Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Zwölfte Vorlesung. Jenes so: Aufgrund von 48) gilt zwar für a b gewiss: (1 0' ; b) = (1 zn ; a). Um erstmals in der Form (1 0' ; a) = (1 0' ; b) unsern Satz 46) Nach der ursprünglichen Fassung des Begriffs der ähnlichen Abbil- Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie- Analytisch gelingt der Beweis unsrer Behauptung 46) in der Gestalt: Ein dritter Beweis soll direkt für die Form a ; 0' ; a = b ; 0' ; b ge- Zwölfte Vorlesung. Jenes so: Aufgrund von 48) gilt zwar für a ∽ b gewiss: (1 ⋹ 0' ; b) = (1 ⋹ z̄ ; a). Um erstmals in der Form (1 ⋹ 0' ; a) = (1 ⋹ 0' ; b) unsern Satz 46) Nach der ursprünglichen Fassung des Begriffs der ähnlichen Abbil- Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie- Analytisch gelingt der Beweis unsrer Behauptung 46) in der Gestalt: Ein dritter Beweis soll direkt für die Form ă ; 0' ; a = b̆ ; 0' ; b ge- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0644" n="630"/> <fw place="top" type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/> <p>Jenes so:<lb/> (1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) = (1' ; 1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1) = (1' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 ɟ 0 = 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> ; 1 = 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) =<lb/> = (1' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) = (1' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> + 0 ɟ <hi rendition="#i">z</hi>) = (1' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> ɟ 0 + 0 ɟ <hi rendition="#i">z</hi>) = (1' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> ɟ 0 ɟ <hi rendition="#i">z</hi>) =<lb/> = (1' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> ɟ <hi rendition="#i">z</hi>) = (1' ; <hi rendition="#i">z̄̆</hi> ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">z̄̆</hi> ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) weil 0 ɟ <hi rendition="#i">z</hi> = 0<lb/> — cf. 31) — und 0' ; <hi rendition="#i">a</hi> System ist. Dieses so:<lb/><hi rendition="#c">(1 ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>) = {1 ⋹ (<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 0') ; <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>} ⋹ (1 ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">z̆</hi> ; 1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>).</hi></p><lb/> <p>Aufgrund von 48) gilt zwar für <hi rendition="#i">a</hi> ∽ <hi rendition="#i">b</hi> gewiss: (1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (1 ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>).<lb/> Zu sagen, dass, weil <hi rendition="#i">a</hi> ∽ <hi rendition="#i">a</hi>, für <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> nun auch sein müsse (1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) =<lb/> = (1 ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>), würde jedoch ein Fehlschluss sein, weil es zwar in der That<lb/> ein <hi rendition="#i">z̄</hi> resp. <hi rendition="#i">z</hi> derart geben wird, dieses aber als <hi rendition="#i">a</hi> auf sich selbst voll-<lb/> gedeckt abbildend ein anderes — <hi rendition="#i">Z</hi> — sein wird als unser <hi rendition="#i">a</hi> in <hi rendition="#i">b</hi> (und<lb/> eventuell in <hi rendition="#i">a</hi> hinein) abbildendes <hi rendition="#i">z</hi>. Also auf diesen Wegen kommt man<lb/> nicht zum Ziele.]</p><lb/> <p>Um erstmals in der Form (1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) = (1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">b</hi>) unsern Satz 46)<lb/> zu <hi rendition="#g">beweisen</hi>, wird es der Symmetrie halber genügen, blos zu zeigen, dass<lb/><hi rendition="#c">(1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">a</hi>) ⋹ (1 ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">b</hi>), d. h. <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi></hi>(1 ⋹ <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi>a<hi rendition="#sub">l</hi></hi>) ⋹ <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi></hi>(1 ⋹ <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi>b<hi rendition="#sub">l</hi></hi>).</hi><lb/> Damit für jedes <hi rendition="#i">l</hi> die <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi>a<hi rendition="#sub">l</hi></hi> = <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">A</hi></hi> + <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">B</hi></hi> + … (ohne <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">i</hi></hi>) gleich 1 sein könne,<lb/> muss nach <hi rendition="#i">l mehr als ein a<hi rendition="#sub">l</hi></hi> gleich 1 sein. 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Es sind<lb/> also nach <hi rendition="#i">l</hi> mindestens zwei <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">l</hi></hi> nämlich <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">k</hi></hi> und <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">n</hi></hi> gleich 1 und ist damit<lb/> auch die <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">l</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i l</hi>b<hi rendition="#sub">l</hi></hi> für jedes <hi rendition="#i">i</hi> gleich 1, q. e. d. Und vice versa.</p><lb/> <p>Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie-<lb/> digend, weil er auf dem Argumentiren auf Elemente und Unterscheidung<lb/> von Einzahl und Mehrzahl bei diesen beruht.</p><lb/> <p>Analytisch gelingt der <hi rendition="#g">Beweis</hi> unsrer Behauptung 46) in der Gestalt:<lb/> (0'<hi rendition="#i">aă</hi> = 0) = (0'<hi rendition="#i">bb̆</hi> = 0) zweitens wie folgt. 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Zwölfte Vorlesung.
