Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zwölfte Vorlesung.

Σ_h(h ⋹ a)Σ_k{(k ⋹ b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = 1 ; (b̄ + x) ; a = {(a = 0) + (b = 1) ⋹ (x ⋹ ā̆)},
Σ_h „ Π_k „ = (b̄̆ ɟ x) ; a = (a ⋹ x̄̆ ; b),
Π_h „ Σ_k „ = {1 ; (b + x) ɟ 0}(0 ɟ a) = (a ≠ 0){(b = 0) ⋹ (1 = 1 ; x)},
Π_h „ Π_k „ = 0 ɟ a(x̆ ɟ b̄) = (a = 1)(b ⋹ x).

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Σ_h{(h ⋹ a) ⋹ Σ_k(k ⋹ b)(k ⋹ x ; h)} = 1 ; (ā + x̆ ; b) = {(a = 1)(bx = 0) = 0},
Σ_h „ Π_k „ = 1 ; (ā + x̆b̆ ɟ 0) = {(a = 1) ⋹ (b = 1 = x ; 1)},
Π_h „ Σ_k „ = b̆ ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; b), (= γ₂),
Π_h „ Π_k „ = 0 ɟ bx ɟ ā = (1 ; a ⋹ b)(ă ⋹ x).

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Σ_h(h ⋹ a)Σ_k(k ⋹ b)(k ⋹ x ; h) = b̆ ; x ; a = (ăbx ≠ 0), (= γ̄₁),
Σ_h „ Π_k „ = (0 ɟ bx) ; a = {ă(0 ɟ b)(0 ɟ x) ≠ 0},
Π_h „ Σ_k „ = 0 ɟ a(x̆ ; b) = (a = 1 = x̆ ; b),
Π_h „ Π_k „ = 0 ɟ ăbx ɟ 0 = (a = b = 1 = x).
Wenn man in den beiden ersten Quadrupeln anstatt der letzten sekundären
Subsumtion die umgekehrte, mithin: {(k ⋹ x ; h) ⋹ (k ⋹ b)} setzte, so
würde der Effekt blos der sein, dass sich x mit x̄ und b mit b̄ vertauschte.
Mit den vorstehenden zugleich sind also noch 8 weitre (zusammen 24)
Arten von Aussagen erledigt — ungerechnet deren Negationen, und die
sich mittelst Vertauschung von a, (h), x mit b, (k), x̆ ergebenden. Die
Wirkung einer Ersetzung der Subsumtion k ⋹ x ; h durch die Gleichung
k = x ; h haben wir oben S. 646 angegeben.

Eine grosse Mannigfaltigkeit von möglichen Bedingungen ergäbe sich
noch, wenn man darauf eingehen wollte, ob verschiednen Elementen in a
nie, manchmal, oder stets verschiedne Elemente in b als ein x-Bild der-
selben, resp. als deren x-Bild entsprechen — eventuell auch blos sofern
die Bilder von 0 verschieden sind. Doch wollen wir dieses reiche Feld
von Übungen im Einkleiden und Interpretiren von Forderungen, im äqui-
valenten Umformen derselben und im Ziehen von Folgerungen — dem ja
durch unsre Einleitung im § 30 auch schon vorgearbeitet ist — lieber
nicht mehr betreten.

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Um nunmehr die ähnliche Abbildung eines Systems a(= a ; 1) in
sich selbst zu charakterisiren, wenden wir — zum Schlusse — die
Normalform (17) der Ähnlichkeitsbedingung auf ein dem a ähnliches
System b an, welches als ⋹ a gedacht wird.

Man könnte — unter u(= u ; 1) ein unbestimmtes System verstehend —
einfach b = u a in jene Formel eintragen, und müsste nur dem vorgeschrie-
benen [Formel 1] dann noch ein [Formel 2] beigesellen. Besser fügen wir aber die Forde-
rung b ⋹ a hinzu, und merzen den Namen b, indem wir ihn durch das
ihm gleiche z ; a durchweg ersetzen, vollständig aus.