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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

Beweis. Aus der Prämisse links folgt:
a(1 ; b) ; (bn j 1') x ; b ; (bn j 1'), aber x ; b ; (bn j 1') x,
sintemal letzteres nach dem ersten Inversionstheoreme hinauskommt auf:
x ; b x j b ; 0', worin ein Zwillingssatz unsres Theorems 37) in § 28 zu
erblicken ist. Damit wird denn gemäss 51) die Behauptung a fortiori er-
wiesen sein. Jener lautet:
56) [Formel 1]
und wird in der Fassung a ; b ; (bn j 1') a mit 58) weiter unten bewiesen
sein. Man kann ihn, mit dem vorigen zusammengefasst, sich etwa ein-
prägen in der Gestalt:

a ; b 0' ; a ; 0' j 0' ; b ; 0'(1' j a j 1') ; (1' j b j 1') a j b,
wobei von den Zeichen 0' resp. 1' irgendwelche bis auf eines, was übrig
bleiben muss, unterdrückbar bleiben. --

Da weiter 52) die allgemeine Wurzel unsrer Subsumtion a · 1 ; b x ; b
gewesen, so wird auch dieser das P derselben, y = Px, eingeordnet sich
zeigen müssen.

Dies gibt, wenn man das Glied u von rechts als Faktor un nach links
wirft und dann c für un sagt, den Satz:
57)

a ; (bn j 1')b · c a(c j bn) ; betc.
-- womit die linke Seite dann auch a fortiori a(c j bn) ; 1 sein wird.
Wir beweisen diesen, rechts auf 0 bringend, auch aus der Koeffizienten-
evidenz, als:
a ; (bn j 1')b · c{(an + cn ; b) j bn} = 0.
Zu zeigen ist also, dass:
Shai hPk(bnk h + 1'k j)bj hci jPl(ani l + Smcni mbm l + bnj l) = 0
sein müsse, d. h. dass das allgemeine Glied dieser Sh verschwindet. Dieses
hat in der That einen verschwindenden Faktor, als welcher bei l = h her-
vortritt:
[Formel 2] .
Denn es kommen zunächst die unterwellten Terme in Wegfall. Von der
Sm sodann wird das Glied, in welchem m = j ist, durch den Faktor ci j
zerstört. Die Glieder aber, wo m j ist, finden in dem nachfolgenden P,
worie k j postulirt ist, mit k = m einen effektiven Faktor bnm h vor, an
dem sie zerschellen, q. e. d.

Hienach werden denn alle Kontrolen unsres Ergebnisses 57) gestimmt
haben.

Sagt man jetzt a ; b für a, so wird sich zu den zwei für y in ge-
schlossener Form gefundenen Ausdrücken noch ein dritter angeben lassen
-- der als ein identisches Produkt jenen für gewöhnlich vorzuziehen ist --
und zwar aufgrund des Satzes:

Elfte Vorlesung.

Beweis. Aus der Prämisse links folgt:
a(1 ; b) ; (b̄̆ ɟ 1') ⋹ x ; b ; (b̄̆ ɟ 1'), aber x ; b ; (b̄̆ ɟ 1') ⋹ x,
sintemal letzteres nach dem ersten Inversionstheoreme hinauskommt auf:
x ; b ⋹ x ɟ b ; 0', worin ein Zwillingssatz unsres Theorems 37) in § 28 zu
erblicken ist. Damit wird denn gemäss 51) die Behauptung a fortiori er-
wiesen sein. Jener lautet:
56) [Formel 1]
und wird in der Fassung a ; b ; (b̄̆ ɟ 1') ⋹ a mit 58) weiter unten bewiesen
sein. Man kann ihn, mit dem vorigen zusammengefasst, sich etwa ein-
prägen in der Gestalt:

a ; b ⋹ 0' ; a ; 0' ɟ 0' ; b ; 0'(1' ɟ a ɟ 1') ; (1' ɟ b ɟ 1') ⋹ a ɟ b,
wobei von den Zeichen 0' resp. 1' irgendwelche bis auf eines, was übrig
bleiben muss, unterdrückbar bleiben. —

Da weiter 52) die allgemeine Wurzel unsrer Subsumtion a · 1 ; b ⋹ x ; b
gewesen, so wird auch dieser das Π derselben, y = Πx, eingeordnet sich
zeigen müssen.

