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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

l) (i c) + (i cn),
wo von den beiden Fällen der Alternative wegen i 0 der eine den andern
ausschliesst.

Ist nun, während gemäss k) c i ist, c 0, so würde die Annahme
i cn mittelst c i cn zu der Konklusion c cn oder c = 0 führen im
Widerspruche mit c 0, und folglich ist von l) die zweite Alternative zu
verwerfen; es muss die erste gelten, zugleich mit c i auch i c d. h. c = i
sein, q. e. d. --

Wenn wir nun eine Subsumtion der ersten Art, d), nach 17) und 36)
des § 25 sofort zusammenziehen konnten in einen Relativkoeffizienten sowol,
als auf Wunsch auch sie verwandeln konnten in ein ausgezeichnetes Relativ,
indem wir hatten:
m) (i a ; j) = ai j = i ; a ; j,
so frägt sich noch: welches ausgezeichnete Relativ und welcher Koeffizient
denn mit der umgekehrten Subsumtion äquivalent sein wird?

Die Beantwortung aller derartigen Fragen kann auf die -- wesent-
lich in 5) S. 147 schon vorgekommnen -- Schemata gegründet werden:
n) [Formel 1]
nach denen die ausgezeichneten Relative geradezu die Rolle von Aussagen
übernehmen und auf sie ebenfalls das "spezifische Prinzip des Aussagen-
kalkuls" (1 a) = a ausgedehnt und anwendbar wird: Man hat sich, um
irgend ein ausgezeichnetes Relativ korrekt als eine Aussage zu deuten (d. i. um
es in dieser seiner Eigenschaft richtig zu verstehen), dasselbe jeweils als
Prädikat hinter das Subjekt 1 gesetzt zu denken -- wenn man will auch: es
gleich 1 zu setzen. Dieses "1 ", welches jede Behauptung (Proposition)
beginnt, resp. das "= 1" welches sie abschliesst, ist es im Allgemeinen ganz
unnötig, hinzuschreiben (Peirce 9c p. 199), und wie bei den Aussagen, so
auch bei den ja auf denselben Wertbereich 0, 1 angewiesnen ausgezeich-
neten Relativen mag der Zusatz gespart, unterdrückt werden.

Ein für sich stehendes, ein nur eben einfach hingesetztes "ausgezeich-
netes Relativ" kann jederzeit als eine Aussage angesehen werden, die wahr
oder erfüllt sein wird, sofern das Relativ den Wert 1 annimmt, nicht er-
füllt ist, sobald dasselbe verschwindet, während es bekanntlich ein tertium
non datur.

Die Vorteile solchen Verfahrens, das wir aus dem Theoretischen mehr
und mehr in's Praktische zu übersetzen streben, werden bei der Einkleidung
von Bedingungen bald zutage treten. --

Nunmehr haben wir: (a ; j i) = (a i j jn = i + jn) = (1 an + i + jn)
und deshalb gibt:
0 j (an + i + jn) j 0 = 0 j (an + i) j jn = i j an j jn = i j an ; j
die Antwort auf die oben gestellte Frage, die auch aus 1 an j jn + i =
= an ; j + i mit 0 j (an ; j + i) j 0 = 0 j (an ; j + i), sintemal der Klammerausdruck
System ist, noch rascher ableitbar. Sodass gefunden ist:

Zwölfte Vorlesung.

λ) (i ⋹ c) + (i ⋹ c̄),
wo von den beiden Fällen der Alternative wegen i ≠ 0 der eine den andern
ausschliesst.

Ist nun, während gemäss κ) c ⋹ i ist, c ≠ 0, so würde die Annahme
i ⋹ c̄ mittelst c ⋹ i ⋹ c̄ zu der Konklusion c ⋹ c̄ oder c = 0 führen im
Widerspruche mit c ≠ 0, und folglich ist von λ) die zweite Alternative zu
verwerfen; es muss die erste gelten, zugleich mit c ⋹ i auch i ⋹ c d. h. c = i
sein, q. e. d. —

Wenn wir nun eine Subsumtion der ersten Art, δ), nach 17) und 36)
des § 25 sofort zusammenziehen konnten in einen Relativkoeffizienten sowol,
als auf Wunsch auch sie verwandeln konnten in ein ausgezeichnetes Relativ,
indem wir hatten:
μ) (i ⋹ a ; j) = ai j = ĭ ; a ; j,
so frägt sich noch: welches ausgezeichnete Relativ und welcher Koeffizient
denn mit der umgekehrten Subsumtion äquivalent sein wird?

Die Beantwortung aller derartigen Fragen kann auf die — wesent-
lich in 5) S. 147 schon vorgekommnen — Schemata gegründet werden:
ν) [Formel 1]
nach denen die ausgezeichneten Relative geradezu die Rolle von Aussagen
übernehmen und auf sie ebenfalls das „spezifische Prinzip des Aussagen-
kalkuls“ (1 ⋹ α) = α ausgedehnt und anwendbar wird: Man hat sich, um
irgend ein ausgezeichnetes Relativ korrekt als eine Aussage zu deuten (d. i. um
es in dieser seiner Eigenschaft richtig zu verstehen), dasselbe jeweils als
Prädikat hinter das Subjekt 1 gesetzt zu denken — wenn man will auch: es
gleich 1 zu setzen. Dieses „1 ⋹“, welches jede Behauptung (Proposition)
beginnt, resp. das „= 1“ welches sie abschliesst, ist es im Allgemeinen ganz
unnötig, hinzuschreiben (Peirce 9c p. 199), und wie bei den Aussagen, so
auch bei den ja auf denselben Wertbereich 0, 1 angewiesnen ausgezeich-
neten Relativen mag der Zusatz gespart, unterdrückt werden.

