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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Jenes so:
(1 0' ; a) = (1' ; 1 0' ; a ; 1) = (1' 0' ; a ; 1 j 0 = 0' ; a ; 1 = 0' ; a) =
= (1' 0' ; a) = (1' 0' ; a + 0 j z) = (1' 0' ; a j 0 + 0 j z) = (1' 0' ; a j 0 j z) =
= (1' 0' ; a j z) = (1' ; zn 0' ; a) = (zn 0' ; a) weil 0 j z = 0
-- cf. 31) -- und 0' ; a System ist. Dieses so:
(1 zn ; a) = {1 (zn j 0') ; a zn j 0' ; a} (1 zn j 0' ; a) = (z ; 1 0' ; a).

Aufgrund von 48) gilt zwar für a b gewiss: (1 0' ; b) = (1 zn ; a).
Zu sagen, dass, weil a a, für b = a nun auch sein müsse (1 0' ; a) =
= (1 zn ; a), würde jedoch ein Fehlschluss sein, weil es zwar in der That
ein zn resp. z derart geben wird, dieses aber als a auf sich selbst voll-
gedeckt abbildend ein anderes -- Z -- sein wird als unser a in b (und
eventuell in a hinein) abbildendes z. Also auf diesen Wegen kommt man
nicht zum Ziele.]

Um erstmals in der Form (1 0' ; a) = (1 0' ; b) unsern Satz 46)
zu beweisen, wird es der Symmetrie halber genügen, blos zu zeigen, dass
(1 0' ; a) (1 0' ; b), d. h. Pi(1 Sl0'i lal) Pi(1 Sl0'i lbl).
Damit für jedes l die Sl0'i lal = aA + aB + ... (ohne ai) gleich 1 sein könne,
muss nach l mehr als ein al gleich 1 sein. Denn wäre blos ein al
-- sagen wir ai -- gleich 1, so verschwände für dieses i die Summe; und
wäre gar kein al gleich 1, so müsste sie ja für jedes i verschwinden. Es
gibt also mindestens zwei Werte h und m, wo h m, von l, für welche
al = 1 ist, d. h. wir haben ah = 1 und am = 1 oder sowol h a als
m a mit h m.

Nach der ursprünglichen Fassung des Begriffs der ähnlichen Abbil-
dung z gibt es nun auch ein k b und ein n b derart, dass k = z ; h
und n = z ; m, und zwar muss wegen h m auch k n sein. Es sind
also nach l mindestens zwei bl nämlich bk und bn gleich 1 und ist damit
auch die Sl0'i lbl für jedes i gleich 1, q. e. d. Und vice versa.

Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie-
digend, weil er auf dem Argumentiren auf Elemente und Unterscheidung
von Einzahl und Mehrzahl bei diesen beruht.

Analytisch gelingt der Beweis unsrer Behauptung 46) in der Gestalt:
(0'aa = 0) = (0'bb = 0) zweitens wie folgt. Sei 0'aa = 0, so ist
0'bb = 0' · z ; a · a ; z = 0' · z ; a ; a ; z = 0' · z ; aa ; z = 0' · z ; (1'aa + 0'aa) ; z =
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also auch 0'bb = 0, q. e. d. Desgleichen umgekehrt.

Ein dritter Beweis soll direkt für die Form a ; 0' ; a = b ; 0' ; b ge-
geben werden. Wegen a = z ; 1, b = z ; 1 ist a ; 0' ; a = 1 ; z ; 0' ; z ; 1,
b ; 0' ; b = 1 ; z ; 0' ; z ; 1, mithin die Gleichheit der beiden rechten Seiten
darzuthun, oder der erste von den vier Ausdrücken auch in den letzten
noch zu transformiren. Wir haben auch: a ; 0' ; a = 1 ; 0'aa ; 1 = 1 ; 0'(z ; 1 ; z) ; 1.

Zwölfte Vorlesung.

