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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 3. Aussagenschemata.
x)
[Tabelle]
deren jeweilig letzte jedoch nur gilt sofern u und v die nämliche Er-
streckung haben.

Auch würden sich über mehrfache Summen und Produkte noch
weitre Schemata anreihen lassen.

Als bemerkenswertester neuer schliesst sich diesen der von Herrn
Peirce aufgestellte Satz an:

Stellt Au,v eine auf zwei Objekte u und v bezügliche Aussage vor,
welche je in einem eignen Erstreckungsbereiche variabel gedacht wer-
den sollen, so ist stets
o) [Formel 1]
-- worin natürlich das Symbol Au,v auch a priori durch das Av,u er-
setzbar.

Gibt es nämlich mindestens ein u derart, dass für dieses u und
jedes v die Aussage A gilt, so wird es auch für jedes v mindestens
ein u geben (nämlich eben das genannte) derart, dass von beiden die
Aussage A zutrifft. Der Schluss ist jedoch augenscheinlich nicht um-
kehrbar.

Wir werden aber die gedachten Schemata vorwiegend, wenn nicht
ausschliesslich, auf solche Objekte u, v, .. anzuwenden bekommen,
welche nicht sowol allgemeine Relative, als vielmehr blos "Elemente"
i, j, .. sive "Individuen des ersten Denkbereiches" sind. In solchem
Falle hängen wir, anstatt sie unter das S oder P zu schreiben, die
laufenden Zeiger den S und P (wie bisher schon) als Suffixum an.

Um nicht Überflüssiges zu leisten und uns zu sehr zu wiederholen,
wollen wir deshalb die einschlägigen oder noch ausstehenden von den be-
achtenswertern Schemata blos mit obiger Beschränkung und erst in § 7
in's Auge fassen.

Schon bei dieser Beschränkung der laufenden Zeiger auf Elemente
sei jedoch darauf hingewiesen und betont, dass der Erstreckungsbereich
unsrer Aussagen-P und S allemal auch ein "Kontinuum" sein darf, wie
es beispielsweise die reellen Zahlen, oder die Punkte einer Geraden ins-
gesamt bilden. In solchen Fällen bleiben die Zeichen P und S definitiv
unentbehrlich und würde es nimmermehr thunlich sein, das mittelst des
P (z. B.) "symbolisch" dargestellte Aussagenprodukt als ein "aktuelles"
Produkt mit allen seinen Faktoren explicite hinzuschreiben.

Stets werden es in unsrer Theorie -- wenn nicht blosse Aus-
sagen-Produkte resp. Summen -- so doch "identische" Produkte P und
Summen S sein, welche uns diese Zeichen darstellen helfen. M. a. W.
die Zeichen P, S werden als solche nur für die erste Hauptstufe von

§ 3. Aussagenschemata.
ξ)
[Tabelle]
deren jeweilig letzte jedoch nur gilt sofern u und v die nämliche Er-
streckung haben.

Auch würden sich über mehrfache Summen und Produkte noch
weitre Schemata anreihen lassen.

Als bemerkenswertester neuer schliesst sich diesen der von Herrn
Peirce aufgestellte Satz an:

Stellt Au,v eine auf zwei Objekte u und v bezügliche Aussage vor,
welche je in einem eignen Erstreckungsbereiche variabel gedacht wer-
den sollen, so ist stets
ο) [Formel 1]
— worin natürlich das Symbol Au,v auch a priori durch das Av,u er-
setzbar.

Gibt es nämlich mindestens ein u derart, dass für dieses u und
jedes v die Aussage A gilt, so wird es auch für jedes v mindestens
ein u geben (nämlich eben das genannte) derart, dass von beiden die
Aussage A zutrifft. Der Schluss ist jedoch augenscheinlich nicht um-
kehrbar.

Wir werden aber die gedachten Schemata vorwiegend, wenn nicht
ausschliesslich, auf solche Objekte u, v, ‥ anzuwenden bekommen,
welche nicht sowol allgemeine Relative, als vielmehr blos „Elemente“
i, j, ‥ sive „Individuen des ersten Denkbereiches“ sind. In solchem
Falle hängen wir, anstatt sie unter das Σ oder Π zu schreiben, die
laufenden Zeiger den Σ und Π (wie bisher schon) als Suffixum an.