Ein für sich stehendes, ein nur eben einfach hingesetztes „ausgezeich-
netes Relativ“ kann jederzeit als eine Aussage angesehen werden, die wahr
oder erfüllt sein wird, sofern das Relativ den Wert 1 annimmt, nicht er-
füllt ist, sobald dasselbe verschwindet, während es bekanntlich ein tertium
non datur.

Die Vorteile solchen Verfahrens, das wir aus dem Theoretischen mehr
und mehr in’s Praktische zu übersetzen streben, werden bei der Einkleidung
von Bedingungen bald zutage treten. —

Nunmehr haben wir: (a ; j ⋹ i) = (a ⋹ i ɟ j̄̆ = i + j̄̆) = (1 ⋹ ā + i + j̄̆)
und deshalb gibt:
0 ɟ (ā + i + j̄̆) ɟ 0 = 0 ɟ (ā + i) ɟ j̄ = ĭ ɟ ā ɟ j̄ = ĭ ɟ ā ; j
die Antwort auf die oben gestellte Frage, die auch aus 1 ⋹ ā ɟ j̄ + i =
= ā ; j + i mit 0 ɟ (ā ; j + i) ɟ 0 = 0 ɟ (ā ; j + i), sintemal der Klammerausdruck
System ist, noch rascher ableitbar. Sodass gefunden ist:

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[556/0570] Zwölfte Vorlesung. λ) (i ⋹ c) + (i ⋹ c̄), wo von den beiden Fällen der Alternative wegen i ≠ 0 der eine den andern ausschliesst. Ist nun, während gemäss κ) c ⋹ i ist, c ≠ 0, so würde die Annahme i ⋹ c̄ mittelst c ⋹ i ⋹ c̄ zu der Konklusion c ⋹ c̄ oder c = 0 führen im Widerspruche mit c ≠ 0, und folglich ist von λ) die zweite Alternative zu verwerfen; es muss die erste gelten, zugleich mit c ⋹ i auch i ⋹ c d. h. c = i sein, q. e. d. — Wenn wir nun eine Subsumtion der ersten Art, δ), nach 17) und 36) des § 25 sofort zusammenziehen konnten in einen Relativkoeffizienten sowol, als auf Wunsch auch sie verwandeln konnten in ein ausgezeichnetes Relativ, indem wir hatten: μ) (i ⋹ a ; j) = ai j = ĭ ; a ; j, so frägt sich noch: welches ausgezeichnete Relativ und welcher Koeffizient denn mit der umgekehrten Subsumtion äquivalent sein wird? Die Beantwortung aller derartigen Fragen kann auf die — wesent- lich in 5) S. 147 schon vorgekommnen — Schemata gegründet werden: ν) [FORMEL] nach denen die ausgezeichneten Relative geradezu die Rolle von Aussagen übernehmen und auf sie ebenfalls das „spezifische Prinzip des Aussagen- kalkuls“ (1 ⋹ α) = α ausgedehnt und anwendbar wird: Man hat sich, um irgend ein ausgezeichnetes Relativ korrekt als eine Aussage zu deuten (d. i. um es in dieser seiner Eigenschaft richtig zu verstehen), dasselbe jeweils als Prädikat hinter das Subjekt 1 gesetzt zu denken — wenn man will auch: es gleich 1 zu setzen. Dieses „1 ⋹“, welches jede Behauptung (Proposition) beginnt, resp. das „= 1“ welches sie abschliesst, ist es im Allgemeinen ganz unnötig, hinzuschreiben (Peirce 9c p. 199), und wie bei den Aussagen, so auch bei den ja auf denselben Wertbereich 0, 1 angewiesnen ausgezeich- neten Relativen mag der Zusatz gespart, unterdrückt werden. Ein für sich stehendes, ein nur eben einfach hingesetztes „ausgezeich- netes Relativ“ kann jederzeit als eine Aussage angesehen werden, die wahr oder erfüllt sein wird, sofern das Relativ den Wert 1 annimmt, nicht er- füllt ist, sobald dasselbe verschwindet, während es bekanntlich ein tertium non datur. Die Vorteile solchen Verfahrens, das wir aus dem Theoretischen mehr und mehr in’s Praktische zu übersetzen streben, werden bei der Einkleidung von Bedingungen bald zutage treten. — Nunmehr haben wir: (a ; j ⋹ i) = (a ⋹ i ɟ j̄̆ = i + j̄̆) = (1 ⋹ ā + i + j̄̆) und deshalb gibt: 0 ɟ (ā + i + j̄̆) ɟ 0 = 0 ɟ (ā + i) ɟ j̄ = ĭ ɟ ā ɟ j̄ = ĭ ɟ ā ; j die Antwort auf die oben gestellte Frage, die auch aus 1 ⋹ ā ɟ j̄ + i = = ā ; j + i mit 0 ɟ (ā ; j + i) ɟ 0 = 0 ɟ (ā ; j + i), sintemal der Klammerausdruck System ist, noch rascher ableitbar. Sodass gefunden ist:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 556. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/570>, abgerufen am 23.11.2024.

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