Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Zweite Partialresultante.

Zerlegen wir hier die mittlere 1 in 0' + 1', so muss wegen z̆ ; 1' ; z =
= z̆ ; z ⋹ 1' der letzte Teil wegfallen und kommt: ă ; 0' ; a = 1 ; 0'(z̆ ; 0' ; z) ; 1.
Aber mit 0' ; z ⋹ z̄ = z̄ ɟ 0' folgt auch z̆ ; 0' ; z ⋹ 0', also 0'(z̆ ; 0' ; z) =
= z̆ ; 0' ; z selbst. Somit bleibt ă ; 0' ; a = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1 = b̆ ; 0' ; b, q. e. d.

Auch mit 0' ; z ⋹ z̄, ergo z̆ ; 0' ; z ⋹ z̆ ; z̄ ⋹ 0', etc. lässt sich die
unterwegs hierbei gebrauchte Relation
50) z ; 0' ; z̆ + z̆ ; 0' ; z ⋹ 0'
rechtfertigen, womit nun die Formeln 31) auch sämtlich bewiesen worden.

Um übrigens die Gleichung 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1 = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1 unmittelbar
zu rechtfertigen, wozu der Beweis derselben als (vor- oder) rückwärtiger
Subsumtion, d. h. von z̆ ; 0' ; z ⋹ 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1 genügt, kann man auch die
Koeffizientenevidenz anrufen:
Σ_{h k}z_{h i}0'_{h k}z_{k j}⋹Σ_{h m n k}z_{h m}0'_{m n}z_{k n}.
Falls nun i ≠ j, so findet sich jedes Glied z_{h i}z_{k j} (wo h ≠ k) der linken
Seite auch rechterhand vor, und zwar mit m = i, n = j, weil dann
0'_{m n} = 0'_{i j} = 1 sein wird. Falls dagegen j = i, so finden zwar die Glieder
der linken Seite z_{h i}z_{k i} (wo k ≠ h) sich rechterhand nicht vor, allein die
Summe jener muss dann verschwinden: es muss Σ_{h k}z_{h i}0'_{h k}z_{k i} = (z̆ ; 0' ; z)_{i i} =
= (1' · z̆ ; 0' ; z)_{i j} = 0 sein wegen 50). Q. e. d.

Das vorstehend über die „explizite“ Darstellung der fundamentalen
Ähnlichkeits- oder Gleichmächtigkeitsbedingung Vorgetragene ist übrigens
blos das, was sich mir sozusagen auf den ersten Anlauf ergab, und es
ist noch nicht die Hoffnung aufzugeben: dass sich bei tieferm Eingehen
auf das S. 624 charakterisirte Eliminationsproblem als solches — nach
den noch weiter auszugestaltenden Methoden am Schlusse des § 29 —
auch allgemein eine konzise Ausdrucksform für die explizite Bedingung
gewinnen lassen könnte.

Dies würde freilich ein grosser Triumph für unsre Disziplin sein:
noch ohne den Begriff der Zahl und Anzahl, vielmehr propädeutisch für
diese, den Begriff der Gleichzahligkeit (und, mehr noch: der Gleichmächtig-
keit) zweier Systeme auch explizite zu formuliren! Die Möglichkeit, solch
Ideal zu verwirklichen, scheint mir durch die schon realisirte implizite
Fassung dieses Begriffs bereits erwiesen. Denn wenn wir, unabhängig von
den übrigen, jeden einzelnen z-Koeffizienten eliminiren können, so müssen
sich doch auch sämtliche z-Koeffizienten eliminiren lassen! Es eröffnet sich
sogar die Aussicht: durch „Auflösung“ gedachter Ähnlichkeitsbedingung
nach den Unbekannten a und b jedes mögliche Paar von gleichmächtigen
Mannigfaltigkeiten durch zwei arbiträre Parameter u and v dereinst aus-
drücken zu lernen. —

Haben wir nun mit dem Bisherigen vom Standpunkt unsrer Theorie
alles das mit erledigt, was in der Dedekind’schen Schrift über „ähn-