Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Gemeinschaftlichkeit unsres Denkbereichs mit dem der Mathematik.

auf welche auch der Begriff der mathematischen Funktionen sich gründet:
die Substitutionen- und die Funktionenlehre werden sich fortan auf den
nämlichen Denkbereich, den Denkbereich der Zahlen beziehen.

Denn auch der Begriff der Funktion wird in der Mathematik blos inner-
halb des Zahlenreiches erklärt; wir haben es daselbst immer nur zu thun
mit Zahlen in ihrer Abhängigkeit von andern (als veränderlich gedachten)
Zahlen — den sogenannten „Argumenten“ der „Funktion“. Und die Anzahl
ihrer Argumente bildet den obersten Einteilungsgrund für die Funktionen
(deren man solche von 1, 2, 3, ‥ und mehr Argumenten zu unter-
scheiden hat).

Die Zahlen können ja irgendwelche, z. B. die „gemeinen komplexen“
Zahlen sein, und sie brauchen für die Triftigkeit dessen, was wir wesent-
lich zu sagen haben werden, durchaus nicht etwa als „reelle“ Zahlen vor-
ausgesetzt zu werden. Blos im Hinblick aber auf die leichtere geometrische
Veranschaulichung und um gewisse Weiterungen, Umständlichkeiten und
Weitläufigkeiten bei den Erörterungen zu sparen resp. zu umgehen, wollen
wir uns hier auf die Besprechung des Falles reeller Funktionen von reellen
Argumenten beschränken.

Unser Denkbereich 1¹ ist dann also das Gebiet der reellen Zahlen und
kann ein „linearer“ genannt werden, insofern sich die reellen Zahlen be-
kanntermassen den Punkten einer Geraden, der „Zahlenlinie“, gegenseitig
eindeutig zuordnen lassen, also dass die Punkte dieser Geraden durch jene
Zahlen gleichsam „numerirt“ werden und jeder Punkt dieser Linie oder
x-Axe als „Träger“ einer ganz bestimmten reellen Zahl erscheint.

Darnach muss denn weiter gesagt werden: dass es nur die mathe-
matischen Funktionen eines Argumentes sind, deren Begriff sich mit
dem Begriffe der hier als binäre Relative erklärten Funktionen deckt.
Mathematische Funktionen von zwei oder mehr Argumenten fallen
ebenso unter die Algebra der ternären oder Relative höherer Ordnung,
werden sich ganz analog als Relative in diesen Disziplinen darstellen
lassen, und wer von jenen Begriffen die Identität einmal richtig erfasst
hat, wird auch die Koinzidenz von diesen sofort intuitiv erkennen.

Es soll also nur mehr von einer mathematischen „Funktion von einem
Argumente“: y = f(x), die Rede sein. Dieselbe werde auch sogleich in
einem rechtwinkligen Koordinatensysteme (mit nach rechts gehender posi-
tiver x-Axe und nach unten gehender positiver y-Axe) in bekannter Weise
graphisch dargestellt gedacht durch die (durch „ihre“) sogenannte „Funktions-
kurve“.

Diese Figur lässt sich nach S. 53 als die Matrix eines durch sie
völlig bestimmten binären Relativs auffassen, welches a heissen möge.

Das Wort „Funktion“ (auch dann, wenn immer nur eine solche von
einem Argumente gemeint ist) wird in der Mathematik doch noch in mehr
oder minder weitem Sinne gebraucht. Dort wird auch von Funktionen ge-
sprochen, die überhaupt nur für ein gewisses Intervall von Werten des
Argumentes x als solche Erklärung gefunden haben oder „explizirt“ sind,
von Funktionen, die blos innerhalb gewisser Grenzen den eigentlichen