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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Erste bei der Ähnlichkeit involvirte Partialresultante.

Anders die beiden letzten Bedingungen sub 1 1/4 in 43).

Die letzte 0 j a = 0 j b von diesen, äquivalent mit 0 j a j 0 = 0 j b j 0
läuft hinaus auf
(a = 1) = (b = 1), also auch (a 1) = (b 1)
und besagt, dass, wenn von zwei ähnlichen Systemen das eine die sämt-
lichen Elemente des Denkbereiches umfasst, dies auch beim andern der
Fall sein müsse, und wenn dort nicht, so auch hier nicht.

In Verbindung mit dieser letzten sagt die vorletzte Bedingung 1 ; (1' j a) =
= 1 ; (1' j b) oder 0 j 0' ; an = 0 j 0' ; bn aus, dass ferner, wenn a sämtliche
Elemente des Denkbereiches bis auf eines enthält, dann auch b sämtliche
Elemente mit Ausnahme von irgend einem enthalten müsse, und andern-
falles nicht -- sowie umgekehrt.

Diese beiden Bedingungen werden aber in der That nur für einen
"endlichen" Denkbereich, und für jeden solchen, gültig sein. Sie können
für einen unbegrenzten Denkbereich unmöglich Geltung haben, weil von
solchem bekannt ist, dass er auch in echte Teile seinerselbst eineindeutig
oder ähnlich abgebildet werden kann (S. 596). Ebensowenig also werden
diese beiden "letzten" Bedingungen für den voraussetzungslosen Denkbereich
Geltung beanspruchen dürfen; sie können durchaus nicht etwa zwingende
Konklusionen aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition sein und lassen sich als
solche in der That auch nicht beweisen.

Allgemein hat man sich etwa in der Mitte der zu 1 1/4 gemachten An-
gabe 43) eine Cäsur, einen Einschnitt angebracht und in die Öffnung
Punkte "..." hineingesetzt zu denken, welche bei den höhern Denkbereichen
durch immer mehr noch weiter einzuschaltende bislang noch unbekannte
Bedingungen ersetzt zu denken sind, während die beiden ersten Bedingungen
(als partielle Resultanten) für jeden Denkbereich bestehen und sich fort-
erhalten müssen.

Überspringen wir nun die Punkte ..., so wird auch die vorletzte und
die letzte von den vier sub 1 1/4 angeführten Bedingungen in jedem begrenzten
Denkbereiche noch Geltung behalten und die Reihe der Partialresultanten
abschliessen.

Dagegen wird man sich vorzustellen haben, dass, wenn bei ev. un-
begrenztem Denkbereiche auf dem hier betretnen Wege die explizite Ähn-
lichkeitsdefinition mittelst Hinzufügung von immer weitren Bedingungen
(als Partialresultanten) zu den beiden ersten sub 1 1/4 in 43) angeführten
jemals ihre Ergänzung (zur vollen Resultante), deren sie noch bedarf, finden
sollte: alsdann die beiden "letzten" Bedingungen von ebenda "niemals
kommen" werden. --

Die erste Bedingung und Partialresultante:
45) (a b) (1 ; a = 1 ; b) = (a ; a = b ; b) = etc.
-- deren noch andere Formen wir bereits in den zwei ersten Zeilen
unter dem Strich in 31) S. 617 aufgeführt -- statuirt, wie gesagt:
Ähnliche Systeme können nur gleichzeitig verschwinden, und müssen andern-

40*
§ 31. Erste bei der Ähnlichkeit involvirte Partialresultante.

Anders die beiden letzten Bedingungen sub 1 ¼ in 43).

Die letzte 0 ɟ a = 0 ɟ b von diesen, äquivalent mit 0 ɟ a ɟ 0 = 0 ɟ b ɟ 0
läuft hinaus auf
(a = 1) = (b = 1), also auch (a ≠ 1) = (b ≠ 1)
und besagt, dass, wenn von zwei ähnlichen Systemen das eine die sämt-
lichen Elemente des Denkbereiches umfasst, dies auch beim andern der
Fall sein müsse, und wenn dort nicht, so auch hier nicht.

In Verbindung mit dieser letzten sagt die vorletzte Bedingung 1 ; (1' ɟ a) =
= 1 ; (1' ɟ b) oder 0 ɟ 0' ; ā = 0 ɟ 0' ; b̄ aus, dass ferner, wenn a sämtliche
Elemente des Denkbereiches bis auf eines enthält, dann auch b sämtliche
Elemente mit Ausnahme von irgend einem enthalten müsse, und andern-
falles nicht — sowie umgekehrt.

Diese beiden Bedingungen werden aber in der That nur für einen
„endlichen“ Denkbereich, und für jeden solchen, gültig sein. Sie können
für einen unbegrenzten Denkbereich unmöglich Geltung haben, weil von
solchem bekannt ist, dass er auch in echte Teile seinerselbst eineindeutig
oder ähnlich abgebildet werden kann (S. 596). Ebensowenig also werden
diese beiden „letzten“ Bedingungen für den voraussetzungslosen Denkbereich
Geltung beanspruchen dürfen; sie können durchaus nicht etwa zwingende
Konklusionen aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition sein und lassen sich als
solche in der That auch nicht beweisen.

