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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Nun ist auch die in D 33 statuirte Transitivität der Ähnlichkeits-
beziehung zwischen den Systemen a, b, c offenbar. Denn wenn es eine
ähnliche Abbildung x von a in b und eine solche y von b in c gibt, so
gibt es nach D 31 auch in Gestalt von y ; x eine ähnliche Abbildung z von
a in c, q. e. d.

Etwas mehr Umstände macht uns der Beweis von D 35, S. 610.

Zu dem Ende mögen wir uns etwa die Ähnlichkeitsdefinition in der
Fassung aus 1) und (4) vergegenwärtigen:
40) (a b) =
[Formel 1] ,
wo für Zh k = Pm{(m h) (k z ; m)}Pn{(n k) (n z ; h)}
etwas bequemer wie bei 1) der in 12) für Zk h gegebne Ausdruck ge-
nommen werden mag, und wo die Ersetzung der Einordnungszeichen und
ihrer Negation bei den Thesen (sive Aussagensubsumtionsprädikaten, wie
k z ; h) durch Gleichheitszeichen und deren Negation aus 26) bereits ge-
rechtfertigt erscheint.

Wenn nun gemäss der zur Voraussetzung erhobnen rechten Seite
von 40) z das System a ähnlich in das b abbildet, also b = z ; a, z ; b = a
ist und c = c ; 1 a ein Teilsystem von a vorstellt, so folgt auch z ; c z ; a,
und falls z ; c = d genannt wird: d b. Es wird nun zu zeigen sein, dass
dieses System d = z ; c ähnlich mit c sein*), mithin gelten muss:
Ph{(hc) Sk(z ; h = k d)Zk h}Pk{(k d) Sh(z ; k = h c)Zk h}.
Da nun mit h c, resp. k d, a fortiori auch h a resp. k b folgt,
so erscheinen in der That mit Einschluss von Zk h sämtliche Teilbehaup-
tungen unsrer Thesis mit 40) sogleich verbürgt bis auf diese beiden,
dass links k d, rechts h c sei.
[In dem Ph und dem Pk sind h und k durch verschiedne Voraussetzungen
eingeführt, haben also a priori verschiedne Bedeutungen und nichts mit-
einander zu schaffen. Wenn nun für das erstre h, welches c a, so-
gleich feststeht, dass es ein k b gebe so, dass z ; h = k ist, so sind wir
doch nicht am Ziele, weil ja zu beweisen bleibt, dass dieses k sogar d
sei. Etc.] Nun gilt: (k d) + (k dn), (h c) + (h cn), ebenso für das
schon dem System b erwiesnermaassen angehörige Element k:
(k bd = d) + (k bd),
und für das dem a angehörige h: (h ac = c) + (h acn), wobei jeweils
die beiden Möglichkeiten einander ausschliessen.


*) Hiefür unterlässt Herr Dedekind leider eine Begründung anzugeben,
indem er p. 10 das System sogleich mit dem prädikativen Attribute als das "mit c
ähnliche System" z ; c einführt. Es ist ja freilich, ebenso wie schon der ganze
Satz D 35, aus der Anschauung der gegenseitig eindeutigen Zuordnung ohne
weitres einleuchtend. Die Behauptung sollte gleichwol, als beweisbar, nicht ohne
Beweis gelassen werden, und dass sie eines solchen im Sinne unsrer Disziplin
bedarf, wird die Fortsetzung der Überlegung zeigen.
Zwölfte Vorlesung.

Nun ist auch die in D 33 statuirte Transitivität der Ähnlichkeits-
beziehung zwischen den Systemen a, b, c offenbar. Denn wenn es eine
ähnliche Abbildung x von a in b und eine solche y von b in c gibt, so
gibt es nach D 31 auch in Gestalt von y ; x eine ähnliche Abbildung z von
a in c, q. e. d.

Etwas mehr Umstände macht uns der Beweis von D 35, S. 610.

Zu dem Ende mögen wir uns etwa die Ähnlichkeitsdefinition in der
Fassung aus 1) und (4) vergegenwärtigen:
40) (a ∽ b) =
[Formel 1] ,
wo für Zh k = Πm{(m ≠ h) ⋹ (k ≠ z ; m)}Πn{(n ≠ k) ⋹ (n ≠ z ; h)}
etwas bequemer wie bei 1) der in 12) für Zk h gegebne Ausdruck ge-
nommen werden mag, und wo die Ersetzung der Einordnungszeichen und
ihrer Negation bei den Thesen (sive Aussagensubsumtionsprädikaten, wie
k ⋹ z ; h) durch Gleichheitszeichen und deren Negation aus 26) bereits ge-
rechtfertigt erscheint.