Um nicht Überflüssiges zu leisten und uns zu sehr zu wiederholen,
wollen wir deshalb die einschlägigen oder noch ausstehenden von den be-
achtenswertern Schemata blos mit obiger Beschränkung und erst in § 7
in’s Auge fassen.

Schon bei dieser Beschränkung der laufenden Zeiger auf Elemente
sei jedoch darauf hingewiesen und betont, dass der Erstreckungsbereich
unsrer Aussagen-Π und Σ allemal auch ein „Kontinuum“ sein darf, wie
es beispielsweise die reellen Zahlen, oder die Punkte einer Geraden ins-
gesamt bilden. In solchen Fällen bleiben die Zeichen Π und Σ definitiv
unentbehrlich und würde es nimmermehr thunlich sein, das mittelst des
Π (z. B.) „symbolisch“ dargestellte Aussagenprodukt als ein „aktuelles“
Produkt mit allen seinen Faktoren explicite hinzuschreiben.

Stets werden es in unsrer Theorie — wenn nicht blosse Aus-
sagen-Produkte resp. Summen — so doch „identische“ Produkte Π und
Summen Σ sein, welche uns diese Zeichen darstellen helfen. M. a. W.
die Zeichen Π, Σ werden als solche nur für die erste Hauptstufe von

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[41/0055] § 3. Aussagenschemata. ξ) deren jeweilig letzte jedoch nur gilt sofern u und v die nämliche Er- streckung haben. Auch würden sich über mehrfache Summen und Produkte noch weitre Schemata anreihen lassen. Als bemerkenswertester neuer schliesst sich diesen der von Herrn Peirce aufgestellte Satz an: Stellt Au,v eine auf zwei Objekte u und v bezügliche Aussage vor, welche je in einem eignen Erstreckungsbereiche variabel gedacht wer- den sollen, so ist stets ο) [FORMEL] — worin natürlich das Symbol Au,v auch a priori durch das Av,u er- setzbar. Gibt es nämlich mindestens ein u derart, dass für dieses u und jedes v die Aussage A gilt, so wird es auch für jedes v mindestens ein u geben (nämlich eben das genannte) derart, dass von beiden die Aussage A zutrifft. Der Schluss ist jedoch augenscheinlich nicht um- kehrbar. Wir werden aber die gedachten Schemata vorwiegend, wenn nicht ausschliesslich, auf solche Objekte u, v, ‥ anzuwenden bekommen, welche nicht sowol allgemeine Relative, als vielmehr blos „Elemente“ i, j, ‥ sive „Individuen des ersten Denkbereiches“ sind. In solchem Falle hängen wir, anstatt sie unter das Σ oder Π zu schreiben, die laufenden Zeiger den Σ und Π (wie bisher schon) als Suffixum an. Um nicht Überflüssiges zu leisten und uns zu sehr zu wiederholen, wollen wir deshalb die einschlägigen oder noch ausstehenden von den be- achtenswertern Schemata blos mit obiger Beschränkung und erst in § 7 in’s Auge fassen. Schon bei dieser Beschränkung der laufenden Zeiger auf Elemente sei jedoch darauf hingewiesen und betont, dass der Erstreckungsbereich unsrer Aussagen-Π und Σ allemal auch ein „Kontinuum“ sein darf, wie es beispielsweise die reellen Zahlen, oder die Punkte einer Geraden ins- gesamt bilden. In solchen Fällen bleiben die Zeichen Π und Σ definitiv unentbehrlich und würde es nimmermehr thunlich sein, das mittelst des Π (z. B.) „symbolisch“ dargestellte Aussagenprodukt als ein „aktuelles“ Produkt mit allen seinen Faktoren explicite hinzuschreiben. Stets werden es in unsrer Theorie — wenn nicht blosse Aus- sagen-Produkte resp. Summen — so doch „identische“ Produkte Π und Summen Σ sein, welche uns diese Zeichen darstellen helfen. M. a. W. die Zeichen Π, Σ werden als solche nur für die erste Hauptstufe von

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/55>, abgerufen am 21.11.2024.