Allgemein hat man sich etwa in der Mitte der zu 1 ¼ gemachten An-
gabe 43) eine Cäsur, einen Einschnitt angebracht und in die Öffnung
Punkte „…“ hineingesetzt zu denken, welche bei den höhern Denkbereichen
durch immer mehr noch weiter einzuschaltende bislang noch unbekannte
Bedingungen ersetzt zu denken sind, während die beiden ersten Bedingungen
(als partielle Resultanten) für jeden Denkbereich bestehen und sich fort-
erhalten müssen.

Überspringen wir nun die Punkte …, so wird auch die vorletzte und
die letzte von den vier sub 1 ¼ angeführten Bedingungen in jedem begrenzten
Denkbereiche noch Geltung behalten und die Reihe der Partialresultanten
abschliessen.

Dagegen wird man sich vorzustellen haben, dass, wenn bei ev. un-
begrenztem Denkbereiche auf dem hier betretnen Wege die explizite Ähn-
lichkeitsdefinition mittelst Hinzufügung von immer weitren Bedingungen
(als Partialresultanten) zu den beiden ersten sub 1 ¼ in 43) angeführten
jemals ihre Ergänzung (zur vollen Resultante), deren sie noch bedarf, finden
sollte: alsdann die beiden „letzten“ Bedingungen von ebenda „niemals
kommen“ werden. —

Die erste Bedingung und Partialresultante:
45) (a ∽ b) ⋹ (1 ; a = 1 ; b) = (ă ; a = b̆ ; b) = etc.
— deren noch andere Formen wir bereits in den zwei ersten Zeilen
unter dem Strich in 31) S. 617 aufgeführt — statuirt, wie gesagt:
Ähnliche Systeme können nur gleichzeitig verschwinden, und müssen andern-

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[627/0641] § 31. Erste bei der Ähnlichkeit involvirte Partialresultante. Anders die beiden letzten Bedingungen sub 1 ¼ in 43). Die letzte 0 ɟ a = 0 ɟ b von diesen, äquivalent mit 0 ɟ a ɟ 0 = 0 ɟ b ɟ 0 läuft hinaus auf (a = 1) = (b = 1), also auch (a ≠ 1) = (b ≠ 1) und besagt, dass, wenn von zwei ähnlichen Systemen das eine die sämt- lichen Elemente des Denkbereiches umfasst, dies auch beim andern der Fall sein müsse, und wenn dort nicht, so auch hier nicht. In Verbindung mit dieser letzten sagt die vorletzte Bedingung 1 ; (1' ɟ a) = = 1 ; (1' ɟ b) oder 0 ɟ 0' ; ā = 0 ɟ 0' ; b̄ aus, dass ferner, wenn a sämtliche Elemente des Denkbereiches bis auf eines enthält, dann auch b sämtliche Elemente mit Ausnahme von irgend einem enthalten müsse, und andern- falles nicht — sowie umgekehrt. Diese beiden Bedingungen werden aber in der That nur für einen „endlichen“ Denkbereich, und für jeden solchen, gültig sein. Sie können für einen unbegrenzten Denkbereich unmöglich Geltung haben, weil von solchem bekannt ist, dass er auch in echte Teile seinerselbst eineindeutig oder ähnlich abgebildet werden kann (S. 596). Ebensowenig also werden diese beiden „letzten“ Bedingungen für den voraussetzungslosen Denkbereich Geltung beanspruchen dürfen; sie können durchaus nicht etwa zwingende Konklusionen aus unsrer Ähnlichkeitsdefinition sein und lassen sich als solche in der That auch nicht beweisen. Allgemein hat man sich etwa in der Mitte der zu 1 ¼ gemachten An- gabe 43) eine Cäsur, einen Einschnitt angebracht und in die Öffnung Punkte „…“ hineingesetzt zu denken, welche bei den höhern Denkbereichen durch immer mehr noch weiter einzuschaltende bislang noch unbekannte Bedingungen ersetzt zu denken sind, während die beiden ersten Bedingungen (als partielle Resultanten) für jeden Denkbereich bestehen und sich fort- erhalten müssen. Überspringen wir nun die Punkte …, so wird auch die vorletzte und die letzte von den vier sub 1 ¼ angeführten Bedingungen in jedem begrenzten Denkbereiche noch Geltung behalten und die Reihe der Partialresultanten abschliessen. Dagegen wird man sich vorzustellen haben, dass, wenn bei ev. un- begrenztem Denkbereiche auf dem hier betretnen Wege die explizite Ähn- lichkeitsdefinition mittelst Hinzufügung von immer weitren Bedingungen (als Partialresultanten) zu den beiden ersten sub 1 ¼ in 43) angeführten jemals ihre Ergänzung (zur vollen Resultante), deren sie noch bedarf, finden sollte: alsdann die beiden „letzten“ Bedingungen von ebenda „niemals kommen“ werden. — Die erste Bedingung und Partialresultante: 45) (a ∽ b) ⋹ (1 ; a = 1 ; b) = (ă ; a = b̆ ; b) = etc. — deren noch andere Formen wir bereits in den zwei ersten Zeilen unter dem Strich in 31) S. 617 aufgeführt — statuirt, wie gesagt: Ähnliche Systeme können nur gleichzeitig verschwinden, und müssen andern- 40*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 627. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/641>, abgerufen am 23.11.2024.