Die Wirklichkeit von Abbildungen aller fünfzehn disjunkten Kate- gorieen ist leicht durch Beispiele zu erweisen -- allerdings nur bei voraussetzungslosem resp. unbegrenztem Denkbereiche.
Hier können wir nämlich -- auf karrirtem Papiere -- mit der Be- setzung der Zeilen (durch Augen) derjenigen der Kolonnen (eventuell solche auch überspringend) beliebig vorauseilen, oder umgekehrt -- wogegen bei endlichem Denkbereiche zu berücksichtigen bleibt, dass die Anzahl der Zeilen die gleiche sein muss, wie die Anzahl der Kolonnen.
Es sei vorgreifend bemerkt, dass bei begrenztem Denkbereiche infolge Zusammenfallens der Haupttypen 50, 70 und 80 mit 90 unsre fünfzehn Typen sich auf neune reduziren, die sich in die sechs Haupttypen 10, 20, 30, 40, 60 und 90 ordnen.
Nun gilt für alle 15 Typen der höchst bemerkenswerte
Satz. Abbildungen vom selben Typus setzen sich stets wieder zu einer Abbildung von ebendiesem Typus zusammen.
Beweis. Ist nur für zwei Relative a und b gezeigt, dass, sooft sie zum nämlichen Typus gehören, dies auch bei ihrem relativen Produkte a ; b der Fall sein muss, so wird von da der Satz leicht auf beliebig viele Komponenten auszudehnen sein.
Jenes ist nun aber zunächst leicht beweisbar für die beiden ersten Typen. Für A1 müssen wir haben: 11) (1' a ; a)(1' b ; b) (1' a ; b ; a ; b) = (1' b ; a ; a ; b).
Denn mit Rücksicht auf die zweite und darnach auf die erste Prämisse ist in der That: 1' b ; 1' ; bb ; (a ; a) ; b = b ; a ; a ; b, q. e. d. Für A2 ist: 12) (a ; a 1')(b ; b 1') (a ; b ; a ; b 1') = (a ; b ; b ; a 1').
Denn wir haben: a ; (b ; b) ; aa ; 1' ; a = a ; a 1', q. e. d.
Es ist eine lehrreiche Übung für Anfänger, auch mit irgend einer andern von den Formen 5), 6) für A1 oder A2 die vorstehenden Beweise zu führen.
Nach dem Konjugationsprinzip ist der Satz nun auch für die Typen A3 und A4 als erwiesen zu erachten; er gilt also für die vier ersten Typen -- zunächst einzeln genommen -- und mögen wir dies Resultat etwa so darstellen: 13)
[Formel 1]
indem wir die für ein Relativ a statuirte Bedingung 5) ausdrucksvoller mit A1a symbolisch bezeichnen, etc.
Nunmehr ist aber auch klar, dass, wenn irgend eine Kombination
§ 30. Die 15 Arten von Abbildung.
Die Wirklichkeit von Abbildungen aller fünfzehn disjunkten Kate- gorieen ist leicht durch Beispiele zu erweisen — allerdings nur bei voraussetzungslosem resp. unbegrenztem Denkbereiche.
Hier können wir nämlich — auf karrirtem Papiere — mit der Be- setzung der Zeilen (durch Augen) derjenigen der Kolonnen (eventuell solche auch überspringend) beliebig vorauseilen, oder umgekehrt — wogegen bei endlichem Denkbereiche zu berücksichtigen bleibt, dass die Anzahl der Zeilen die gleiche sein muss, wie die Anzahl der Kolonnen.
Es sei vorgreifend bemerkt, dass bei begrenztem Denkbereiche infolge Zusammenfallens der Haupttypen 50, 70 und 80 mit 90 unsre fünfzehn Typen sich auf neune reduziren, die sich in die sechs Haupttypen 10, 20, 30, 40, 60 und 90 ordnen.
Nun gilt für alle 15 Typen der höchst bemerkenswerte
Satz. Abbildungen vom selben Typus setzen sich stets wieder zu einer Abbildung von ebendiesem Typus zusammen.
Beweis. Ist nur für zwei Relative a und b gezeigt, dass, sooft sie zum nämlichen Typus gehören, dies auch bei ihrem relativen Produkte a ; b der Fall sein muss, so wird von da der Satz leicht auf beliebig viele Komponenten auszudehnen sein.
