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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs.
26) [Formel 1] .

Dies -- 24) bis 26) -- alles formulirt gibt eine Reihe von als
gültig (d. i. = 1) erkannten ausgezeichneten Relativen.

Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch
ohne Koeffizientenevidenz aus der Ähnlichkeitsdefinition ableiten lassen,
werden wir unser Erkenntnisskapital über die ähnliche Abbildung z
vermehren und zugleich die obigen paar apagogischen Beweise durch
bessere, direkte ersetzen.

24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach o) des § 30:
Ph k{znk h + ahbk(1' j zn)k h(1' j zn)h k} = Ph k{zn + ab(zn j 1')(1' j zn)}k h =
= 0 j {idem} j 0 = {z ab(zn j 1')(1' j zn)}.

Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer
kann man aber den Faktor z (als das Negat des ersten Gliedes) zufügen,
und da (zn j 1')z(1' j zn) = z nach der Charakteristik von A2A4 in (17) ist
-- vergl. die auch für x = y = z gültige Formel 13) -- so läuft die Be-
hauptung auf 0 j (zn + abz) j 0, = 0 j (zn + ab) j 0 = (z ab), d. i. auf die
Adventivbedingung hinaus. Auch in ihrer letzen obigen Form zerfällt sie
in die evidentermaassen gültigen Teilsubsumtionen
za, zb, zzn j 1', z = 1' j zn, q. e. d.

Die erste Behauptung 25) als Subsumtion formulirt sich gemäss o)
§ 30 zu:
Ph k{(1' j zn)k hah bkzk h} = Ph k{(0' ; z)k h + anh k + (bz)k h} =
= Pk h(0' ; z + an + bz)k h = 0 j (an + bz + 0' ; z) j 0 =
= {0 j (an + b + 0' ; z) j 0}{0 j (an + z + 0' ; z) j 0} = (b j 0' ; z j an)(1 ; z j an) =
= (an j z ; 0' j b)(an j z ; 1) = (abn 0' ; z)(a j 1; z) = (abn z ; 0')(a z ; 1).
Ebenso, nur a mit b zugleich z mit z vertauscht, die zweite Behaup-
tung 25) zu:
(bn j z ; 0' j a)(bn j z ; 1) = (anb z ; 0')(b z ; 1).

Von den vier Ergebnissen rechtfertigen sich nun die beiden folgenden
sogar als Gleichungen:
25a) a = z ; 1, b = z ; 1
gemäss 16) leicht mit a = z ; b = z ; b + 0 = z ; b + z ; bn = z ; (b + bn) = z ; 1,
b = z ; a = z ; a + z ; an = z ; 1.

Die beiden andern können mit Rücksicht hierauf, weil z ; 0' z ; 1 = b,
0' ; z 1 ; z = a, sogleich zu den Doppelsubsumtionen ergänzt werden
25b) anbz ; 0' b, abn 0' ; z a
und beweisen sich ihre ersten Teile in den Formen b z ; 0' + a, a z ; 0' + b
wie folgt:

§ 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs.
26) [Formel 1] .

Dies — 24) bis 26) — alles formulirt gibt eine Reihe von als
gültig (d. i. = 1) erkannten ausgezeichneten Relativen.

Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch
ohne Koeffizientenevidenz aus der Ähnlichkeitsdefinition ableiten lassen,
werden wir unser Erkenntnisskapital über die ähnliche Abbildung z
vermehren und zugleich die obigen paar apagogischen Beweise durch
bessere, direkte ersetzen.

24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach ο) des § 30:
Πh k{z̄k h + ahbk(1' ɟ z̄)k h(1' ɟ z̄̆)h k} = Πh k{z̄ + ăb(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}k h =
= 0 ɟ {idem} ɟ 0 = {z ⋹ ăb(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}.

Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer
kann man aber den Faktor z (als das Negat des ersten Gliedes) zufügen,
und da (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) = z nach der Charakteristik von A2A4 in (17) ist
— vergl. die auch für x = y = z gültige Formel 13) — so läuft die Be-
hauptung auf 0 ɟ (z̄ + ăbz) ɟ 0, = 0 ɟ (z̄ + ăb) ɟ 0 = (z ⋹ ăb), d. i. auf die
Adventivbedingung hinaus. Auch in ihrer letzen obigen Form zerfällt sie
in die evidentermaassen gültigen Teilsubsumtionen
z⋹ă, z⋹b, z⋹z̄ ɟ 1', z = 1' ɟ z̄, q. e. d.

Die erste Behauptung 25) als Subsumtion formulirt sich gemäss ο)
§ 30 zu:
Πh k{(1' ɟ z̄)k hah ⋹ bkzk h} = Πh k{(0' ; z)k h + āh k + (bz)k h} =
= Πk h(0' ; z + ā̆ + bz)k h = 0 ɟ (ā̆ + bz + 0' ; z) ɟ 0 =
= {0 ɟ (ā̆ + b + 0' ; z) ɟ 0}{0 ɟ (ā̆ + z + 0' ; z) ɟ 0} = (b̆ ɟ 0' ; z ɟ ā)(1 ; z ɟ ā) =
= (ā̆ ɟ z̆ ; 0' ɟ b)(ā̆ ɟ z̆ ; 1) = (ăb̄ ⋹ 0' ; z)(ă ɟ 1; z) = (ab̄̆ ⋹ z̆ ; 0')(a ⋹ z̆ ; 1).
Ebenso, nur a mit b zugleich z mit z̆ vertauscht, die zweite Behaup-
tung 25) zu:
(b̄̆ ɟ z ; 0' ɟ a)(b̄̆ ɟ z ; 1) = (ā̆b ⋹ z ; 0')(b ⋹ z ; 1).

