ab, so erhalten wir für die Definition der Ähnlichkeit oder Gleichmächtig- keit eines Systems a mit einem System b die folgende "erste Fassung": (4)
[Formel 1]
.
Dieser aber wird sich -- mittelst Einführung von y statt x -- eine sehr viel bequemere Form geben lassen, und zwar in äquivalenter Transformation -- behaupten wir -- die folgende "zweite Fassung": (5)
[Formel 2]
, worin auch rechts das erste b und a durch b resp. a ersetzbar, und -- gleichwie schon in (4) -- die beiden letzten Subsumtionen die Kraft von Gleichungen haben müssen.
Dies ist wie folgt zu sehen. Aus der Gleichung 2) lässt sich zu- nächst x eliminiren. Man schliesst: y (an + xn) j 1', yx, y 1' j (xn + bn), oder y ; 0' an + xn, axyn j 1', ayax, ergo ayyn j 1', y ; ay 1', 0' ; yxn + bn, xb 1' j yn, ybxb, ergo yb 1' j yn, yb ; y 1'. Weil aber a und b Systeme sind, so ist y ; ay = y ; y · a, yb ; y = b · y ; y und fassen sich demnach die beiden Teilresultanten zusammen zu: 61) b · y ; y + a · y ; y 1'.
Aus dieser Resultante folgt mittelst Konversion sogleich hinzu, dass auch b · y ; y sowie a · y ; y 1' sein muss, so dass man sie auch "voller" anschreiben könnte in der Form: 6) (b + b) · y ; y + (a + a) · y ; y 1', ebensogut aber auch sie schon ausreichend vertreten kann durch den Ansatz: 62) b · y ; y + a · y ; y 1'.
Diese Resultante -- wie man sieht, der erste Faktor rechts in 5) -- ist nun aber die volle. Denn ist sie durch ein y erfüllt, so gibt es ein x, welches die Gleichung 2) wahr macht, und zwar in Gestalt von x = y selbst. Dies ist so zu sehn. Aus der konvertirten 61) b · y ; y + a · y ; y 1' folgt: y ; yan + 1', y ; y 1' + bn, yyn j (an + 1'), y (1' + bn) j yn, und somit
Zwölfte Vorlesung.
a ∽ b, so erhalten wir für die Definition der Ähnlichkeit oder Gleichmächtig- keit eines Systems a mit einem System b die folgende „erste Fassung“: (4)
[Formel 1]
.
Dieser aber wird sich — mittelst Einführung von y statt x — eine sehr viel bequemere Form geben lassen, und zwar in äquivalenter Transformation — behaupten wir — die folgende „zweite Fassung“: (5)
[Formel 2]
, worin auch rechts das erste b und a durch b̆ resp. ă ersetzbar, und — gleichwie schon in (4) — die beiden letzten Subsumtionen die Kraft von Gleichungen haben müssen.
Dies ist wie folgt zu sehen. Aus der Gleichung 2) lässt sich zu- nächst x eliminiren. Man schliesst: y⋹ (ā̆ + x̄) ɟ 1', y ⋹ x, y ⋹ 1' ɟ (x̄ + b̄), oder y ; 0' ⋹ ā̆ + x̄, ăx ⋹ ȳ ɟ 1', ăy ⋹ ăx, ergo ăy ⋹ ȳ ɟ 1', y̆ ; ăy ⋹ 1', 0' ; y ⋹ x̄ + b̄, xb ⋹ 1' ɟ ȳ, yb ⋹ xb, ergo yb ⋹ 1' ɟ ȳ, yb ; y̆ ⋹ 1'. Weil aber a und b Systeme sind, so ist y̆ ; ăy = y̆ ; y · ă, yb ; y̆ = b · y ; y̆ und fassen sich demnach die beiden Teilresultanten zusammen zu: 61) b · y ; y̆ + ă · y̆ ; y ⋹ 1'.