Dies gibt, wenn man das Glied u von rechts als Faktor ū nach links
wirft und dann c für ū sagt, den Satz:
57)

a ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ · c ⋹ a(c ɟ b̄) ; b̆etc.
— womit die linke Seite dann auch a fortiori ⋹ a(c ɟ b̄) ; 1 sein wird.
Wir beweisen diesen, rechts auf 0 bringend, auch aus der Koeffizienten-
evidenz, als:
a ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ · c{(ā + c̄ ; b) ɟ b̄̆} = 0.
Zu zeigen ist also, dass:
Σhai hΠk(b̄k h + 1'k j)bj hci jΠl(āi l + Σmc̄i mbm l + b̄j l) = 0
sein müsse, d. h. dass das allgemeine Glied dieser Σh verschwindet. Dieses
hat in der That einen verschwindenden Faktor, als welcher bei l = h her-
vortritt:
[Formel 2] .
Denn es kommen zunächst die unterwellten Terme in Wegfall. Von der
Σm sodann wird das Glied, in welchem m = j ist, durch den Faktor ci j
zerstört. Die Glieder aber, wo m ≠ j ist, finden in dem nachfolgenden Π,
worie k ≠ j postulirt ist, mit k = m einen effektiven Faktor b̄m h vor, an
dem sie zerschellen, q. e. d.

Hienach werden denn alle Kontrolen unsres Ergebnisses 57) gestimmt
haben.

Sagt man jetzt a ; b für a, so wird sich zu den zwei für y in ge-
schlossener Form gefundenen Ausdrücken noch ein dritter angeben lassen
— der als ein identisches Produkt jenen für gewöhnlich vorzuziehen ist —
und zwar aufgrund des Satzes:

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[524/0538] Elfte Vorlesung. Beweis. Aus der Prämisse links folgt: a(1 ; b) ; (b̄̆ ɟ 1') ⋹ x ; b ; (b̄̆ ɟ 1'), aber x ; b ; (b̄̆ ɟ 1') ⋹ x, sintemal letzteres nach dem ersten Inversionstheoreme hinauskommt auf: x ; b ⋹ x ɟ b ; 0', worin ein Zwillingssatz unsres Theorems 37) in § 28 zu erblicken ist. Damit wird denn gemäss 51) die Behauptung a fortiori er- wiesen sein. Jener lautet: 56) [FORMEL] und wird in der Fassung a ; b ; (b̄̆ ɟ 1') ⋹ a mit 58) weiter unten bewiesen sein. Man kann ihn, mit dem vorigen zusammengefasst, sich etwa ein- prägen in der Gestalt: a ; b ⋹ 0' ; a ; 0' ɟ 0' ; b ; 0' (1' ɟ a ɟ 1') ; (1' ɟ b ɟ 1') ⋹ a ɟ b, wobei von den Zeichen 0' resp. 1' irgendwelche bis auf eines, was übrig bleiben muss, unterdrückbar bleiben. — Da weiter 52) die allgemeine Wurzel unsrer Subsumtion a · 1 ; b ⋹ x ; b gewesen, so wird auch dieser das Π derselben, y = Πx, eingeordnet sich zeigen müssen. Dies gibt, wenn man das Glied u von rechts als Faktor ū nach links wirft und dann c für ū sagt, den Satz: 57) a ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ · c ⋹ a(c ɟ b̄) ; b̆ etc. — womit die linke Seite dann auch a fortiori ⋹ a(c ɟ b̄) ; 1 sein wird. Wir beweisen diesen, rechts auf 0 bringend, auch aus der Koeffizienten- evidenz, als: a ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ · c{(ā + c̄ ; b) ɟ b̄̆} = 0. Zu zeigen ist also, dass: Σhai hΠk(b̄k h + 1'k j)bj hci jΠl(āi l + Σmc̄i mbm l + b̄j l) = 0 sein müsse, d. h. dass das allgemeine Glied dieser Σh verschwindet. Dieses hat in der That einen verschwindenden Faktor, als welcher bei l = h her- vortritt: [FORMEL]. Denn es kommen zunächst die unterwellten Terme in Wegfall. Von der Σm sodann wird das Glied, in welchem m = j ist, durch den Faktor ci j zerstört. Die Glieder aber, wo m ≠ j ist, finden in dem nachfolgenden Π, worie k ≠ j postulirt ist, mit k = m einen effektiven Faktor b̄m h vor, an dem sie zerschellen, q. e. d. Hienach werden denn alle Kontrolen unsres Ergebnisses 57) gestimmt haben. Sagt man jetzt a ; b für a, so wird sich zu den zwei für y in ge- schlossener Form gefundenen Ausdrücken noch ein dritter angeben lassen — der als ein identisches Produkt jenen für gewöhnlich vorzuziehen ist — und zwar aufgrund des Satzes:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 524. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/538>, abgerufen am 26.06.2024.