Von den vier Ergebnissen rechtfertigen sich nun die beiden folgenden
sogar als Gleichungen:
25α) a = z̆ ; 1, b = z ; 1
gemäss 16) leicht mit a = z̆ ; b = z̆ ; b + 0 = z̆ ; b + z̆ ; b̄ = z̆ ; (b + b̄) = z̆ ; 1,
b = z ; a = z ; a + z ; ā = z ; 1.

Die beiden andern können mit Rücksicht hierauf, weil z ; 0' ⋹ z ; 1 = b,
0' ; z ⋹ 1 ; z = ă, sogleich zu den Doppelsubsumtionen ergänzt werden
25β) ā̆b⋹z ; 0' ⋹ b, ăb̄ ⋹ 0' ; z ⋹ ă
und beweisen sich ihre ersten Teile in den Formen b ⋹ z ; 0' + ă, a ⋹ z̆ ; 0' + b̆
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[613/0627] § 31. Eigenschaften des ähnlich abbildenden Relativs. 26) [FORMEL]. Dies — 24) bis 26) — alles formulirt gibt eine Reihe von als gültig (d. i. = 1) erkannten ausgezeichneten Relativen. Indem wir dieselben aufstellen, und zusehn, wie sie sich auch ohne Koeffizientenevidenz aus der Ähnlichkeitsdefinition ableiten lassen, werden wir unser Erkenntnisskapital über die ähnliche Abbildung z vermehren und zugleich die obigen paar apagogischen Beweise durch bessere, direkte ersetzen. 24) als vorwärtige Subsumtion gibt nach ο) des § 30: Πh k{z̄k h + ahbk(1' ɟ z̄)k h(1' ɟ z̄̆)h k} = Πh k{z̄ + ăb(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}k h = = 0 ɟ {idem} ɟ 0 = {z ⋹ ăb(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}. Im zweiten Glied der (zweiten oder dritten) geschweiften Klammer kann man aber den Faktor z (als das Negat des ersten Gliedes) zufügen, und da (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) = z nach der Charakteristik von A2A4 in (17) ist — vergl. die auch für x = y = z gültige Formel 13) — so läuft die Be- hauptung auf 0 ɟ (z̄ + ăbz) ɟ 0, = 0 ɟ (z̄ + ăb) ɟ 0 = (z ⋹ ăb), d. i. auf die Adventivbedingung hinaus. Auch in ihrer letzen obigen Form zerfällt sie in die evidentermaassen gültigen Teilsubsumtionen z⋹ă, z⋹b, z⋹z̄ ɟ 1', z = 1' ɟ z̄, q. e. d. Die erste Behauptung 25) als Subsumtion formulirt sich gemäss ο) § 30 zu: Πh k{(1' ɟ z̄)k hah ⋹ bkzk h} = Πh k{(0' ; z)k h + āh k + (bz)k h} = = Πk h(0' ; z + ā̆ + bz)k h = 0 ɟ (ā̆ + bz + 0' ; z) ɟ 0 = = {0 ɟ (ā̆ + b + 0' ; z) ɟ 0}{0 ɟ (ā̆ + z + 0' ; z) ɟ 0} = (b̆ ɟ 0' ; z ɟ ā)(1 ; z ɟ ā) = = (ā̆ ɟ z̆ ; 0' ɟ b)(ā̆ ɟ z̆ ; 1) = (ăb̄ ⋹ 0' ; z)(ă ɟ 1; z) = (ab̄̆ ⋹ z̆ ; 0')(a ⋹ z̆ ; 1). Ebenso, nur a mit b zugleich z mit z̆ vertauscht, die zweite Behaup- tung 25) zu: (b̄̆ ɟ z ; 0' ɟ a)(b̄̆ ɟ z ; 1) = (ā̆b ⋹ z ; 0')(b ⋹ z ; 1). Von den vier Ergebnissen rechtfertigen sich nun die beiden folgenden sogar als Gleichungen: 25α) a = z̆ ; 1, b = z ; 1 gemäss 16) leicht mit a = z̆ ; b = z̆ ; b + 0 = z̆ ; b + z̆ ; b̄ = z̆ ; (b + b̄) = z̆ ; 1, b = z ; a = z ; a + z ; ā = z ; 1. Die beiden andern können mit Rücksicht hierauf, weil z ; 0' ⋹ z ; 1 = b, 0' ; z ⋹ 1 ; z = ă, sogleich zu den Doppelsubsumtionen ergänzt werden 25β) ā̆b⋹z ; 0' ⋹ b, ăb̄ ⋹ 0' ; z ⋹ ă und beweisen sich ihre ersten Teile in den Formen b ⋹ z ; 0' + ă, a ⋹ z̆ ; 0' + b̆ wie folgt:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 613. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/627>, abgerufen am 17.05.2024.