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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
falles allesamt von 0 verschieden sein. Sie lässt sich leicht und auf ver-
schiedne Weisen aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition folgern.

Man hat erstlich zu den beiden Hauptbedingungen von (17) a z ; b,
b z ; a die Einzelresultanten (der Elimination von z): a 1 ; b, b 1 ; a.
Da aber nach 49) S. 453: (a 1 ; b) = (1 ; a 1 ; b) und ebenso (b 1 ; a) =
= (1 ; b 1 ; a), so gibt die Vereinigung dieser beiden eben die Gleichung
1 ; a = 1 ; b, q. e. d.

Es konnte aber auch a 1 ; b in a = a · 1 ; b = a ; b umgeschrieben
werden, sodass
(a = a ; b)(b = b ; a)
eine andre Schreibweise derselben Resultante vorstellt. Jedoch gelten die
beiden Hauptbedingungen auch als Gleichungen: a = z ; b, b = z ; a und
geben als solche die Einzelresultanten: a = (a j bn) ; b, b = (b j an) ; a
-- cf. § 19. Da unser a j bn = a j 0 j bn = a j 0 + 0 j bn = a + bn, und
bn ; b = 1 ; bnb = 0 ist, so leuchtet überdies die Identität dieser beiden letztern
mit den vorigen a = a ; b, etc. unmittelbar ein.

Konvertirt man die erstere Gleichung, so gelangt man mit a = b ; z,
b = z ; a durch Einsetzung zu dem Schlusse: b ; b = b ; z ; a = a ; a, womit
a ; a = b ; b gewonnen ist.

[Denselben Schluss konnte man auch -- anstatt in z -- mit dem
Werte 13) von y ausführen, wobei dann das blos in der Verbindung
ph(x) = (xn j 1')x(1' j xn) in der Ähnlichkeitsbedingung (14) vorkommende x
zugleich mit diesem ph(x)(= y) vollständig eliminirt erscheint. Dass aber,
wenn x blos als Baustein, Argument eines Ausdrucks ph(x) vorkommt, die
Resultante der Elimination von ph(x) noch lange nicht die Resultante von x,
sondern blos eine Unterresultante von dieser vorstellt, hatten wir schon
S. 287, Fussnote Gelegenheit zu betonen und finden wir hier bestätigt.
Denn die Bedingung a ; a = b ; b genügt bei weitem nicht, um die Ähn-
lichkeit von a und b zu verbürgen. Vielmehr ist dieselbe blos äquivalent
mit 44).]

In der That ist auch a ; a = 1 ; aa = 1 ; a, mithin die Aussage a ; a = b ; b
von 1 ; a = 1 ; b nicht wesentlich verschieden.

Die in 31) mitangeführte Resultante a ; 1 ; a = b ; 1 ; b ergibt sich, in-
dem man die letzte mit der beiderseitig konvertirten übermultiplizirt, des-
gleichen auch indem man sie in der Form a ; 1' ; a = b ; 1' ; b zu der nach-
her zu rechtfertigenden a ; 0' ; a = b ; 0' ; b überschiebend addirt.

Als zweite Bedingung und Partialresultante war
46) (a b) (0 j 0' ; a = 0 j 0' ; b) = (a ; 0' ; a = b ; 0 ; b) = etc.
mit noch viel anderen schon in 31) gegen Schluss mit aufgezählten
Ausdrucksformen zu notiren. Was sie stipulirt, haben wir bereits im

Zwölfte Vorlesung.
falles allesamt von 0 verschieden sein. Sie lässt sich leicht und auf ver-
schiedne Weisen aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition folgern.

Man hat erstlich zu den beiden Hauptbedingungen von (17) a ⋹ z̆ ; b,
b ⋹ z ; a die Einzelresultanten (der Elimination von z): a ⋹ 1 ; b, b ⋹ 1 ; a.
Da aber nach 49) S. 453: (a ⋹ 1 ; b) = (1 ; a ⋹ 1 ; b) und ebenso (b ⋹ 1 ; a) =
= (1 ; b ⋹ 1 ; a), so gibt die Vereinigung dieser beiden eben die Gleichung
1 ; a = 1 ; b, q. e. d.

Es konnte aber auch a ⋹ 1 ; b in a = a · 1 ; b = a ; b umgeschrieben
werden, sodass
(a = a ; b)(b = b ; a)
eine andre Schreibweise derselben Resultante vorstellt. Jedoch gelten die
beiden Hauptbedingungen auch als Gleichungen: a = z̆ ; b, b = z ; a und
geben als solche die Einzelresultanten: a = (a ɟ b̄̆) ; b, b = (b ɟ ā̆) ; a
— cf. § 19. Da unser a ɟ b̄̆ = a ɟ 0 ɟ b̄̆ = a ɟ 0 + 0 ɟ b̄̆ = a + b̄̆, und
b̄̆ ; b = 1 ; b̄b = 0 ist, so leuchtet überdies die Identität dieser beiden letztern
mit den vorigen a = a ; b, etc. unmittelbar ein.

Konvertirt man die erstere Gleichung, so gelangt man mit ă = b̆ ; z,
b = z ; a durch Einsetzung zu dem Schlusse: b̆ ; b = b̆ ; z ; a = ă ; a, womit
ă ; a = b̆ ; b gewonnen ist.