Jenes so:
(1 ⋹ 0' ; a) = (1' ; 1 ⋹ 0' ; a ; 1) = (1' ⋹ 0' ; a ; 1 ɟ 0 = 0' ; a ; 1 = 0' ; a) =
= (1' ⋹ 0' ; a) = (1' ⋹ 0' ; a + 0 ɟ z) = (1' ⋹ 0' ; a ɟ 0 + 0 ɟ z) = (1' ⋹ 0' ; a ɟ 0 ɟ z) =
= (1' ⋹ 0' ; a ɟ z) = (1' ; z̄̆ ⋹ 0' ; a) = (z̄̆ ⋹ 0' ; a) weil 0 ɟ z = 0
— cf. 31) — und 0' ; a System ist. Dieses so:
(1 ⋹ z̄ ; a) = {1 ⋹ (z̄ ɟ 0') ; a ⋹ z̄ ɟ 0' ; a} ⋹ (1 ⋹ z̄ ɟ 0' ; a) = (z̆ ; 1 ⋹ 0' ; a).
Aufgrund von 48) gilt zwar für a ∽ b gewiss: (1 ⋹ 0' ; b) = (1 ⋹ z̄ ; a).
Zu sagen, dass, weil a ∽ a, für b = a nun auch sein müsse (1 ⋹ 0' ; a) =
= (1 ⋹ z̄ ; a), würde jedoch ein Fehlschluss sein, weil es zwar in der That
ein z̄ resp. z derart geben wird, dieses aber als a auf sich selbst voll-
gedeckt abbildend ein anderes — Z — sein wird als unser a in b (und
eventuell in a hinein) abbildendes z. Also auf diesen Wegen kommt man
nicht zum Ziele.]
Um erstmals in der Form (1 ⋹ 0' ; a) = (1 ⋹ 0' ; b) unsern Satz 46)
zu beweisen, wird es der Symmetrie halber genügen, blos zu zeigen, dass
(1 ⋹ 0' ; a) ⋹ (1 ⋹ 0' ; b), d. h. Πi(1 ⋹ Σl0'i lal) ⋹ Πi(1 ⋹ Σl0'i lbl).
Damit für jedes l die Σl0'i lal = aA + aB + … (ohne ai) gleich 1 sein könne,
muss nach l mehr als ein al gleich 1 sein. Denn wäre blos ein al
— sagen wir ai — gleich 1, so verschwände für dieses i die Summe; und
wäre gar kein al gleich 1, so müsste sie ja für jedes i verschwinden. Es
gibt also mindestens zwei Werte h und m, wo h ≠ m, von l, für welche
al = 1 ist, d. h. wir haben ah = 1 und am = 1 oder sowol h ⋹ a als
m ⋹ a mit h ≠ m.
Nach der ursprünglichen Fassung des Begriffs der ähnlichen Abbil-
dung z gibt es nun auch ein k ⋹ b und ein n ⋹ b derart, dass k = z ; h
und n = z ; m, und zwar muss wegen h ≠ m auch k ≠ n sein. Es sind
also nach l mindestens zwei bl nämlich bk und bn gleich 1 und ist damit
auch die Σl0'i lbl für jedes i gleich 1, q. e. d. Und vice versa.
Dieser Beweis, obzwar bindend, ist aber methodologisch nicht befrie-
digend, weil er auf dem Argumentiren auf Elemente und Unterscheidung
von Einzahl und Mehrzahl bei diesen beruht.
Analytisch gelingt der Beweis unsrer Behauptung 46) in der Gestalt:
(0'aă = 0) = (0'bb̆ = 0) zweitens wie folgt. Sei 0'aă = 0, so ist
0'bb̆ = 0' · z ; a · ă ; z̆ = 0' · z ; a ; ă ; z̆ = 0' · z ; aă ; z̆ = 0' · z ; (1'aă + 0'aă) ; z̆ =
= 0' · z ; 1'aă ; z̆ ⋹ 0' · z ; 1' ; z̆ = 0' · z ; z̆ ⋹ 0' · 1' = 0,
also auch 0'bb̆ = 0, q. e. d. Desgleichen umgekehrt.
Ein dritter Beweis soll direkt für die Form ă ; 0' ; a = b̆ ; 0' ; b ge-
geben werden. Wegen a = z̆ ; 1, b = z ; 1 ist ă ; 0' ; a = 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1,
b̆ ; 0' ; b = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1, mithin die Gleichheit der beiden rechten Seiten
darzuthun, oder der erste von den vier Ausdrücken auch in den letzten
noch zu transformiren. Wir haben auch: ă ; 0' ; a = 1 ; 0'aă ; 1 = 1 ; 0'(z̆ ; 1 ; z) ; 1.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 630. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/644>, abgerufen am 01.09.2024. |