Aus dieser Resultante folgt mittelst Konversion sogleich hinzu, dass auch b̆ · y ; y̆ sowie a · y̆ ; y ⋹ 1' sein muss, so dass man sie auch „voller“ anschreiben könnte in der Form: 6) (b + b̆) · y ; y̆ + (a + ă) · y̆ ; y ⋹ 1', ebensogut aber auch sie schon ausreichend vertreten kann durch den Ansatz: 62) b · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1'.
Diese Resultante — wie man sieht, der erste Faktor rechts in 5) — ist nun aber die volle. Denn ist sie durch ein y erfüllt, so gibt es ein x, welches die Gleichung 2) wahr macht, und zwar in Gestalt von x = y selbst. Dies ist so zu sehn. Aus der konvertirten 61) b̆ · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1' folgt: y̆ ; y ⋹ ā + 1', y ; y̆ ⋹ 1' + b̄̆, y ⋹ ȳ ɟ (ā + 1'), y ⋹ (1' + b̄̆) ɟ ȳ, und somit
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[602/0616]
Zwölfte Vorlesung.
a ∽ b,
so erhalten wir für die Definition der Ähnlichkeit oder Gleichmächtig-
keit eines Systems a mit einem System b die folgende „erste Fassung“:
(4) [FORMEL].
Dieser aber wird sich — mittelst Einführung von y statt x —
eine sehr viel bequemere Form geben lassen, und zwar in äquivalenter
Transformation — behaupten wir — die folgende „zweite Fassung“:
(5) [FORMEL],
worin auch rechts das erste b und a durch b̆ resp. ă ersetzbar, und
— gleichwie schon in (4) — die beiden letzten Subsumtionen die Kraft
von Gleichungen haben müssen.
Dies ist wie folgt zu sehen. Aus der Gleichung 2) lässt sich zu-
nächst x eliminiren. Man schliesst:
y⋹ (ā̆ + x̄) ɟ 1', y ⋹ x, y ⋹ 1' ɟ (x̄ + b̄), oder
y ; 0' ⋹ ā̆ + x̄, ăx ⋹ ȳ ɟ 1', ăy ⋹ ăx, ergo ăy ⋹ ȳ ɟ 1', y̆ ; ăy ⋹ 1',
0' ; y ⋹ x̄ + b̄, xb ⋹ 1' ɟ ȳ, yb ⋹ xb, ergo yb ⋹ 1' ɟ ȳ, yb ; y̆ ⋹ 1'.
Weil aber a und b Systeme sind, so ist
y̆ ; ăy = y̆ ; y · ă, yb ; y̆ = b · y ; y̆
und fassen sich demnach die beiden Teilresultanten zusammen zu:
61) b · y ; y̆ + ă · y̆ ; y ⋹ 1'.
Aus dieser Resultante folgt mittelst Konversion sogleich hinzu,
dass auch b̆ · y ; y̆ sowie a · y̆ ; y ⋹ 1' sein muss, so dass man sie auch
„voller“ anschreiben könnte in der Form:
6) (b + b̆) · y ; y̆ + (a + ă) · y̆ ; y ⋹ 1',
ebensogut aber auch sie schon ausreichend vertreten kann durch den
Ansatz:
62) b · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1'.
Diese Resultante — wie man sieht, der erste Faktor rechts in 5) —
ist nun aber die volle. Denn ist sie durch ein y erfüllt, so gibt es
ein x, welches die Gleichung 2) wahr macht, und zwar in Gestalt von
x = y selbst. Dies ist so zu sehn. Aus der konvertirten 61)
b̆ · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1' folgt:
y̆ ; y ⋹ ā + 1', y ; y̆ ⋹ 1' + b̄̆, y ⋹ ȳ ɟ (ā + 1'), y ⋹ (1' + b̄̆) ɟ ȳ,
und somit
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 602. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/616>, abgerufen am 17.05.2024.
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