Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Zur allgemeinen Produktauswertungsmethode.

wertausdruck von U_{i j} von sämtlichen Argumenten u_{i h}, kürzer gesagt:
von u, unabhängig geworden und durfte das Zeichen [Formel 1] vor dieser Kon-
stanten nach dem Tautologiegesetz unterdrückt werden.

Nebenbei gesagt geht für a = 1, b = 1' nach einer kleinen Buch-
stabenvertauschung unser erstes Resultat 113) auch über in: 50) — jene
Formel, die wir vordem auf kunstvollerem verschlungenen Wege, durch
Vermittelung unendlich vielfacher Π, nur zu finden vermocht hatten.
Ebenso begreift unser Resultat für d = 0' auch unser Theorem 6) unter
sich und erscheint als eines der allgemeinsten von den Π, die sich in
geschlossener Form bisher angeben liessen.

„Theoretisch“ ist nun das bei den letzten Aufgaben Erkannte
leicht zu verallgemeinern.

Soll mit der „absoluten Erstreckung“ ein [Formel 2] ermittelt
werden, wo U = f(u) eine gegebne Relativfunktion ist, so suche man
den allgemeinen Koeffizienten [Formel 3] .

Man wird zunächst keine Schwierigkeit finden, gemäss den Fest-
setzungen (10) bis (13) des § 3 den allgemeinen Faktor U_{h k} des
letztern Π explizite als eine „Aussagenfunktion“ darzustellen, welche
sich vermittelst der drei Spezies des Aussagenkalkuls nebst eventuell
Σ und Πzeichen in bestimmter Weise aufbaut aus den Koeffizienten
des Arguments u (und seines Negats ū) sowol als sämtlicher etwaigen
Parameter a, b, c, … des f(u).

Diese Aussagenfunktion kann in der Gestalt
U_{h k} = αu_{i j} + βū_{i j} + γ
„entwickelt“ werden nach dem u-Koeffizienten mit irgend einem be-
stimmten Suffixe ij. Und zwar ist diese Entwickelung linear und
wenn man will auch homogen; doch ist der homogenen Form
(α + γ)u_{i j} + (β + γ)ū_{i j}
die noch nicht homogen gemachte aus bald ersichtlichem Grunde vor-
zuziehn. Die Polynomkoeffizienten α, β, γ sind zwar nicht unabhängig
von u (sie führen nämlich ev. die übrigen u-Koeffizienten), aber doch
sind sie unabhängig von u_{i j}.

Um solchermasseen u_{i j} „prominent zu machen“, es „in Evidenz zu
bringen“ — wobei vielleicht die Fälle i = oder ≠ j sowie i, j = oder
≠ h, k getrennt zu behandeln sind — braucht man blos zu beachten: sooft
ein erster Index l des u oder ū von einem Σ_l beherrscht ist, so kann man
den allgemeinen Term dieser Σ mit 1'_{i l} + 0'_{i l} (= 1) multipliziren — bei
einem zweiten Index dagegen thue man es mit 1'_{l j} + 0'_{l j}. Sind sie dagegen
von einem Π_l beherrscht, so kann man 0'_{i l}1'_{i l}(= 0), resp. 0'_{l j}1'_{l j} zum all-
gemeinen Term addiren — beidemal gemäss dem Distributionsgesetze
a(b + c) = ab + ac, beziehungsweise a + bc = (a + b)(a + c) zerlegend. So