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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch

3. Das vornehmste und das Hauptstukk/ auf welchem Archimedis obige Auflösung
und dero ganzer Beweiß beruhet/ ist dieses/ daß er begehret/ man solle zwischen zweyen gege-
benen Lineen CD und EF zwo mittlere gleichverhaltende finden. Wann nun Archimedes
diese seine gegenwertige Aufgab aus einem andern Grund vollziehen/ und einem gegebenen Ke-
gel oder Rund-Säule eine gleiche Kugel zu geben wüste/ so hätte er diesem Begehren zweyer
mittlern gleichverhaltenden/ allbereit in der vorangeschikkten (Analysi) Grundforschung ein
sattsames Genügen gethan/ und könte durch eine angenehme Wiederkehr (Regressum) aus
diesem/ welches er vorher aus jenem hergeleitet/ jenes wiederumb aufs neue bekräfftigen. Weiln
aber weder jenes anderwerts von ihme bewiesen/ noch dieses irgendwo bey ihme zu finden ist;
so muß nohthalben (damit seine Auflösung nicht zweifelhaftig sey) gewiß gemachet werden/
daß es möglich sey/ zwischen jeden zwey gegebenen Lineen zwo mittlere gleichverhaltende zu fin-
den: Und/ weiln die Alten mit dieser Aufgab sehr beschäfftiget gewesen/ wird nicht unnützlich
seyn/ daß wir deroselben Ursprung kürzlich entdekken/ und einen und andern Weg zu ihrer Auf-
lösung (sonderlich nach Anleitung Eutokii) dem gönstigen Leser zeigen und bekant machen.

Betrachtung der alten benahmten Aufgab/ von Er-
findung zweyer mittlern gleichverhaltenden.

Die Gelegenheit zu dieser Aufgab erzehlet Eratosthenes in einem Sendschreiben an
den König Ptolomaeum folgender Gestalt: Man sage/ einer unter denen alten Trauerspiel-
schreibern führe unter andern ein den [ - 1 Zeichen fehlt]ino/ welcher dem Glaukus ein Grabmal aufrich-
ten lassen/ und als er vernommen/ daß jede Seite desselben (dann es war würfflicht gestaltet)
100. Schuh lang war/ hab er gesagt: Für einen König seys zu klein/ die Grösse müsse
doppelt seyn. Als aber der Werkmeister nachmals jede Seite des Grabes verdoppelt (und
vermeinet/ auch dardurch des Grabes Grösse verdoppelt zu haben) sey befunden worden/ daß
er geirret habe/ weil nehmlich/ wann man die Seiten verdoppelt/ die Flächen/ welche von de-
nen gedoppelten Seiten beschlossen werden/ nicht zwey-sondern vierfach/ die Cörper aber acht-
fach oder achtmal so groß werden/ (wie zu sehen aus dem 20sten des VI. und dem 33sten
des XI. Buchs Euclidis.) Darauf seyen die Meßkünstler befraget worden: Auf was
Weise doch eine jede gegebene Cörperliche Figur/ und sonderlich ein Würfel (cubus) möchte
verdoppelt werden/ also daß sie ihre vorige Gestalt und Form behielte/ und das gedoppelte dem
einfachen ähnlich wäre? Und sey also diese Frag oder Aufgab die Verdoppelung des Wür-
fels genennet worden/ dieweil sie nehmlich zu förderst die Figur des Würfels für sich genom-
men/ und dieselbe zu verdoppeln oder zu verzweyfältigen gesuchet haben. Nach dem aber alle
Meßkünstler sich lange Zeit vergeblich bemühet/ habe endlich Hippocrates von Chio am er-
sten beobachtet/ daß/ wann man zwischen zweyen geraden Lineen/ deren eine zweymal so groß
ist als die andere (nehmlich zwischen der Seitedes gegebenen Würfels und zwischen ih-
rer gedoppelten) zwey mittlere unzertrennt-gleichverhaltende (continue proportionales)
fände (und/ verstehe/ auf die erste der beyden gefundenen einen Würfel aufrichtete)
so dann der gegebene Würfel verdoppelt seyn würde (dann/ vermög des 33sten im XI. und
der 10den Worterklärung im V. B. würde sich der gegebene Würfel gegen dem gefan-
denen verhalten/ wie die erste gleichverhaltende gegen der vierdten/ das ist/ wie die
Seite des gegebenen Würfels gegen ihrer gedoppelten.) Also daß Hippoerates die
vorige zweiffelhafte Frag in eine andere nicht weniger zweiffelhafte und schwere verwandelt
habe. Nach Verfliessung einiger Zeit aber/ wie man erzehle/ haben die Delier/ bey regieren-
der Pest/ ihren Abgott Apollo umb Hülf angeflehet/ von demselben aber Befehl bekommen/ daß
sie ihm einen Altar/ welcher würflicht gebauet war/ verdoppeln solten. Wordurch sie dann
in den obigen Zweiffel gestürzet/ ihre Zuflucht zu denen/ beym Plato in der Academi sich
aufhaltenden/ Meßkünstlern genommen/ und umb Auflösung dieses Zweifels angesuchet ha-
ben: Welche dann auch/ sonderlich auf des Platons Zureden/ sich eifrigst bemühet zu erör-
tern die Frage von zweyen mittlern gleichverhaltenden/ welche daher/ wegen erzehlter Gelegen-
heit ihres Ursprungs/ den Nahmen der Delischen Aufgab bekommen hat.

