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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
diejenigen Augen der Hauptdiagonale angeben, die mit den Augen des c
in einer sei es horizontalen sei es vertikalen Flucht liegen. M. a. W. dieses
Relativ stellt vor: die Summe der individuellen Selbstrelative die aus den
konstitutiven Elementen unsres Cyklus gebildet sind. Und darum wird das
Relativ -- es heisse zur Abkürzung 1'gn:
(cn j 0)(0 j cn)1' = 1'gn
ausschliesslich bestehn aus den individuellen Selbstrelativen derjenigen Ele-
mente, die im Cyklus c nicht vorkommen -- geometrisch gesprochen: aus
den Augen der Hauptdiagonale die mit keinem Auge des Cyklus in einer
Flucht liegen.

[Davon, dass allerdings nach dem Begriff des Cyklus daz System c ; 1
von dessen Korrelaten einerlei sein muss mit dem Systeme c ; 1 von dessen
Relaten, d. h. dass c ; 1 = c ; 1 ist, was nach sich zieht, dass auch
1'g = 1'(c ; 1 + c ; 1) = 1' · c ; 1 = 1' · c ; 1 · c ; 1 = 1' · c ; 1 · 1 ; c = 1' · c ; 1 ; c,
sowie
1'gn = 1'(cn j 0)(cn j 0) = 1'(cn j 0) = 1'(cn j 0 + 0 j cn) = 1'(cn j 0 j cn)
-- davon brauchen wir hiernächst keinen Gebrauch zu machen.] Folg-
lich wird
c + 1'(cn j 0)(0 j cn) = c + 1'gn
die zum Cyklus c gehörige Zirkularsubstitution vorstellen. Stellt uns nun
s = c1 + c2 + c3 + ...
irgend eine Substitution vor (bei deren Gliedern wir dieselben Bezeich-
nungsprinzipien wie vorstehend bethätigen), so wird zu zeigen sein, dass
p, = (c1 + 1'gn1) ; (c2 + 1'gn2) ; (c3 + 1'gn3) ; ...
gleich s sein muss. Man stelle sich hierbei die relativen Faktoren jeweils
als die Summen ihrer effektiven Elementepaare vor. -- Nun ist:
(c1 + 1'gn1) ; (c2 + 1'gn2) = c1 ; c2 + c1 ; 1'gn2 + 1'gn1 ; c2 + 1'gn1 ; 1'gn2 = c1 + c2 + 1'gn1gn2
ndem c1 ; c2 = 0, c1 ; 1'gn2 = c1, 1'gn1 ; c2 = c2, 1'gn1 ; 1'gn2 = 1'gn1gn2 sein muss.

Denn da c1 und c2 kein konstitutives Element gemein haben, so treffen
beim Ausmultipliziren dieser beider immer nur Elementepaare von c1 mit
solchen von c2 zusammen, die kein gemeinsames Element aufweisen und
folglich keinen Anschluss aneinander haben. Das relative Produkt solcher
Elementepaare muss aber allemal nach 30) S. 440 verschwinden (q. e. d.)

Das Relativ 1'gn2 ist lediglich aus individuellen Selbstrelativen zu-
sammengesetzt, und zwar aus allen denen, deren konstitutive Elemente in
c2 nicht vorkommen. Darunter jedenfalls finden sich sämtliche konstitutiven
Elemente von c1. Während für jedes h j nun (i : j) ; (h : h) = 0 ist, muss
(i : j) ; (j : j) = i : j sein. Beim relativen Ausmultipliziren der Summen von
Elementepaaren in c1 und 1'gn2 reproduziren sich also einfach die effektiven
Elementepaare von c1, (q. e. d.).