Jenes ist nun aber zunächst leicht beweisbar für die beiden ersten Typen. Für A1 müssen wir haben: 11) (1' ⋹ ă ; a)(1' ⋹ b̆ ; b) ⋹ (1' ⋹ a ; b͝ ; a ; b) = (1' ⋹ b̆ ; ă ; a ; b).
Denn mit Rücksicht auf die zweite und darnach auf die erste Prämisse ist in der That: 1' ⋹ b̆ ; 1' ; b ⋹ b̆ ; (ă ; a) ; b = b̆ ; ă ; a ; b, q. e. d. Für A2 ist: 12) (a ; ă ⋹ 1')(b ; b̆ ⋹ 1') ⋹ (a ; b ; a ; b͝ ⋹ 1') = (a ; b ; b̆ ; ă ⋹ 1').
Denn wir haben: a ; (b ; b̆) ; ă ⋹ a ; 1' ; ă = a ; ă ⋹ 1', q. e. d.
Es ist eine lehrreiche Übung für Anfänger, auch mit irgend einer andern von den Formen 5), 6) für A1 oder A2 die vorstehenden Beweise zu führen.
Nach dem Konjugationsprinzip ist der Satz nun auch für die Typen A3 und A4 als erwiesen zu erachten; er gilt also für die vier ersten Typen — zunächst einzeln genommen — und mögen wir dies Resultat etwa so darstellen: 13)
[Formel 1]
indem wir die für ein Relativ a statuirte Bedingung 5) ausdrucksvoller mit A1a symbolisch bezeichnen, etc.
Nunmehr ist aber auch klar, dass, wenn irgend eine Kombination
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[567/0581]
§ 30. Die 15 Arten von Abbildung.
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Hier können wir nämlich — auf karrirtem Papiere — mit der Be-
setzung der Zeilen (durch Augen) derjenigen der Kolonnen (eventuell solche
auch überspringend) beliebig vorauseilen, oder umgekehrt — wogegen bei
endlichem Denkbereiche zu berücksichtigen bleibt, dass die Anzahl der Zeilen
die gleiche sein muss, wie die Anzahl der Kolonnen.
Es sei vorgreifend bemerkt, dass bei begrenztem Denkbereiche infolge
Zusammenfallens der Haupttypen 50, 70 und 80 mit 90 unsre fünfzehn
Typen sich auf neune reduziren, die sich in die sechs Haupttypen 10, 20,
30, 40, 60 und 90 ordnen.
Nun gilt für alle 15 Typen der höchst bemerkenswerte
Satz. Abbildungen vom selben Typus setzen sich stets wieder zu
einer Abbildung von ebendiesem Typus zusammen.
Beweis. Ist nur für zwei Relative a und b gezeigt, dass, sooft sie
zum nämlichen Typus gehören, dies auch bei ihrem relativen Produkte
a ; b der Fall sein muss, so wird von da der Satz leicht auf beliebig
viele Komponenten auszudehnen sein.
Jenes ist nun aber zunächst leicht beweisbar für die beiden ersten
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11) (1' ⋹ ă ; a)(1' ⋹ b̆ ; b) ⋹ (1' ⋹ a ; b͝ ; a ; b) = (1' ⋹ b̆ ; ă ; a ; b).
Denn mit Rücksicht auf die zweite und darnach auf die erste
Prämisse ist in der That: 1' ⋹ b̆ ; 1' ; b ⋹ b̆ ; (ă ; a) ; b = b̆ ; ă ; a ; b, q. e. d.
Für A2 ist:
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Denn wir haben:
a ; (b ; b̆) ; ă ⋹ a ; 1' ; ă = a ; ă ⋹ 1', q. e. d.
Es ist eine lehrreiche Übung für Anfänger, auch mit irgend einer andern
von den Formen 5), 6) für A1 oder A2 die vorstehenden Beweise zu führen.
Nach dem Konjugationsprinzip ist der Satz nun auch für die
Typen A3 und A4 als erwiesen zu erachten; er gilt also für die vier
ersten Typen — zunächst einzeln genommen — und mögen wir dies
Resultat etwa so darstellen:
13) [FORMEL]
indem wir die für ein Relativ a statuirte Bedingung 5) ausdrucksvoller
mit A1a symbolisch bezeichnen, etc.
Nunmehr ist aber auch klar, dass, wenn irgend eine Kombination
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 567. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/581>, abgerufen am 17.05.2024.
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