Wenn nun gemäss der zur Voraussetzung erhobnen rechten Seite
von 40) z das System a ähnlich in das b abbildet, also b = z ; a, z̆ ; b = a
ist und c = c ; 1 ⋹ a ein Teilsystem von a vorstellt, so folgt auch z ; c ⋹ z ; a,
und falls z ; c = d genannt wird: d ⋹ b. Es wird nun zu zeigen sein, dass
dieses System d = z ; c ähnlich mit c sein*), mithin gelten muss:
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so erscheinen in der That mit Einschluss von Zk h sämtliche Teilbehaup-
tungen unsrer Thesis mit 40) sogleich verbürgt bis auf diese beiden,
dass links k ⋹ d, rechts h ⋹ c sei.
[In dem Πh und dem Πk sind h und k durch verschiedne Voraussetzungen
eingeführt, haben also a priori verschiedne Bedeutungen und nichts mit-
einander zu schaffen. Wenn nun für das erstre h, welches ⋹ c ⋹ a, so-
gleich feststeht, dass es ein k ⋹ b gebe so, dass z ; h = k ist, so sind wir
doch nicht am Ziele, weil ja zu beweisen bleibt, dass dieses k sogar ⋹ d
sei. Etc.] Nun gilt: (k ⋹ d) + (k ⋹ d̄), (h ⋹ c) + (h ⋹ c̄), ebenso für das
schon dem System b erwiesnermaassen angehörige Element k:
(k ⋹ bd = d) + (k ⋹ bd),
und für das dem a angehörige h: (h ⋹ ac = c) + (h ⋹ ac̄), wobei jeweils
die beiden Möglichkeiten einander ausschliessen.


*) Hiefür unterlässt Herr Dedekind leider eine Begründung anzugeben,
indem er p. 10 das System sogleich mit dem prädikativen Attribute als das „mit c
ähnliche System“ z ; c einführt. Es ist ja freilich, ebenso wie schon der ganze
Satz D 35, aus der Anschauung der gegenseitig eindeutigen Zuordnung ohne
weitres einleuchtend. Die Behauptung sollte gleichwol, als beweisbar, nicht ohne
Beweis gelassen werden, und dass sie eines solchen im Sinne unsrer Disziplin
bedarf, wird die Fortsetzung der Überlegung zeigen.
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[622/0636] Zwölfte Vorlesung. Nun ist auch die in D 33 statuirte Transitivität der Ähnlichkeits- beziehung zwischen den Systemen a, b, c offenbar. Denn wenn es eine ähnliche Abbildung x von a in b und eine solche y von b in c gibt, so gibt es nach D 31 auch in Gestalt von y ; x eine ähnliche Abbildung z von a in c, q. e. d. Etwas mehr Umstände macht uns der Beweis von D 35, S. 610. Zu dem Ende mögen wir uns etwa die Ähnlichkeitsdefinition in der Fassung aus 1) und (4) vergegenwärtigen: 40) (a ∽ b) = [FORMEL], wo für Zh k = Πm{(m ≠ h) ⋹ (k ≠ z ; m)}Πn{(n ≠ k) ⋹ (n ≠ z ; h)} etwas bequemer wie bei 1) der in 12) für Zk h gegebne Ausdruck ge- nommen werden mag, und wo die Ersetzung der Einordnungszeichen und ihrer Negation bei den Thesen (sive Aussagensubsumtionsprädikaten, wie k ⋹ z ; h) durch Gleichheitszeichen und deren Negation aus 26) bereits ge- rechtfertigt erscheint. Wenn nun gemäss der zur Voraussetzung erhobnen rechten Seite von 40) z das System a ähnlich in das b abbildet, also b = z ; a, z̆ ; b = a ist und c = c ; 1 ⋹ a ein Teilsystem von a vorstellt, so folgt auch z ; c ⋹ z ; a, und falls z ; c = d genannt wird: d ⋹ b. Es wird nun zu zeigen sein, dass dieses System d = z ; c ähnlich mit c sein *), mithin gelten muss: Πh{(h⋹c) ⋹Σk(z ; h = k ⋹ d)Zk h}Πk{(k ⋹ d) ⋹ Σh(z̆ ; k = h ⋹ c)Zk h}. Da nun mit h ⋹ c, resp. k ⋹ d, a fortiori auch h ⋹ a resp. k ⋹ b folgt, so erscheinen in der That mit Einschluss von Zk h sämtliche Teilbehaup- tungen unsrer Thesis mit 40) sogleich verbürgt bis auf diese beiden, dass links k ⋹ d, rechts h ⋹ c sei. [In dem Πh und dem Πk sind h und k durch verschiedne Voraussetzungen eingeführt, haben also a priori verschiedne Bedeutungen und nichts mit- einander zu schaffen. Wenn nun für das erstre h, welches ⋹ c ⋹ a, so- gleich feststeht, dass es ein k ⋹ b gebe so, dass z ; h = k ist, so sind wir doch nicht am Ziele, weil ja zu beweisen bleibt, dass dieses k sogar ⋹ d sei. Etc.] Nun gilt: (k ⋹ d) + (k ⋹ d̄), (h ⋹ c) + (h ⋹ c̄), ebenso für das schon dem System b erwiesnermaassen angehörige Element k: (k ⋹ bd = d) + (k ⋹ bd), und für das dem a angehörige h: (h ⋹ ac = c) + (h ⋹ ac̄), wobei jeweils die beiden Möglichkeiten einander ausschliessen. *) Hiefür unterlässt Herr Dedekind leider eine Begründung anzugeben, indem er p. 10 das System sogleich mit dem prädikativen Attribute als das „mit c ähnliche System“ z ; c einführt. Es ist ja freilich, ebenso wie schon der ganze Satz D 35, aus der Anschauung der gegenseitig eindeutigen Zuordnung ohne weitres einleuchtend. Die Behauptung sollte gleichwol, als beweisbar, nicht ohne Beweis gelassen werden, und dass sie eines solchen im Sinne unsrer Disziplin bedarf, wird die Fortsetzung der Überlegung zeigen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 622. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/636>, abgerufen am 17.05.2024.