Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 31. Weiteste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung. Ph(ahSkbkxk hXk h)Pk(bkShahxk hXk h),wo Xk h = Pm(am0'm h xnk m)Pn(bn0'n k xnn h). Oder also: Ph{anh + Skbk(xX)k h} Pk{bnk + Shah(xX)k h}, wobei Xk h = Pm(xnk m + anm + 1'm h)Pn(xnn h + bnn + 1'n k) = = [{xn j (an + 1')}{1' j (bn + xn)}]k h nun in der That sich als Koeffizient zum Suffix kh eines von k und h unabhängigen Relativs X nachträglich herausstellt, dessen Bedeutung ersichtlich ist. Führen wir demnach für xX die Abkürzung y ein, wo dann Letztres P ist nun der allgemeine Koeffizient eines ausgezeich- Die Formeln 1) enthalten die Einkleidung, die 2) und 3) zu- Drücken wir, dass ein System a "gleichmächtig" sive "ähnlich" sei § 31. Weiteste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung. Πh(ah⋹Σkbkxk hXk h)Πk(bk⋹Σhahxk hXk h),wo Xk h = Πm(am0'm h ⋹ x̄k m)Πn(bn0'n k ⋹ x̄n h). Oder also: Πh{āh + Σkbk(xX)k h} Πk{b̄k + Σhah(xX)k h}, wobei Xk h = Πm(x̄k m + ām + 1'm h)Πn(x̄n h + b̄n + 1'n k) = = [{x̄ ɟ (ā + 1')}{1' ɟ (b̄ + x̄)}]k h nun in der That sich als Koeffizient zum Suffix kh eines von k und h unabhängigen Relativs X nachträglich herausstellt, dessen Bedeutung ersichtlich ist. Führen wir demnach für xX die Abkürzung y ein, wo dann Letztres Π ist nun der allgemeine Koeffizient eines ausgezeich- Die Formeln 1) enthalten die Einkleidung, die 2) und 3) zu- Drücken wir, dass ein System a „gleichmächtig“ sive „ähnlich“ sei <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0615" n="601"/><fw place="top" type="header">§ 31. Weiteste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.</fw><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi></hi>⋹<hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi>X<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>)<hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">k</hi></hi>(<hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">k</hi></hi>⋹<hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">h</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi>X<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>),</hi><lb/> wo <hi rendition="#i">X<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">m</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">m</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">m h</hi></hi> ⋹ <hi rendition="#i">x̄<hi rendition="#sub">k m</hi></hi>)<hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">n</hi></hi>(<hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">n</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">n k</hi></hi> ⋹ <hi rendition="#i">x̄<hi rendition="#sub">n h</hi></hi>). Oder also:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>{<hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi></hi>(<hi rendition="#i">xX</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi>} <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">k</hi></hi>{<hi rendition="#i">b̄<hi rendition="#sub">k</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">xX</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi>},</hi><lb/> wobei <hi rendition="#i">X<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">m</hi></hi>(<hi rendition="#i">x̄<hi rendition="#sub">k m</hi></hi> + <hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">m</hi></hi> + 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">m h</hi></hi>)<hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">n</hi></hi>(<hi rendition="#i">x̄<hi rendition="#sub">n h</hi></hi> + <hi rendition="#i">b̄<hi rendition="#sub">n</hi></hi> + 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">n k</hi></hi>) =<lb/><hi rendition="#c">= [{<hi rendition="#i">x̄</hi> ɟ (<hi rendition="#i">ā</hi> + 1')}{1' ɟ (<hi rendition="#i">b̄</hi> + <hi rendition="#i">x̄</hi>)}]<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi></hi><lb/> nun in der That sich als Koeffizient zum Suffix <hi rendition="#i">kh</hi> eines von <hi rendition="#i">k</hi> und <hi rendition="#i">h</hi><lb/> unabhängigen Relativs <hi rendition="#i">X</hi> nachträglich herausstellt, dessen Bedeutung<lb/> ersichtlich ist.</p><lb/> <p>Führen wir demnach für <hi rendition="#i">xX</hi> die Abkürzung <hi rendition="#i">y</hi> ein, wo dann<lb/> sein wird:<lb/> 2) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">y</hi> = {(<hi rendition="#i">ā̆</hi> + <hi rendition="#i">x̄</hi>) ɟ 1'}<hi rendition="#i">x</hi>{1' ɟ (<hi rendition="#i">x̄</hi> + <hi rendition="#i">b̄</hi>)} = {<hi rendition="#i">x̄</hi> ɟ (<hi rendition="#i">ā</hi> + 1')}<hi rendition="#i">x</hi>{(1' + <hi rendition="#i">b̄̆</hi>) ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi>},</hi><lb/> so bleibt als Ausdruck unsrer Forderung:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi>y<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>)<hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">k</hi></hi>(<hi rendition="#i">b̄<hi rendition="#sub">k</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi>a<hi rendition="#sub">h</hi>y<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>), = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>{(<hi rendition="#i">ā̆</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">by</hi>)(<hi rendition="#i">b̄</hi> + <hi rendition="#i">ăy</hi> ; 1)}<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi></hi><lb/> — wie man sieht, wenn man sich die laufenden Zeiger <hi rendition="#i">k</hi>, <hi rendition="#i">h</hi> der <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi></hi><lb/> und <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi></hi> in <hi rendition="#i">l</hi> umgetauft denkt und stetsfort beachtet, <hi rendition="#i">dass bei System-<lb/> koeffizienten der zweite Index</hi>, <hi rendition="#i">bei Systemkonverskoeffizienten der erste<lb/> Index willkürlich</hi> — nach Konvenienz — <hi rendition="#i">angesetzt werden darf</hi>.</p><lb/> <p>Letztres <hi rendition="#i">Π</hi> ist nun der allgemeine Koeffizient eines ausgezeich-<lb/> neten Relativs, das bekanntlich diesem selber gleich ist. 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§ 31. Weiteste Fassung der Ähnlichkeitsbedingung.