Weil für jedes h i auch (h : h) ; (i : j) = 0, dagegen (i : i) ; (i : j) = i : j
ist und in 1'gn1 sämtliche konstitutiven Elemente von c2 durch individuelle

Zwölfte Vorlesung.
diejenigen Augen der Hauptdiagonale angeben, die mit den Augen des c
in einer sei es horizontalen sei es vertikalen Flucht liegen. M. a. W. dieses
Relativ stellt vor: die Summe der individuellen Selbstrelative die aus den
konstitutiven Elementen unsres Cyklus gebildet sind. Und darum wird das
Relativ — es heisse zur Abkürzung 1'γ̄:
(c̄ ɟ 0)(0 ɟ c̄)1' = 1'γ̄
ausschliesslich bestehn aus den individuellen Selbstrelativen derjenigen Ele-
mente, die im Cyklus c nicht vorkommen — geometrisch gesprochen: aus
den Augen der Hauptdiagonale die mit keinem Auge des Cyklus in einer
Flucht liegen.

[Davon, dass allerdings nach dem Begriff des Cyklus daz System c̆ ; 1
von dessen Korrelaten einerlei sein muss mit dem Systeme c ; 1 von dessen
Relaten, d. h. dass c̆ ; 1 = c ; 1 ist, was nach sich zieht, dass auch
1'γ = 1'(c ; 1 + c̆ ; 1) = 1' · c ; 1 = 1' · c ; 1 · c̆ ; 1 = 1' · c ; 1 · 1 ; c = 1' · c ; 1 ; c,
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— davon brauchen wir hiernächst keinen Gebrauch zu machen.] Folg-
lich wird
c + 1'(c̄ ɟ 0)(0 ɟ c̄) = c + 1'γ̄
die zum Cyklus c gehörige Zirkularsubstitution vorstellen. Stellt uns nun
s = c1 + c2 + c3 + …
irgend eine Substitution vor (bei deren Gliedern wir dieselben Bezeich-
nungsprinzipien wie vorstehend bethätigen), so wird zu zeigen sein, dass
p, = (c1 + 1'γ̄1) ; (c2 + 1'γ̄2) ; (c3 + 1'γ̄3) ; …
gleich s sein muss. Man stelle sich hierbei die relativen Faktoren jeweils
als die Summen ihrer effektiven Elementepaare vor. — Nun ist:
(c1 + 1'γ̄1) ; (c2 + 1'γ̄2) = c1 ; c2 + c1 ; 1'γ̄2 + 1'γ̄1 ; c2 + 1'γ̄1 ; 1'γ̄2 = c1 + c2 + 1'γ̄1γ̄2
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Denn da c1 und c2 kein konstitutives Element gemein haben, so treffen
beim Ausmultipliziren dieser beider immer nur Elementepaare von c1 mit
solchen von c2 zusammen, die kein gemeinsames Element aufweisen und
folglich keinen Anschluss aneinander haben. Das relative Produkt solcher
Elementepaare muss aber allemal nach 30) S. 440 verschwinden (q. e. d.)

Das Relativ 1'γ̄2 ist lediglich aus individuellen Selbstrelativen zu-
sammengesetzt, und zwar aus allen denen, deren konstitutive Elemente in
c2 nicht vorkommen. Darunter jedenfalls finden sich sämtliche konstitutiven
Elemente von c1. Während für jedes h ≠ j nun (i : j) ; (h : h) = 0 ist, muss
(i : j) ; (j : j) = i : j sein. Beim relativen Ausmultipliziren der Summen von
Elementepaaren in c1 und 1'γ̄2 reproduziren sich also einfach die effektiven
Elementepaare von c1, (q. e. d.).

