Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zwölfte Vorlesung.

a ∽ b,
so erhalten wir für die Definition der Ähnlichkeit oder Gleichmächtig-
keit eines Systems a mit einem System b die folgende „erste Fassung“:
(4) [Formel 1] .

Dieser aber wird sich — mittelst Einführung von y statt x —
eine sehr viel bequemere Form geben lassen, und zwar in äquivalenter
Transformation — behaupten wir — die folgende „zweite Fassung“:
(5) [Formel 2] ,
worin auch rechts das erste b und a durch b̆ resp. ă ersetzbar, und
— gleichwie schon in (4) — die beiden letzten Subsumtionen die Kraft
von Gleichungen haben müssen.

Dies ist wie folgt zu sehen. Aus der Gleichung 2) lässt sich zu-
nächst x eliminiren. Man schliesst:
y⋹ (ā̆ + x̄) ɟ 1', y ⋹ x, y ⋹ 1' ɟ (x̄ + b̄), oder
y ; 0' ⋹ ā̆ + x̄, ăx ⋹ ȳ ɟ 1', ăy ⋹ ăx, ergo ăy ⋹ ȳ ɟ 1', y̆ ; ăy ⋹ 1',
0' ; y ⋹ x̄ + b̄, xb ⋹ 1' ɟ ȳ, yb ⋹ xb, ergo yb ⋹ 1' ɟ ȳ, yb ; y̆ ⋹ 1'.
Weil aber a und b Systeme sind, so ist
y̆ ; ăy = y̆ ; y · ă, yb ; y̆ = b · y ; y̆
und fassen sich demnach die beiden Teilresultanten zusammen zu:
6₁) b · y ; y̆ + ă · y̆ ; y ⋹ 1'.

Aus dieser Resultante folgt mittelst Konversion sogleich hinzu,
dass auch b̆ · y ; y̆ sowie a · y̆ ; y ⋹ 1' sein muss, so dass man sie auch
„voller“ anschreiben könnte in der Form:
6) (b + b̆) · y ; y̆ + (a + ă) · y̆ ; y ⋹ 1',
ebensogut aber auch sie schon ausreichend vertreten kann durch den
Ansatz:
6₂) b · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1'.

Diese Resultante — wie man sieht, der erste Faktor rechts in 5) —
ist nun aber die volle. Denn ist sie durch ein y erfüllt, so gibt es
ein x, welches die Gleichung 2) wahr macht, und zwar in Gestalt von
x = y selbst. Dies ist so zu sehn. Aus der konvertirten 6₁)
b̆ · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1' folgt:
y̆ ; y ⋹ ā + 1', y ; y̆ ⋹ 1' + b̄̆, y ⋹ ȳ ɟ (ā + 1'), y ⋹ (1' + b̄̆) ɟ ȳ,
und somit