Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Was bei Deutung der Substitutionen als Relative zu beachten.

Das über die Einheit der beiden Substitutionsbegriffe (in Mathe-
matik und in unsrer Algebra) oben Gesagte ist, genauer noch, dahin
zu präzisiren:

Der mittelst A₁A₂A₃A₄ als Substitution erklärte Begriff deckt
sich für jeden „endlichen“ Denkbereich vollkommen mit demjenigen, welcher
in der mathematischen „Theorie der Substitutionen“ Geltung besitzt. Auch
bei unbegrenztem Denkbereiche begreift er diese „mathematischen Sub-
stitutionen“ als „Substitutionen von endlichem Grade“ vollständig unter
sich. Hier aber erscheint unser Begriff als ein weiterer wie der in der
Mathematik geläufige, insofern er neben jenen mathematischen Sub-
stitutionen (die immer nur mit diskreten Elementen zu thun haben)
auch noch „Substitutionen von unbegrenztem (oder unendlich hohem) Grad“
umfasst (deren Elemente sogar ein Kontinuum bilden mögen) — auf
derengleichen die Mathematik ihre Forschungen noch gar nicht aus-
gedehnt hat, es sei denn unter ganz entlegenem Titel — als Beiträge
zu einer Lehre von den eindeutig umkehrbaren Funktionen eines
Argumentes.

Es sind also bislang entlegene Untersuchungsgebiete, die unsre Di-
sziplin hier zu vereinigen und unter einen gemeinsamen Gesichtspunkt zu
bringen die Kraft und das Verdienst hat.

Überhaupt wird sich die Theorie der binären Relative erkennen lassen
als die gemeinsame Wurzel, der Urquell, aus dem die Zahlen-, Funktionen-
und Substitutionenlehre naturgemäss entspringt — unbeschadet dessen, dass
wir historisch erst von letztern aus zu diesem ihrem Urquell vorzudringen
vermochten.

Zur Aufklärung sei nun weiter gesagt:

Das „Konverse einer Substitution“ — nach S. 569 notwendig
wiederum eine solche — wird einerlei sein mit dem, was die Mathe-
matik als „die reziproke Substitution“ hinstellt. Ihrer in dieser Di-
sziplin üblichen Bezeichnung mit s^{— 1} steht die unsrige mit s̆ gegenüber.

Unsre „relative Multiplikation“ ist die eigentliche „Multiplikation
der Substitutionen“ und es wird ein „Produkt von Substitutionen“
(schlechthin, im Sinne der Mathematik) hier immer als ein relatives
aufzufassen sein.

Die Bequemlichkeit, bei der identischen Substitution 1' den Apostroph
und bei jedem (relativen) Produkte von Substitutionen die verbindenden
Strichpunkte (Semikolons) wegzulassen, will ich natürlich der mathematischen
Substitutionentheorie (solang sie, wie bisher, die andern Operationen unsrer
Algebra ausser Betracht lässt) — wie schon S. 34 angedeutet — nicht
wehren. Eine spezielle Disziplin mag sich immerhin ihre eigne Symbolik,
ihre Kurzschrift schaffen. Die durch deren spezielle Bequemlichkeitsbedürf-
nisse motivirten Gepflogenheiten werden aber dann auch nicht beanspruchen

Schröder, Algebra der Relative. 37