Eh wir aber eine und andere tiessinnige Weise/ bemeldte Aufgab zu erörtern/ so wol erst-
erwehnter Alten/ als auch etlicher neuer Lehrer/ dem begierigen Leser erklären; müssen wir
denselben erinnern/ daß eine jede solche Aufgab auf zweyerley Weise könne erörtert und aufge-
löset werden: Einmal Mechanisch (wie die Künstler zu reden pflegen) das ist/ durch einen
sonderbaren Handgriff/ durch oftmaliges Versuchen/ und ohne gewisse ohnsehlbare Regeln/

jedoch
Archimedis Anderes Buch

3. Das vornehmſte und das Hauptſtukk/ auf welchem Archimedis obige Aufloͤſung
und dero ganzer Beweiß beruhet/ iſt dieſes/ daß er begehret/ man ſolle zwiſchen zweyen gege-
benen Lineen CD und EF zwo mittlere gleichverhaltende finden. Wann nun Archimedes
dieſe ſeine gegenwertige Aufgab aus einem andern Grund vollziehen/ und einem gegebenen Ke-
gel oder Rund-Saͤule eine gleiche Kugel zu geben wuͤſte/ ſo haͤtte er dieſem Begehren zweyer
mittlern gleichverhaltenden/ allbereit in der vorangeſchikkten (Analyſi) Grundforſchung ein
ſattſames Genuͤgen gethan/ und koͤnte durch eine angenehme Wiederkehr (Regreſſum) aus
dieſem/ welches er vorher aus jenem hergeleitet/ jenes wiederumb aufs neue bekraͤfftigen. Weiln
aber weder jenes anderwerts von ihme bewieſen/ noch dieſes irgendwo bey ihme zu finden iſt;
ſo muß nohthalben (damit ſeine Aufloͤſung nicht zweifelhaftig ſey) gewiß gemachet werden/
daß es moͤglich ſey/ zwiſchen jeden zwey gegebenen Lineen zwo mittlere gleichverhaltende zu fin-
den: Und/ weiln die Alten mit dieſer Aufgab ſehr beſchaͤfftiget geweſen/ wird nicht unnuͤtzlich
ſeyn/ daß wir deroſelben Urſprung kuͤrzlich entdekken/ und einen und andern Weg zu ihrer Auf-
loͤſung (ſonderlich nach Anleitung Eutokii) dem goͤnſtigen Leſer zeigen und bekant machen.

