Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Verfahren der Exhaustion von Koeffizienten.

dieser beiden Faktoren das Π_l einzeln zu nehmen sein, wo beim ersten
das Schema 12₊) von S. 121 anwendbar wird. So kommt:
U_{i j} = a_{i h}b_{h j}u_{i h} + Σ_l0'_{l h}a_{i l}b_{l j}u_{i l} + Σ_kc_{i k}e_{k j}(ū_{i h} + d_{h k})Π_l(1'_{l h} + ū_{i l} + d_{l k}).

Dies hat bereits die entwickelte (lineare) Form:
U_{i j} = αu_{i h} + βū_{i h} + γ,
die man besser im nicht homogenen Zustande belässt. Bevor wir die
Werte von α, β, γ, die hieraus ersichtlich, ausdrücklich hinschreiben, wollen
wir aber eine etwas bequemere Symbolik einführen, die sich für alle der-
artigen Aufgaben zu empfehlen scheint.

Eine Summe der Form Σ_l0'_{l h}φ(l) stellt nichts andres vor als wie die
Summe aller φ(l) ohne φ(h), und kann dies auch durch die Schreibung
[Formel 1] vollständig ausgedrückt werden. Analog wird
[Formel 2] die Summe nach l aller φ(l) ohne φ(h) und φ(k) ausdrücken, und so
weiter.

Dual entsprechend kann auch
[Formel 3] u. s. w. geschrieben werden, indem die linkseitigen Ausdrücke nichts andres
vorstellen als das Produkt aller φ(l) ohne φ(h), resp. ohne φ(h) und
φ(k), etc.

Durch diese kleine Modifikation der in unsrer Disziplin legitimen Sym-
bolik wird der Vorteil erzielt, dass, wenn fortgesetzt immer mehr Glieder
aus der Summe, Faktoren aus dem Π weggelassen werden sollen, der
allgemeine Term der Σ und des Π stetsfort den nämlichen (einen immer
gleich einfachen) Ausdruck behält (während in der legitimen Darstellung
dieser immerfort an Schwülstigkeit zunehmen müsste); mithin kann auch
dieser allgemeine Term, als selbstverständlich der alte bleibend, unerwähnt
gelassen, er braucht nicht wiederholt zu werden.

Wenn schliesslich von der Σ_l alle ihre Glieder, von dem Π_l alle seine
Faktoren derart ausgeschlossen sive in Wegfall gekommen sind, so wird
jene gleich 0 und dieses gleich 1 geworden sein.

Benutzen wir dies, so werden wir haben:
[Formel 4] wo als allgemeiner Term der Σ_l nun a_{i l}b_{l j}u_{i l}, des Π_l aber ū_{i l} + d_{l k} ge-
radeso wie im ersten Ausdrucke unsres U_{i j} zu denken ist. —

Wie immer nun auch die übrigen u_{i l} (ohne u_{i h}) gegeben sein mögen,
so lässt sich u_{i h} so bestimmen, wählen, dass die obige lineare Funktion
desselben, U_{i j}, ihren Minimalwert annimmt. Dieser muss sein:
(α + γ)(β + γ), = γ + αβ
und wird hier nach geringfügiger Zusammenziehung:
[Formel 5] .

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