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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch

Nun sondern zwar die Künstler diese beyde Lehr-Arten oftmals von einander ab/ und
bedienen sich meistenteihls allein der andern/ vorhin wann die Sache nicht gar schwer und
tief zu hohlen ist; je zu Zeiten hängen sie beyde aneinander/ wie wir oben bey etlichen Auf-
gaben schon gesehen haben: bißweilen setzen sie auch nur die erste/ weil aus derselben die
andere für sich selbsten fliesset/ wann man nur hindersich denen Fußstapfen nachgehet/ wel-
che man im Hergehen hinder sich gelassen. Und eben so hat es Archimedes/ in diesem an-
dern Beweiß seines VIII. Lehrsatzes/ auch gemachet/ allein damit vergnüget/ daß er die
Quelle gewiesen/ aus welchem das begehrte kan hergeleitet werden. Weil wir dann biß-
her in Erörterung derer Aufgaben zwar etliche/ in Beweisung derer Betrachtungen (Theore-
matum) aber noch kein Exempel gehabt einer solchen Wiederkehr; als wollen wir mit
Eutokio aus denen gefundenen Gründen Archimedis nunmehr rukkwerts/ der Grund-
setzenden Lehr-Art nach (methodo Synthetica) den obigen VIII. Lehrsatz nochmal also be-
weisen:

Jn dem 1. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß/ wann er nun beweise HF grösser
zu seyn als HG, alsdann dem ersten Teihl des Lehrsatzes ein Genügen geschehen sey. Sol
ches wird nun klar werden/ wann wir/ wo er aufgehöret/ anfangen/ und/ seinen Fußstapfen
nach/ immer hindersich gehen/ biß wir aufhören/ wo er angefangen hat/ nehmlich also:

Weil FH grösser ist als FG (wie am End der Grundforschung Archimedis schon
bewiesen worden) so ist das kommende aus der Vierung HC in die Höhe HF grösser/ als
das kommende aus eben derselben Vierung HC in die Höhe HG; und deswegen hat das
kommende aus der Vierung AH in die Höhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung
HC in die Höhe HF eine kleinere Verhältnis/ als gegen dem/ was kommt aus eben der-
selben Vierung HC in die Höhe HG (vermög des 9ten im V. B.) Wie sich aber ver-
hält das kommende aus der Vierung AH in die Höhe HG gegen dem kommenden aus der
Vierung HC in eben dieselbe Höhe HG, so verhält sich die Vierung AH gegen der Vie-
rung HC, aus dem 32sten des XI. Darumb hat das kommende aus der Vierung AH
in die Höhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Höhe HF eine klei-
nere Verhältnis/ als die Vierung AH gegen der Vierung HC, das ist/ als die gedoppelte
Verhältnis der Lini AH gegen der Lini HC. Nun aber ist erwiesen/ daß die Verhältnis
des kommenden aus der Vierung AH in die Höhe HG gegen dem kommenden aus der Vie-
rung HC in die Höhe HF, sey eben die/ welche da hat der Abschnitt BAD gegen dem Ab-
schnitt BCD; nnd die Verhältnis der Lini AH gegen HC, eben die/ welche da hat die
Fläche BAD gegen der Fläche BCD. Derowegen ist nunmehr richtig/ daß jener Abschnitt
gegen diesem eine grössere Verhältnis habe/ als die gedoppelte jener Fläche gegen dieser.
Welches fürs erste zu beweisen war.

Jn dem 2. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß das ganze Werk beruhe auf dem/ daß
LE kleiner sey als AH. Nach dem nun dieses ausser Zweiffel ist/ gehen wir rükklings also:

