Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Weiteste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.

Π_h(a_h⋹Σ_kb_kx_{k h}X_{k h})Π_k(b_k⋹Σ_ha_hx_{k h}X_{k h}),
wo X_{k h} = Π_m(a_m0'_{m h} ⋹ x̄_{k m})Π_n(b_n0'_{n k} ⋹ x̄_{n h}). Oder also:
Π_h{ā_h + Σ_kb_k(xX)_{k h}} Π_k{b̄_k + Σ_ha_h(xX)_{k h}},
wobei X_{k h} = Π_m(x̄_{k m} + ā_m + 1'_{m h})Π_n(x̄_{n h} + b̄_n + 1'_{n k}) =
= [{x̄ ɟ (ā + 1')}{1' ɟ (b̄ + x̄)}]_{k h}
nun in der That sich als Koeffizient zum Suffix kh eines von k und h
unabhängigen Relativs X nachträglich herausstellt, dessen Bedeutung
ersichtlich ist.

Führen wir demnach für xX die Abkürzung y ein, wo dann
sein wird:
2) y = {(ā̆ + x̄) ɟ 1'}x{1' ɟ (x̄ + b̄)} = {x̄ ɟ (ā + 1')}x{(1' + b̄̆) ɟ x̄},
so bleibt als Ausdruck unsrer Forderung:
Π_h(ā_h + Σ_kb_ky_{k h})Π_k(b̄_k + Σ_ha_hy_{k h}), = Π_{k h}{(ā̆ + 1 ; by)(b̄ + ăy ; 1)}_{k h}
— wie man sieht, wenn man sich die laufenden Zeiger k, h der Σ_k
und Σ_h in l umgetauft denkt und stetsfort beachtet, dass bei System-
koeffizienten der zweite Index, bei Systemkonverskoeffizienten der erste
Index willkürlich — nach Konvenienz — angesetzt werden darf.

Letztres Π ist nun der allgemeine Koeffizient eines ausgezeich-
neten Relativs, das bekanntlich diesem selber gleich ist. Mithin ist
0 ɟ αβ ɟ 0 selbst, oder wenn man will
1 ⋹ 0 ɟ αβ ɟ 0, wo α = ā̆ + 1 ; by = ā̆ + b̆ ; y, β = b̄ + ăy ; 1 = b̄ + y ; a
der Ausdruck unsrer Forderung. Diese zerfällt jedoch in (0 ɟ α ɟ 0)(0 ɟ β ɟ 0),
was gleich (α ɟ 0)(0 ɟ β) sintemal hier α Systemkonvers und β System
ist. Zudem läuft sie auf αβ = 1 oder (1 ⋹ α)(1 ⋹ β) äquivalent
hinaus. Wir haben somit als Ausdruck derselben:
{1 ; (ā̆ + by) ɟ 0}{0 ɟ (b̄ + ăy) ; 1}, = {(ā̆ + 1 ; by) ɟ 0}{0 ɟ (b̄ + ăy ; 1)} =
= (b̆ ; y ɟ ā)(b̄̆ ɟ y ; a) =
3) (ā̆ ɟ y̆ ; b)(b̄̆ ɟ y ; a), = (a ⋹ y̆ ; b)(b ⋹ y ; a)
— wo zur Erlangung des vorletzten Faktors blos noch die Konversion
der in ă ⋹ b̆ ; y umgeschriebnen Bedingung 1 ⋹ α erforderlich gewesen,
links zu beachten war, dass ein ausgezeichnetes Relativ seinem Kon-
versen gleich ist.

Die Formeln 1) enthalten die Einkleidung, die 2) und 3) zu-
sammen die Lösung unsrer Aufgabe.

Drücken wir, dass ein System a „gleichmächtig“ sive „ähnlich“ sei
einem Systeme b — mit G. Cantor l. c. p. 249 — durch den An-
satz aus: