, alſo gk gegen kb ſich verhalten; und folgends/ wie oben/ (Laut des 17den im VI.) die Vierung von gk dem Rechtekk aus bd in bk gleich ſeyn. Welches zu beweiſen war. Aus welchem Beweiß dann ſchließlichen erſcheinet/ daß die oberklaͤrter maſſen beſchriebene krumme Lini eben die jenige ſey/ welche von denen Alten eine Parabel (zu teutſch/ eine vergleichende Kegel-Lini) genennet worden; und daß folgends der Punct b ihr Scheitelpunct/ die bewegliche Lini im erſten Stand/ nehmlich dk, ihr Durchmeſſer oder (wann der bewegliche Winkel gerad iſt) Achſe; die Zwiſchenweite bd der Mitmeſſer (parameter oder der Alten ſo genanntes Latus rectum, welches ein Stuͤkk vom Durch- meſſer oder von der Achſe iſt) und endlich die mit ac gleichlauffende Lineen gk, &c. eben die jenige ſeyen/ welche bey denen Alten die Ordentlich-gezo- gene (ordinatim applicatæ) geheiſſen haben: welche alte Nahmen dann ſie auch deswegen ferner haben und behalten ſollen. 1. Folge. Weil pg und hg einander allezeit nur in dem einigen Punct g durchſchneiden/ ſo iſt of- fenbar/ daß alle mit dem Durchmeſſer gleichlauffende Lineen die Parabel nur in einem eini- gen Punct betreffen. 2. Folge. Und weil/ je weiter die bewegliche Lini hg von dem Scheitelpunct b ſich entfernet/ der Winkel gbi immer groͤſſer wird/ erhellet/ daß jede/ von dem Scheitelpunct zu einem jeden andern Punct der Parabel gezogene/ Lini (wie zum Exempel bg) ganz innerhalb der Parabel/ ihre Verlaͤngerung/ gr, aber auſſerhalb derſelben falle. 3. Folge. Es erſcheinet uͤber dieſes/ daß der Winkel gbk zwar immer fort und fort enger/ und klei- ner als jeder fuͤrgegebener geradliniſcher Winkel werden; der Schenkel bg aber dannoch nim- mermehr gar auf die Lini bk kommen/ viel weniger uͤber dieſelbe hinuͤber ſchreiten koͤnne. Dann wann dieſes geſchehen ſolte/ ſo muͤſten (weil die Winkel hbg und hdb einander gleich ſind) bh und ef (vermoͤg des 29ſten im I. B.) einſten gleichlauffend werden; die doch (Krafft obiger Zubereitung) einander fort und fort durchſchneiden muͤſſen. 4. Folge. Jſt dannenhero gewiß/ daß alle gerade Lineen/ welche einer Parabel Durchmeſſer oder Achſe durchſchneiden/ endlich (wann ſie verlaͤngert werden) die Parabel betreffen muͤſſen. Dann es durchſchneide/ zum Exempel/ (in obiger I. und III. F.) die Lini kx den Durchmeſſer bkm, bg aber durchſchneide die Parabel (nach vorhergehender 3. Folge) alſo in g, daß der Winkel gbk kleiner ſey als der gegebene Winkel mkx; Welchem nach (weil kbg und bkg kleiner als zwey gerade Winkel ſind) die verlaͤngerte Lini kx auf die verlaͤngerte bg nohtwendig treffen wird/ vermoͤg des 13den Grundſatzes im I. B. Solches wird nun ge- ſchehen entweder zwiſchen b und g, in welchem Fall dann (weil nach der 2. Folge bg ganz innerhalb der Parabel iſt) die verlaͤngerte kx endlich auch die krumme Lini bg betreffen muß; oder aber in dem Punct g ſelbſten/ und alſo abermal in der Parabel; oder endlich in der Verlaͤngerung gr, da dann kx nohtwendig zuvor durch die Parabel ſtreichen muß/ weil (Krafft der 2. Folge) gr ganz auſſerhalb der Parabel faͤllet. 5. Folge. So iſt auch offenbar/ daß alle ordentlich-gezogene/ die Parabel beyderſeits betreffende/ Lineen von der Achſe oder dem Durchmeſſer halbgeteihlet werden. Als zum Exempel/ wann nmo

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 198. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/226>, abgerufen am 26.11.2024.