Weil LE kleiner ist als AH, so hat KL gegen LE eine grössere Verhältnis/ als eben
dieselbe KL gegen AH, nach dem 8ten des V. B. und zusammgesetzet/ KE gegen LE
eine grössere/ als KL sambt AH gegen AH. KE ist aber gleich CG und LE gleich HB.
Derowegen hat CG gegen HB eine grössere Verhältnis/ als KL sambt AH gegen AH;
und wechselweis/ CG gegen KL sambt AH eine grössere/ als HB gegen AH, das ist/ als
HC gegen HB. Und/ wieder wechselweis/ CG gegen HC ferner eine grössere/ als KL sambt
AH gegen HB; und zusammgesetzet/ GH gegen HC eine grössere/ als KL sambt AH sambt
HB (das ist/ als KE sambt AH) gegen HB; oder (weil KE und AF gleich sind) als HF
gegen HB; und/ wieder verwechselt/ GH gegen HF eine grössere Verhältnis/ als HC gegen
HB. Wie sich aber verhält HC gegen HB, also die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus
HB in HC, vermög des 1sten im VI. So hat demnach GH gegen HF eine grössere Ver-
hältnis/ als die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus HB in HC. Und (nach obiger
3. Anmerkung des vorigen Beweises) ist das kommende aus dem Rechtekk HBC in die
Höhe GH grösser als das kommende aus der Vierung HC in die Höhe HF. Derowegen
hat das kommende aus der Vierung AH in die Höhe GH gegen dem kommenden aus der
Vierung HC in HF eine grössere Verhältnis/ als das kommende aus der Vierung AH in
GH gegen dem kommenden aus dem Rechtekk HBC in GH, nach dem 8ten des V. das ist/

(vermög
Archimedis Anderes Buch

Nun ſondern zwar die Kuͤnſtler dieſe beyde Lehr-Arten oftmals von einander ab/ und
bedienen ſich meiſtenteihls allein der andern/ vorhin wann die Sache nicht gar ſchwer und
tief zu hohlen iſt; je zu Zeiten haͤngen ſie beyde aneinander/ wie wir oben bey etlichen Auf-
gaben ſchon geſehen haben: bißweilen ſetzen ſie auch nur die erſte/ weil aus derſelben die
andere fuͤr ſich ſelbſten flieſſet/ wann man nur hinderſich denen Fußſtapfen nachgehet/ wel-
che man im Hergehen hinder ſich gelaſſen. Und eben ſo hat es Archimedes/ in dieſem an-
dern Beweiß ſeines VIII. Lehrſatzes/ auch gemachet/ allein damit vergnuͤget/ daß er die
Quelle gewieſen/ aus welchem das begehrte kan hergeleitet werden. Weil wir dann biß-
her in Eroͤrterung derer Aufgaben zwar etliche/ in Beweiſung derer Betrachtungen (Theore-
matum) aber noch kein Exempel gehabt einer ſolchen Wiederkehr; als wollen wir mit
Eutokio aus denen gefundenen Gruͤnden Archimedis nunmehr rukkwerts/ der Grund-
ſetzenden Lehr-Art nach (methodo Syntheticâ) den obigen VIII. Lehrſatz nochmal alſo be-
weiſen:

Jn dem 1. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß/ wann er nun beweiſe HF groͤſſer
zu ſeyn als HG, alsdann dem erſten Teihl des Lehrſatzes ein Genuͤgen geſchehen ſey. Sol
ches wird nun klar werden/ wann wir/ wo er aufgehoͤret/ anfangen/ und/ ſeinen Fußſtapfen
nach/ immer hinderſich gehen/ biß wir aufhoͤren/ wo er angefangen hat/ nehmlich alſo:

Weil FH groͤſſer iſt als FG (wie am End der Grundforſchung Archimedis ſchon
bewieſen worden) ſo iſt das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF groͤſſer/ als
das kommende aus eben derſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG; und deswegen hat das
kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung
HC in die Hoͤhe HF eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen dem/ was kommt aus eben der-
ſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG (vermoͤg des 9ten im V. B.) Wie ſich aber ver-
haͤlt das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der
Vierung HC in eben dieſelbe Hoͤhe HG, ſo verhaͤlt ſich die Vierung AH gegen der Vie-
rung HC, aus dem 32ſten des XI. Darumb hat das kommende aus der Vierung AH
in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine klei-
nere Verhaͤltnis/ als die Vierung AH gegen der Vierung HC, das iſt/ als die gedoppelte
Verhaͤltnis der Lini AH gegen der Lini HC. Nun aber iſt erwieſen/ daß die Verhaͤltnis
des kommenden aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vie-
rung HC in die Hoͤhe HF, ſey eben die/ welche da hat der Abſchnitt BAD gegen dem Ab-
ſchnitt BCD; nnd die Verhaͤltnis der Lini AH gegen HC, eben die/ welche da hat die
Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD. Derowegen iſt nunmehr richtig/ daß jener Abſchnitt
gegen dieſem eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die gedoppelte jener Flaͤche gegen dieſer.
Welches fuͤrs erſte zu beweiſen war.