Jenes so:
(1 ⋹ 0' ; a) = (1' ; 1 ⋹ 0' ; a ; 1) = (1' ⋹ 0' ; a ; 1 ɟ 0 = 0' ; a ; 1 = 0' ; a) =
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Aufgrund von 48) gilt zwar für a ∽ b gewiss: (1 ⋹ 0' ; b) = (1 ⋹ z̄ ; a).
Zu sagen, dass, weil a ∽ a, für b = a nun auch sein müsse (1 ⋹ 0' ; a) =
= (1 ⋹ z̄ ; a), würde jedoch ein Fehlschluss sein, weil es zwar in der That
ein z̄ resp. z derart geben wird, dieses aber als a auf sich selbst voll-
gedeckt abbildend ein anderes — Z — sein wird als unser a in b (und
eventuell in a hinein) abbildendes z. Also auf diesen Wegen kommt man
nicht zum Ziele.]

Um erstmals in der Form (1 ⋹ 0' ; a) = (1 ⋹ 0' ; b) unsern Satz 46)
zu beweisen, wird es der Symmetrie halber genügen, blos zu zeigen, dass
(1 ⋹ 0' ; a) ⋹ (1 ⋹ 0' ; b), d. h. Πi(1 ⋹ Σl0'i lal) ⋹ Πi(1 ⋹ Σl0'i lbl).
Damit für jedes l die Σl0'i lal = aA + aB + … (ohne ai) gleich 1 sein könne,
muss nach l mehr als ein al gleich 1 sein. Denn wäre blos ein al
— sagen wir ai — gleich 1, so verschwände für dieses i die Summe; und
wäre gar kein al gleich 1, so müsste sie ja für jedes i verschwinden. Es
gibt also mindestens zwei Werte h und m, wo h ≠ m, von l, für welche
al = 1 ist, d. h. wir haben ah = 1 und am = 1 oder sowol h ⋹ a als
m ⋹ a mit h ≠ m.

Nach der ursprünglichen Fassung des Begriffs der ähnlichen Abbil-
dung z gibt es nun auch ein k ⋹ b und ein n ⋹ b derart, dass k = z ; h
und n = z ; m, und zwar muss wegen h ≠ m auch k ≠ n sein. Es sind
also nach l mindestens zwei bl nämlich bk und bn gleich 1 und ist damit
auch die Σl0'i lbl für jedes i gleich 1, q. e. d. Und vice versa.

Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie-
digend, weil er auf dem Argumentiren auf Elemente und Unterscheidung
von Einzahl und Mehrzahl bei diesen beruht.

Analytisch gelingt der Beweis unsrer Behauptung 46) in der Gestalt:
(0'aă = 0) = (0'bb̆ = 0) zweitens wie folgt. Sei 0'aă = 0, so ist
0'bb̆ = 0' · z ; a · ă ; z̆ = 0' · z ; a ; ă ; z̆ = 0' · z ; aă ; z̆ = 0' · z ; (1'aă + 0'aă) ; z̆ =
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also auch 0'bb̆ = 0, q. e. d. Desgleichen umgekehrt.

Ein dritter Beweis soll direkt für die Form ă ; 0' ; a = b̆ ; 0' ; b ge-
geben werden. Wegen a = z̆ ; 1, b = z ; 1 ist ă ; 0' ; a = 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1,
b̆ ; 0' ; b = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1, mithin die Gleichheit der beiden rechten Seiten
darzuthun, oder der erste von den vier Ausdrücken auch in den letzten
noch zu transformiren. Wir haben auch: ă ; 0' ; a = 1 ; 0'aă ; 1 = 1 ; 0'(z̆ ; 1 ; z) ; 1.