[Denselben Schluss konnte man auch — anstatt in z — mit dem
Werte 13) von y ausführen, wobei dann das blos in der Verbindung
φ(x) = (x̄ ɟ 1')x(1' ɟ x̄) in der Ähnlichkeitsbedingung (14) vorkommende x
zugleich mit diesem φ(x)(= y) vollständig eliminirt erscheint. Dass aber,
wenn x blos als Baustein, Argument eines Ausdrucks φ(x) vorkommt, die
Resultante der Elimination von φ(x) noch lange nicht die Resultante von x,
sondern blos eine Unterresultante von dieser vorstellt, hatten wir schon
S. 287, Fussnote Gelegenheit zu betonen und finden wir hier bestätigt.
Denn die Bedingung ă ; a = b̆ ; b genügt bei weitem nicht, um die Ähn-
lichkeit von a und b zu verbürgen. Vielmehr ist dieselbe blos äquivalent
mit 44).]

In der That ist auch ă ; a = 1 ; aa = 1 ; a, mithin die Aussage ă ; a = b̆ ; b
von 1 ; a = 1 ; b nicht wesentlich verschieden.

Die in 31) mitangeführte Resultante ă ; 1 ; a = b̆ ; 1 ; b ergibt sich, in-
dem man die letzte mit der beiderseitig konvertirten übermultiplizirt, des-
gleichen auch indem man sie in der Form ă ; 1' ; a = b̆ ; 1' ; b zu der nach-
her zu rechtfertigenden ă ; 0' ; a = b̆ ; 0' ; b überschiebend addirt.

Als zweite Bedingung und Partialresultante war
46) (a ∽ b) ⋹ (0 ɟ 0' ; a = 0 ɟ 0' ; b) = (ă ; 0' ; a = b̆ ; 0 ; b) = etc.
mit noch viel anderen schon in 31) gegen Schluss mit aufgezählten
Ausdrucksformen zu notiren. Was sie stipulirt, haben wir bereits im

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[628/0642] Zwölfte Vorlesung. falles allesamt von 0 verschieden sein. Sie lässt sich leicht und auf ver- schiedne Weisen aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition folgern. Man hat erstlich zu den beiden Hauptbedingungen von (17) a ⋹ z̆ ; b, b ⋹ z ; a die Einzelresultanten (der Elimination von z): a ⋹ 1 ; b, b ⋹ 1 ; a. Da aber nach 49) S. 453: (a ⋹ 1 ; b) = (1 ; a ⋹ 1 ; b) und ebenso (b ⋹ 1 ; a) = = (1 ; b ⋹ 1 ; a), so gibt die Vereinigung dieser beiden eben die Gleichung 1 ; a = 1 ; b, q. e. d. Es konnte aber auch a ⋹ 1 ; b in a = a · 1 ; b = a ; b umgeschrieben werden, sodass (a = a ; b)(b = b ; a) eine andre Schreibweise derselben Resultante vorstellt. Jedoch gelten die beiden Hauptbedingungen auch als Gleichungen: a = z̆ ; b, b = z ; a und geben als solche die Einzelresultanten: a = (a ɟ b̄̆) ; b, b = (b ɟ ā̆) ; a — cf. § 19. Da unser a ɟ b̄̆ = a ɟ 0 ɟ b̄̆ = a ɟ 0 + 0 ɟ b̄̆ = a + b̄̆, und b̄̆ ; b = 1 ; b̄b = 0 ist, so leuchtet überdies die Identität dieser beiden letztern mit den vorigen a = a ; b, etc. unmittelbar ein. Konvertirt man die erstere Gleichung, so gelangt man mit ă = b̆ ; z, b = z ; a durch Einsetzung zu dem Schlusse: b̆ ; b = b̆ ; z ; a = ă ; a, womit ă ; a = b̆ ; b gewonnen ist. [Denselben Schluss konnte man auch — anstatt in z — mit dem Werte 13) von y ausführen, wobei dann das blos in der Verbindung φ(x) = (x̄ ɟ 1')x(1' ɟ x̄) in der Ähnlichkeitsbedingung (14) vorkommende x zugleich mit diesem φ(x)(= y) vollständig eliminirt erscheint. Dass aber, wenn x blos als Baustein, Argument eines Ausdrucks φ(x) vorkommt, die Resultante der Elimination von φ(x) noch lange nicht die Resultante von x, sondern blos eine Unterresultante von dieser vorstellt, hatten wir schon S. 287, Fussnote Gelegenheit zu betonen und finden wir hier bestätigt. Denn die Bedingung ă ; a = b̆ ; b genügt bei weitem nicht, um die Ähn- lichkeit von a und b zu verbürgen. Vielmehr ist dieselbe blos äquivalent mit 44).] In der That ist auch ă ; a = 1 ; aa = 1 ; a, mithin die Aussage ă ; a = b̆ ; b von 1 ; a = 1 ; b nicht wesentlich verschieden. Die in 31) mitangeführte Resultante ă ; 1 ; a = b̆ ; 1 ; b ergibt sich, in- dem man die letzte mit der beiderseitig konvertirten übermultiplizirt, des- gleichen auch indem man sie in der Form ă ; 1' ; a = b̆ ; 1' ; b zu der nach- her zu rechtfertigenden ă ; 0' ; a = b̆ ; 0' ; b überschiebend addirt. Als zweite Bedingung und Partialresultante war 46) (a ∽ b) ⋹ (0 ɟ 0' ; a = 0 ɟ 0' ; b) = (ă ; 0' ; a = b̆ ; 0 ; b) = etc. mit noch viel anderen schon in 31) gegen Schluss mit aufgezählten Ausdrucksformen zu notiren. Was sie stipulirt, haben wir bereits im

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 628. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/642>, abgerufen am 17.05.2024.