Betrachtung der alten benahmten Aufgab/ von Er-
findung zweyer mittlern gleichverhaltenden.

Die Gelegenheit zu dieſer Aufgab erzehlet Eratoſthenes in einem Sendſchreiben an
den Koͤnig Ptolomæum folgender Geſtalt: Man ſage/ einer unter denen alten Trauerſpiel-
ſchreibern fuͤhre unter andern ein den [ – 1 Zeichen fehlt]ino/ welcher dem Glaukus ein Grabmal aufrich-
ten laſſen/ und als er vernommen/ daß jede Seite deſſelben (dann es war wuͤrfflicht geſtaltet)
100. Schuh lang war/ hab er geſagt: Fuͤr einen Koͤnig ſeys zu klein/ die Groͤſſe müſſe
doppelt ſeyn. Als aber der Werkmeiſter nachmals jede Seite des Grabes verdoppelt (und
vermeinet/ auch dardurch des Grabes Groͤſſe verdoppelt zu haben) ſey befunden worden/ daß
er geirret habe/ weil nehmlich/ wann man die Seiten verdoppelt/ die Flaͤchen/ welche von de-
nen gedoppelten Seiten beſchloſſen werden/ nicht zwey-ſondern vierfach/ die Coͤrper aber acht-
fach oder achtmal ſo groß werden/ (wie zu ſehen aus dem 20ſten des VI. und dem 33ſten
des XI. Buchs Euclidis.) Darauf ſeyen die Meßkuͤnſtler befraget worden: Auf was
Weiſe doch eine jede gegebene Coͤrperliche Figur/ und ſonderlich ein Wuͤrfel (cubus) moͤchte
verdoppelt werden/ alſo daß ſie ihre vorige Geſtalt und Form behielte/ und das gedoppelte dem
einfachen aͤhnlich waͤre? Und ſey alſo dieſe Frag oder Aufgab die Verdoppelung des Wuͤr-
fels genennet worden/ dieweil ſie nehmlich zu foͤrderſt die Figur des Wuͤrfels fuͤr ſich genom-
men/ und dieſelbe zu verdoppeln oder zu verzweyfaͤltigen geſuchet haben. Nach dem aber alle
Meßkuͤnſtler ſich lange Zeit vergeblich bemuͤhet/ habe endlich Hippocrates von Chio am er-
ſten beobachtet/ daß/ wann man zwiſchen zweyen geraden Lineen/ deren eine zweymal ſo groß
iſt als die andere (nehmlich zwiſchen der Seitedes gegebenen Wuͤrfels und zwiſchen ih-
rer gedoppelten) zwey mittlere unzertrennt-gleichverhaltende (continuè proportionales)
faͤnde (und/ verſtehe/ auf die erſte der beyden gefundenen einen Wuͤrfel aufrichtete)
ſo dann der gegebene Wuͤrfel verdoppelt ſeyn wuͤrde (dann/ vermoͤg des 33ſten im XI. und
der 10den Worterklaͤrung im V. B. würde ſich der gegebene Wuͤrfel gegen dem gefan-
denen verhalten/ wie die erſte gleichverhaltende gegen der vierdten/ das iſt/ wie die
Seite des gegebenen Wuͤrfels gegen ihrer gedoppelten.) Alſo daß Hippoerates die
vorige zweiffelhafte Frag in eine andere nicht weniger zweiffelhafte und ſchwere verwandelt
habe. Nach Verflieſſung einiger Zeit aber/ wie man erzehle/ haben die Delier/ bey regieren-
der Peſt/ ihren Abgott Apollo umb Huͤlf angeflehet/ von demſelben aber Befehl bekommen/ daß
ſie ihm einen Altar/ welcher wuͤrflicht gebauet war/ verdoppeln ſolten. Wordurch ſie dann
in den obigen Zweiffel geſtuͤrzet/ ihre Zuflucht zu denen/ beym Plato in der Academi ſich
aufhaltenden/ Meßkuͤnſtlern genommen/ und umb Aufloͤſung dieſes Zweifels angeſuchet ha-
ben: Welche dann auch/ ſonderlich auf des Platons Zureden/ ſich eifrigſt bemuͤhet zu eroͤr-
tern die Frage von zweyen mittlern gleichverhaltenden/ welche daher/ wegen erzehlter Gelegen-
heit ihres Urſprungs/ den Nahmen der Deliſchen Aufgab bekommen hat.