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[630/0644] Zwölfte Vorlesung. Jenes so: (1 ⋹ 0' ; a) = (1' ; 1 ⋹ 0' ; a ; 1) = (1' ⋹ 0' ; a ; 1 ɟ 0 = 0' ; a ; 1 = 0' ; a) = = (1' ⋹ 0' ; a) = (1' ⋹ 0' ; a + 0 ɟ z) = (1' ⋹ 0' ; a ɟ 0 + 0 ɟ z) = (1' ⋹ 0' ; a ɟ 0 ɟ z) = = (1' ⋹ 0' ; a ɟ z) = (1' ; z̄̆ ⋹ 0' ; a) = (z̄̆ ⋹ 0' ; a) weil 0 ɟ z = 0 — cf. 31) — und 0' ; a System ist. Dieses so: (1 ⋹ z̄ ; a) = {1 ⋹ (z̄ ɟ 0') ; a ⋹ z̄ ɟ 0' ; a} ⋹ (1 ⋹ z̄ ɟ 0' ; a) = (z̆ ; 1 ⋹ 0' ; a). Aufgrund von 48) gilt zwar für a ∽ b gewiss: (1 ⋹ 0' ; b) = (1 ⋹ z̄ ; a). Zu sagen, dass, weil a ∽ a, für b = a nun auch sein müsse (1 ⋹ 0' ; a) = = (1 ⋹ z̄ ; a), würde jedoch ein Fehlschluss sein, weil es zwar in der That ein z̄ resp. z derart geben wird, dieses aber als a auf sich selbst voll- gedeckt abbildend ein anderes — Z — sein wird als unser a in b (und eventuell in a hinein) abbildendes z. Also auf diesen Wegen kommt man nicht zum Ziele.] Um erstmals in der Form (1 ⋹ 0' ; a) = (1 ⋹ 0' ; b) unsern Satz 46) zu beweisen, wird es der Symmetrie halber genügen, blos zu zeigen, dass (1 ⋹ 0' ; a) ⋹ (1 ⋹ 0' ; b), d. h. Πi(1 ⋹ Σl0'i lal) ⋹ Πi(1 ⋹ Σl0'i lbl). Damit für jedes l die Σl0'i lal = aA + aB + … (ohne ai) gleich 1 sein könne, muss nach l mehr als ein al gleich 1 sein. Denn wäre blos ein al — sagen wir ai — gleich 1, so verschwände für dieses i die Summe; und wäre gar kein al gleich 1, so müsste sie ja für jedes i verschwinden. Es gibt also mindestens zwei Werte h und m, wo h ≠ m, von l, für welche al = 1 ist, d. h. wir haben ah = 1 und am = 1 oder sowol h ⋹ a als m ⋹ a mit h ≠ m. Nach der ursprünglichen Fassung des Begriffs der ähnlichen Abbil- dung z gibt es nun auch ein k ⋹ b und ein n ⋹ b derart, dass k = z ; h und n = z ; m, und zwar muss wegen h ≠ m auch k ≠ n sein. Es sind also nach l mindestens zwei bl nämlich bk und bn gleich 1 und ist damit auch die Σl0'i lbl für jedes i gleich 1, q. e. d. Und vice versa. Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie- digend, weil er auf dem Argumentiren auf Elemente und Unterscheidung von Einzahl und Mehrzahl bei diesen beruht. Analytisch gelingt der Beweis unsrer Behauptung 46) in der Gestalt: (0'aă = 0) = (0'bb̆ = 0) zweitens wie folgt. Sei 0'aă = 0, so ist 0'bb̆ = 0' · z ; a · ă ; z̆ = 0' · z ; a ; ă ; z̆ = 0' · z ; aă ; z̆ = 0' · z ; (1'aă + 0'aă) ; z̆ = = 0' · z ; 1'aă ; z̆ ⋹ 0' · z ; 1' ; z̆ = 0' · z ; z̆ ⋹ 0' · 1' = 0, also auch 0'bb̆ = 0, q. e. d. Desgleichen umgekehrt. Ein dritter Beweis soll direkt für die Form ă ; 0' ; a = b̆ ; 0' ; b ge- geben werden. Wegen a = z̆ ; 1, b = z ; 1 ist ă ; 0' ; a = 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1, b̆ ; 0' ; b = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1, mithin die Gleichheit der beiden rechten Seiten darzuthun, oder der erste von den vier Ausdrücken auch in den letzten noch zu transformiren. Wir haben auch: ă ; 0' ; a = 1 ; 0'aă ; 1 = 1 ; 0'(z̆ ; 1 ; z) ; 1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 630. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/644>, abgerufen am 17.05.2024.