Πh(ah⋹Σkbkxk hXk h)Πk(bk⋹Σhahxk hXk h),
wo Xk h = Πm(am0'm h ⋹ x̄k m)Πn(bn0'n k ⋹ x̄n h). Oder also:
Πh{āh + Σkbk(xX)k h} Πk{b̄k + Σhah(xX)k h},
wobei Xk h = Πm(x̄k m + ām + 1'm h)Πn(x̄n h + b̄n + 1'n k) =
= [{x̄ ɟ (ā + 1')}{1' ɟ (b̄ + x̄)}]k h
nun in der That sich als Koeffizient zum Suffix kh eines von k und h
unabhängigen Relativs X nachträglich herausstellt, dessen Bedeutung
ersichtlich ist.
Führen wir demnach für xX die Abkürzung y ein, wo dann
sein wird:
2) y = {(ā̆ + x̄) ɟ 1'}x{1' ɟ (x̄ + b̄)} = {x̄ ɟ (ā + 1')}x{(1' + b̄̆) ɟ x̄},
so bleibt als Ausdruck unsrer Forderung:
Πh(āh + Σkbkyk h)Πk(b̄k + Σhahyk h), = Πk h{(ā̆ + 1 ; by)(b̄ + ăy ; 1)}k h
— wie man sieht, wenn man sich die laufenden Zeiger k, h der Σk
und Σh in l umgetauft denkt und stetsfort beachtet, dass bei System-
koeffizienten der zweite Index, bei Systemkonverskoeffizienten der erste
Index willkürlich — nach Konvenienz — angesetzt werden darf.
Letztres Π ist nun der allgemeine Koeffizient eines ausgezeich-
neten Relativs, das bekanntlich diesem selber gleich ist. Mithin ist
0 ɟ αβ ɟ 0 selbst, oder wenn man will
1 ⋹ 0 ɟ αβ ɟ 0, wo α = ā̆ + 1 ; by = ā̆ + b̆ ; y, β = b̄ + ăy ; 1 = b̄ + y ; a
der Ausdruck unsrer Forderung. Diese zerfällt jedoch in (0 ɟ α ɟ 0)(0 ɟ β ɟ 0),
was gleich (α ɟ 0)(0 ɟ β) sintemal hier α Systemkonvers und β System
ist. Zudem läuft sie auf αβ = 1 oder (1 ⋹ α)(1 ⋹ β) äquivalent
hinaus. Wir haben somit als Ausdruck derselben:
{1 ; (ā̆ + by) ɟ 0}{0 ɟ (b̄ + ăy) ; 1}, = {(ā̆ + 1 ; by) ɟ 0}{0 ɟ (b̄ + ăy ; 1)} =
= (b̆ ; y ɟ ā)(b̄̆ ɟ y ; a) =
3) (ā̆ ɟ y̆ ; b)(b̄̆ ɟ y ; a), = (a ⋹ y̆ ; b)(b ⋹ y ; a)
— wo zur Erlangung des vorletzten Faktors blos noch die Konversion
der in ă ⋹ b̆ ; y umgeschriebnen Bedingung 1 ⋹ α erforderlich gewesen,
links zu beachten war, dass ein ausgezeichnetes Relativ seinem Kon-
versen gleich ist.
Die Formeln 1) enthalten die Einkleidung, die 2) und 3) zu-
sammen die Lösung unsrer Aufgabe.
Drücken wir, dass ein System a „gleichmächtig“ sive „ähnlich“ sei
einem Systeme b — mit G. Cantor l. c. p. 249 — durch den An-
satz aus:
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 601. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/615>, abgerufen am 04.09.2024. |