Weil für jedes h ≠ i auch (h : h) ; (i : j) = 0, dagegen (i : i) ; (i : j) = i : j
ist und in 1'γ̄1 sämtliche konstitutiven Elemente von c2 durch individuelle

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[584/0598] Zwölfte Vorlesung. diejenigen Augen der Hauptdiagonale angeben, die mit den Augen des c in einer sei es horizontalen sei es vertikalen Flucht liegen. M. a. W. dieses Relativ stellt vor: die Summe der individuellen Selbstrelative die aus den konstitutiven Elementen unsres Cyklus gebildet sind. Und darum wird das Relativ — es heisse zur Abkürzung 1'γ̄: (c̄ ɟ 0)(0 ɟ c̄)1' = 1'γ̄ ausschliesslich bestehn aus den individuellen Selbstrelativen derjenigen Ele- mente, die im Cyklus c nicht vorkommen — geometrisch gesprochen: aus den Augen der Hauptdiagonale die mit keinem Auge des Cyklus in einer Flucht liegen. [Davon, dass allerdings nach dem Begriff des Cyklus daz System c̆ ; 1 von dessen Korrelaten einerlei sein muss mit dem Systeme c ; 1 von dessen Relaten, d. h. dass c̆ ; 1 = c ; 1 ist, was nach sich zieht, dass auch 1'γ = 1'(c ; 1 + c̆ ; 1) = 1' · c ; 1 = 1' · c ; 1 · c̆ ; 1 = 1' · c ; 1 · 1 ; c = 1' · c ; 1 ; c, sowie 1'γ̄ = 1'(c̄ ɟ 0)(c̄̆ ɟ 0) = 1'(c̄ ɟ 0) = 1'(c̄ ɟ 0 + 0 ɟ c̄) = 1'(c̄ ɟ 0 ɟ c̄) — davon brauchen wir hiernächst keinen Gebrauch zu machen.] Folg- lich wird c + 1'(c̄ ɟ 0)(0 ɟ c̄) = c + 1'γ̄ die zum Cyklus c gehörige Zirkularsubstitution vorstellen. Stellt uns nun s = c1 + c2 + c3 + … irgend eine Substitution vor (bei deren Gliedern wir dieselben Bezeich- nungsprinzipien wie vorstehend bethätigen), so wird zu zeigen sein, dass p, = (c1 + 1'γ̄1) ; (c2 + 1'γ̄2) ; (c3 + 1'γ̄3) ; … gleich s sein muss. Man stelle sich hierbei die relativen Faktoren jeweils als die Summen ihrer effektiven Elementepaare vor. — Nun ist: (c1 + 1'γ̄1) ; (c2 + 1'γ̄2) = c1 ; c2 + c1 ; 1'γ̄2 + 1'γ̄1 ; c2 + 1'γ̄1 ; 1'γ̄2 = c1 + c2 + 1'γ̄1γ̄2 ndem c1 ; c2 = 0, c1 ; 1'γ̄2 = c1, 1'γ̄1 ; c2 = c2, 1'γ̄1 ; 1'γ̄2 = 1'γ̄1γ̄2 sein muss. Denn da c1 und c2 kein konstitutives Element gemein haben, so treffen beim Ausmultipliziren dieser beider immer nur Elementepaare von c1 mit solchen von c2 zusammen, die kein gemeinsames Element aufweisen und folglich keinen Anschluss aneinander haben. Das relative Produkt solcher Elementepaare muss aber allemal nach 30) S. 440 verschwinden (q. e. d.) Das Relativ 1'γ̄2 ist lediglich aus individuellen Selbstrelativen zu- sammengesetzt, und zwar aus allen denen, deren konstitutive Elemente in c2 nicht vorkommen. Darunter jedenfalls finden sich sämtliche konstitutiven Elemente von c1. Während für jedes h ≠ j nun (i : j) ; (h : h) = 0 ist, muss (i : j) ; (j : j) = i : j sein. Beim relativen Ausmultipliziren der Summen von Elementepaaren in c1 und 1'γ̄2 reproduziren sich also einfach die effektiven Elementepaare von c1, (q. e. d.). Weil für jedes h ≠ i auch (h : h) ; (i : j) = 0, dagegen (i : i) ; (i : j) = i : j ist und in 1'γ̄1 sämtliche konstitutiven Elemente von c2 durch individuelle

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 584. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/598>, abgerufen am 17.05.2024.