Jn dem 2. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß das ganze Werk beruhe auf dem/ daß
LE kleiner ſey als AH. Nach dem nun dieſes auſſer Zweiffel iſt/ gehen wir ruͤkklings alſo:

Weil LE kleiner iſt als AH, ſo hat KL gegen LE eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als eben
dieſelbe KL gegen AH, nach dem 8ten des V. B. und zuſammgeſetzet/ KE gegen LE
eine groͤſſere/ als KL ſambt AH gegen AH. KE iſt aber gleich CG und LE gleich HB.
Derowegen hat CG gegen HB eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KL ſambt AH gegen AH;
und wechſelweis/ CG gegen KL ſambt AH eine groͤſſere/ als HB gegen AH, das iſt/ als
HC gegen HB. Und/ wieder wechſelweis/ CG gegen HC ferner eine groͤſſere/ als KL ſambt
AH gegen HB; und zuſammgeſetzet/ GH gegen HC eine groͤſſere/ als KL ſambt AH ſambt
HB (das iſt/ als KE ſambt AH) gegen HB; oder (weil KE und AF gleich ſind) als HF
gegen HB; und/ wieder verwechſelt/ GH gegen HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als HC gegen
HB. Wie ſich aber verhaͤlt HC gegen HB, alſo die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus
HB in HC, vermoͤg des 1ſten im VI. So hat demnach GH gegen HF eine groͤſſere Ver-
haͤltnis/ als die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus HB in HC. Und (nach obiger
3. Anmerkung des vorigen Beweiſes) iſt das kommende aus dem Rechtekk HBC in die
Hoͤhe GH groͤſſer als das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF. Derowegen
hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe GH gegen dem kommenden aus der
Vierung HC in HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als das kommende aus der Vierung AH in
GH gegen dem kommenden aus dem Rechtekk HBC in GH, nach dem 8ten des V. das iſt/