Eh wir aber eine und andere tieſſinnige Weiſe/ bemeldte Aufgab zu eroͤrtern/ ſo wol erſt-
erwehnter Alten/ als auch etlicher neuer Lehrer/ dem begierigen Leſer erklaͤren; muͤſſen wir
denſelben erinnern/ daß eine jede ſolche Aufgab auf zweyerley Weiſe koͤnne eroͤrtert und aufge-
loͤſet werden: Einmal Mechaniſch (wie die Kuͤnſtler zu reden pflegen) das iſt/ durch einen
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[102/0130] Archimedis Anderes Buch 3. Das vornehmſte und das Hauptſtukk/ auf welchem Archimedis obige Aufloͤſung und dero ganzer Beweiß beruhet/ iſt dieſes/ daß er begehret/ man ſolle zwiſchen zweyen gege- benen Lineen CD und EF zwo mittlere gleichverhaltende finden. Wann nun Archimedes dieſe ſeine gegenwertige Aufgab aus einem andern Grund vollziehen/ und einem gegebenen Ke- gel oder Rund-Saͤule eine gleiche Kugel zu geben wuͤſte/ ſo haͤtte er dieſem Begehren zweyer mittlern gleichverhaltenden/ allbereit in der vorangeſchikkten (Analyſi) Grundforſchung ein ſattſames Genuͤgen gethan/ und koͤnte durch eine angenehme Wiederkehr (Regreſſum) aus dieſem/ welches er vorher aus jenem hergeleitet/ jenes wiederumb aufs neue bekraͤfftigen. Weiln aber weder jenes anderwerts von ihme bewieſen/ noch dieſes irgendwo bey ihme zu finden iſt; ſo muß nohthalben (damit ſeine Aufloͤſung nicht zweifelhaftig ſey) gewiß gemachet werden/ daß es moͤglich ſey/ zwiſchen jeden zwey gegebenen Lineen zwo mittlere gleichverhaltende zu fin- den: Und/ weiln die Alten mit dieſer Aufgab ſehr beſchaͤfftiget geweſen/ wird nicht unnuͤtzlich ſeyn/ daß wir deroſelben Urſprung kuͤrzlich entdekken/ und einen und andern Weg zu ihrer Auf- loͤſung (ſonderlich nach Anleitung Eutokii) dem goͤnſtigen Leſer zeigen und bekant machen. Betrachtung der alten benahmten Aufgab/ von Er- findung zweyer mittlern gleichverhaltenden. Die Gelegenheit zu dieſer Aufgab erzehlet Eratoſthenes in einem Sendſchreiben an den Koͤnig Ptolomæum folgender Geſtalt: Man ſage/ einer unter denen alten Trauerſpiel- ſchreibern fuͤhre unter andern ein den _ino/ welcher dem Glaukus ein Grabmal aufrich- ten laſſen/ und als er vernommen/ daß jede Seite deſſelben (dann es war wuͤrfflicht geſtaltet) 100. Schuh lang war/ hab er geſagt: Fuͤr einen Koͤnig ſeys zu klein/ die Groͤſſe müſſe doppelt ſeyn. Als aber der Werkmeiſter nachmals jede Seite des Grabes verdoppelt (und vermeinet/ auch dardurch des Grabes Groͤſſe verdoppelt zu haben) ſey befunden worden/ daß er geirret habe/ weil nehmlich/ wann man die Seiten verdoppelt/ die Flaͤchen/ welche von de- nen gedoppelten Seiten beſchloſſen werden/ nicht zwey-ſondern vierfach/ die Coͤrper aber acht- fach oder achtmal ſo groß werden/ (wie zu ſehen aus dem 20ſten des VI. und dem 33ſten des XI. Buchs