(vermoͤg
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[152/0180] Archimedis Anderes Buch Nun ſondern zwar die Kuͤnſtler dieſe beyde Lehr-Arten oftmals von einander ab/ und bedienen ſich meiſtenteihls allein der andern/ vorhin wann die Sache nicht gar ſchwer und tief zu hohlen iſt; je zu Zeiten haͤngen ſie beyde aneinander/ wie wir oben bey etlichen Auf- gaben ſchon geſehen haben: bißweilen ſetzen ſie auch nur die erſte/ weil aus derſelben die andere fuͤr ſich ſelbſten flieſſet/ wann man nur hinderſich denen Fußſtapfen nachgehet/ wel- che man im Hergehen hinder ſich gelaſſen. Und eben ſo hat es Archimedes/ in dieſem an- dern Beweiß ſeines VIII. Lehrſatzes/ auch gemachet/ allein damit vergnuͤget/ daß er die Quelle gewieſen/ aus welchem das begehrte kan hergeleitet werden. Weil wir dann biß- her in Eroͤrterung derer Aufgaben zwar etliche/ in Beweiſung derer Betrachtungen (Theore- matum) aber noch kein Exempel gehabt einer ſolchen Wiederkehr; als wollen wir mit Eutokio aus denen gefundenen Gruͤnden Archimedis nunmehr rukkwerts/ der Grund- ſetzenden Lehr-Art nach (methodo Syntheticâ) den obigen VIII. Lehrſatz nochmal alſo be- weiſen: Jn dem 1. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß/ wann er nun beweiſe HF groͤſſer zu ſeyn als HG, alsdann dem erſten Teihl des Lehrſatzes ein Genuͤgen geſchehen ſey. Sol ches wird nun klar werden/ wann wir/ wo er aufgehoͤret/ anfangen/ und/ ſeinen Fußſtapfen nach/ immer hinderſich gehen/ biß wir aufhoͤren/ wo er angefangen hat/ nehmlich alſo: Weil FH groͤſſer iſt als FG (wie am End der Grundforſchung Archimedis ſchon bewieſen worden) ſo iſt das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF groͤſſer/ als das kommende aus eben derſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG; und deswegen hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine kleinere Verhaͤltnis/ als gegen dem/ was kommt aus eben der- ſelben Vierung HC in die Hoͤhe HG (vermoͤg des 9ten im V. B.) Wie ſich aber ver- haͤlt das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in eben dieſelbe Hoͤhe HG, ſo verhaͤlt ſich die Vierung AH gegen der Vie- rung HC, aus dem 32ſten des XI. Darumb hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF eine klei- nere Verhaͤltnis/ als die Vierung AH gegen der Vierung HC, das iſt/ als die gedoppelte Verhaͤltnis der Lini AH gegen der Lini HC. Nun aber iſt erwieſen/ daß die Verhaͤltnis des kommenden aus der Vierung AH in die Hoͤhe HG gegen dem kommenden aus der Vie- rung HC in die Hoͤhe HF, ſey eben die/ welche da hat der Abſchnitt BAD gegen dem Ab- ſchnitt BCD; nnd die Verhaͤltnis der Lini AH gegen HC, eben die/ welche da hat die Flaͤche BAD gegen der Flaͤche BCD. Derowegen iſt nunmehr richtig/ daß jener Abſchnitt gegen dieſem eine groͤſſere Verhaͤltnis habe/ als die gedoppelte jener Flaͤche gegen dieſer. Welches fuͤrs erſte zu beweiſen war. Jn dem 2. Teihl hat Archimedes gefunden/ daß das ganze Werk beruhe auf dem/ daß LE kleiner ſey als AH. Nach dem nun dieſes auſſer Zweiffel iſt/ gehen wir ruͤkklings alſo: Weil LE kleiner iſt als AH, ſo hat KL gegen LE eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als eben dieſelbe KL gegen AH, nach dem 8ten des V. B. und zuſammgeſetzet/ KE gegen LE eine groͤſſere/ als KL ſambt AH gegen AH. KE iſt aber gleich CG und LE gleich HB. Derowegen hat CG gegen HB eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KL ſambt AH gegen AH; und wechſelweis/ CG gegen KL ſambt AH eine groͤſſere/ als HB gegen AH, das iſt/ als HC gegen HB. Und/ wieder wechſelweis/ CG gegen HC ferner eine groͤſſere/ als KL ſambt AH gegen HB; und zuſammgeſetzet/ GH gegen HC eine groͤſſere/ als KL ſambt AH ſambt HB (das iſt/ als KE ſambt AH) gegen HB; oder (weil KE und AF gleich ſind) als HF gegen HB; und/ wieder verwechſelt/ GH gegen HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als HC gegen HB. Wie ſich aber verhaͤlt HC gegen HB, alſo die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus HB in HC, vermoͤg des 1ſten im VI. So hat demnach GH gegen HF eine groͤſſere Ver- haͤltnis/ als die Vierung HC gegen dem Rechtekk aus HB in HC. Und (nach obiger 3. Anmerkung des vorigen Beweiſes) iſt das kommende aus dem Rechtekk HBC in die Hoͤhe GH groͤſſer als das kommende aus der Vierung HC in die Hoͤhe HF. Derowegen hat das kommende aus der Vierung AH in die Hoͤhe GH gegen dem kommenden aus der Vierung HC in HF eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als das kommende aus der Vierung AH in GH gegen dem kommenden aus dem Rechtekk HBC in GH, nach dem 8ten des V. das iſt/ (vermoͤg

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 152. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/180>, abgerufen am 28.04.2024.