Euclidis.) Darauf ſeyen die Meßkuͤnſtler befraget worden: Auf was Weiſe doch eine jede gegebene Coͤrperliche Figur/ und ſonderlich ein Wuͤrfel (cubus) moͤchte verdoppelt werden/ alſo daß ſie ihre vorige Geſtalt und Form behielte/ und das gedoppelte dem einfachen aͤhnlich waͤre? Und ſey alſo dieſe Frag oder Aufgab die Verdoppelung des Wuͤr- fels genennet worden/ dieweil ſie nehmlich zu foͤrderſt die Figur des Wuͤrfels fuͤr ſich genom- men/ und dieſelbe zu verdoppeln oder zu verzweyfaͤltigen geſuchet haben. Nach dem aber alle Meßkuͤnſtler ſich lange Zeit vergeblich bemuͤhet/ habe endlich Hippocrates von Chio am er- ſten beobachtet/ daß/ wann man zwiſchen zweyen geraden Lineen/ deren eine zweymal ſo groß iſt als die andere (nehmlich zwiſchen der Seitedes gegebenen Wuͤrfels und zwiſchen ih- rer gedoppelten) zwey mittlere unzertrennt-gleichverhaltende (continuè proportionales) faͤnde (und/ verſtehe/ auf die erſte der beyden gefundenen einen Wuͤrfel aufrichtete) ſo dann der gegebene Wuͤrfel verdoppelt ſeyn wuͤrde (dann/ vermoͤg des 33ſten im XI. und der 10den Worterklaͤrung im V. B. würde ſich der gegebene Wuͤrfel gegen dem gefan- denen verhalten/ wie die erſte gleichverhaltende gegen der vierdten/ das iſt/ wie die Seite des gegebenen Wuͤrfels gegen ihrer gedoppelten.) Alſo daß Hippoerates die vorige zweiffelhafte Frag in eine andere nicht weniger zweiffelhafte und ſchwere verwandelt habe. Nach Verflieſſung einiger Zeit aber/ wie man erzehle/ haben die Delier/ bey regieren- der Peſt/ ihren Abgott Apollo umb Huͤlf angeflehet/ von demſelben aber Befehl bekommen/ daß ſie ihm einen Altar/ welcher wuͤrflicht gebauet war/ verdoppeln ſolten. Wordurch ſie dann in den obigen Zweiffel geſtuͤrzet/ ihre Zuflucht zu denen/ beym Plato in der Academi ſich aufhaltenden/ Meßkuͤnſtlern genommen/ und umb Aufloͤſung dieſes Zweifels angeſuchet ha- ben: Welche dann auch/ ſonderlich auf des Platons Zureden/ ſich eifrigſt bemuͤhet zu eroͤr- tern die Frage von zweyen mittlern gleichverhaltenden/ welche daher/ wegen erzehlter Gelegen- heit ihres Urſprungs/ den Nahmen der Deliſchen Aufgab bekommen hat. Eh wir aber eine und andere tieſſinnige Weiſe/ bemeldte Aufgab zu eroͤrtern/ ſo wol erſt- erwehnter Alten/ als auch etlicher neuer Lehrer/ dem begierigen Leſer erklaͤren; muͤſſen wir denſelben erinnern/ daß eine jede ſolche Aufgab auf zweyerley Weiſe koͤnne eroͤrtert und aufge- loͤſet werden: Einmal Mechaniſch (wie die Kuͤnſtler zu reden pflegen) das iſt/ durch einen ſonderbaren Handgriff/ durch oftmaliges Verſuchen/ und ohne gewiſſe ohnſehlbare Regeln/ jedoch

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 102. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/130>, abgerufen am 04.05.2024.